基础物理学第二版习题解答

习题二

2-1．两质量分别为m和M 的物体并排放在光滑的水平桌面上，现有一水平力F作用在物体m上，使两物体一起向右运动，如题图2-1所示，求两物体间的相互作用力。 若水平力F作用在M上，使两物体一起向左运动，则两物体间相互作用力的大小是否发生变化？

解：以m、M整体为研究对象， 有

…①

以m为研究对象，如解图2-1（a），有

…②

由①、②两式，得相互作用力大小

若F作用在M上，以m为研究对象，如题图2-1（b）有

…………③

由①、③两式，得相互作用力大小

发生变化。

2-2. 在一条跨过轻滑轮的细绳的两端各系一物体，两物体的质量分别为M1和M2 ，在M2上再放一质量为m的小物体，如题图2-2所示，若M1=M2= 4m，求m和M2之间的相互作用力，若M1=5m，M2=3m，则m与M2之间的作用力是否发生变化？

解： 受力图如解图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象，有

又 ，则

=

当时

当时

，发生变化。

2-3.质量为M的气球以加速度匀加速上升，突然一只质量为m的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？

解：设为空气对气球的浮力，取向上为正。

分别由解图2-3（a）、(b)可得

由此解得

2-4．如题图2-4所示，人的质量为60kg，底板的质量为40kg。人若想站在底板上静止不动，则必须以多大的力拉住绳子？

解：设底板和人的质量分别为M，m，以向上为正方向，受力图如解图2-4（a）、(b)所示，分别以底板、人为研究对象，则有

F为人对底板的压力，为底板对人的弹力。有

又因为

则

人对绳的拉力为245N。

2-5．一质量为m的物体静置于倾角为的固定斜面上。已知物体与斜面间的摩擦系数为。试问：至少要用多大的力作用在物体上，才能使它运动？并指出该力的方向。

解：如解图2-5建立坐标系，设x方向沿斜面向上为正方向。在与所在的平面上加一外力，且

（若，此时F偏大）则

解出

要求F最小，则分母取极大值，所以对求导为零

=0 得 带入上式

则

即

此时

2-6. 一木块恰好能在倾角的斜面上以匀速下滑，现在使它以初速率沿这一斜面上滑，问它在斜面上停止前，可向上滑动多少距离？当它停止滑动时，是否能再从斜面上向下滑动？

解：匀速下滑时

则

①

向上滑动时

②

③

联立求解得

当它停止滑动时，会静止，不再下滑．

2-7. 5kg的物体放在地面上，若物体与地面之间的摩擦系数为0.30，至少要多大的力才能拉动该物体？

解：受力分析如解图2-7所示

则

要求F最小，则分母取极大值

所以 对求导为零，类似题2-5解得

带入F公式，则

2-8. 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．

证 如解图2-7所示，设两个摆的摆线长度分别为和，摆线与竖直轴之间的夹角分别为和，摆线中的张力分别为和，则

①

②

解得

第一只摆的周期为

同理可得第二只摆的周期

由已知条件知

所以这两个摆的周期相等

2-9. 质量分别为M和M+m的两个人，分别拉住定滑轮两边的绳子往上爬，开始时两人与滑轮的距离都是h 。设滑轮和绳子的质量以及定滑轮轴承处的摩擦力均可忽略不计，绳长不变。试证明，如果质量轻的人在秒末爬到滑轮，这时质量重的人与滑轮的距离为

（假定人和绳子之间的摩擦力是恒定的）

证明：如解图2-9（b）、（c），分别以M、M+m为研究对象，设M、M+m对地的加速度大小分别为（方向向上）、（方向向下），则对M，有

则对M+m，有

而

则

质量重的人与滑轮的距离

此题得证。

2-10.质量为和的两物体，用轻弹簧连接在一起放在光滑水平桌面上，以的力沿弹簧方向作用于,使得到加速度，求获得的加速度大小。

解：物体的运动如解图2-10（a ），以m1为研究对象，受力分析如解图（b）所示，有

以m2为研究对象，受力分析如解图（c）所示，有

因为

则

2-11. 在一水平的直路上，一辆汽车以v = 108 km·h−1 的速度运行， 刹车后经 s =35m 距离而停止．如果路面相同，但有1∶15的下降坡度，那么这辆汽车若仍以原有速度运行，则刹车后经多少距离而停止。

解：

在水平的直路上刹车，摩擦力

刹车距离

在斜坡上，对汽车有

由此得

刹车距离

2-12． 如题图2-12所示，已知两物体A、B的质量均为，物体A以加速度运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与绳子的质量不计）

解：受力分析如解图2-12所示，以A为研究对象，其中、分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有

且

以B为研究对象，在水平方向上，有

又

，

联立以上各式，可解得

2-13．一质量为m的小球最初位于如题图2-13所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑，试求小球到达C点时的角速度和对圆轨道的作用力.

解：小球下滑过程机械能守恒

…………①

又

………②

由①、②可得

法向

……③

由①、③可得

2-14 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= -kv2（k为正常数）。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，

(1) 求速率v随时间t的变化规律。

(2) 求速度v与路程x之间的关系。

解 (1) 由牛顿第二定律F=ma得

①

分离变量并积分，有

(2) 将 代入①式中得

②

分离变量并积分，有

得

2-15．如题图2-15所示，A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体的质量分别为，，.

（1）求每个物体的加速度

（2）求两根绳中的张力和（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。

解：如解图2-15(a)、(b)、(c)，分别是的受力图。

设分别是、B对地的加速度；分别是对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式

…………… ①

………… ②

………… ③

又：

且

则则

…………④

又

…………⑤

…………⑥

则由①②③④⑤⑥，可得

（2）将a3的值代入③式，可得

2-16．桌面上有一质量的板，板上放一质量为的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的摩擦系数均为0.25. 要将板从物体下面抽出，至少需要多大的水平力？

解：由牛顿第二定律得

如题图2-16（c），以m为研究对象，分别为M给m的支持力、摩擦力。则有

又因为

则可化为

解出

2-17．已知一个倾斜度可以变化但底边长L不变的斜面：

（1）求石块从斜面顶端无初速地滑到底所需时间与斜面倾角α之间的关系，设石块与斜面间的滑动摩擦系数为；

（2）若斜面倾角为时石块下滑的时间相同，问滑动摩擦系数为多大？

解：（1）石块其沿斜面向下的加速度为

又

，则：

（2）当时

，

当时

根据题意

解出

2-18，如题图2-18所示，用一穿过光滑桌面上小孔的轻绳，将放在桌面上的质点m与悬挂着的质点M连接起来，m在桌面上作匀速率圆周运动，问m在桌面上圆周运动的速率v和圆周半径r满足什么关系时，才能使M静止不动？

解：如题图2-18，以M为研究对象,有

………………①

以m为研究对象，水平方向上，有

……②

又有

………………③

由①、②、③可得

2-19．一质量为0.15kg的棒球以的水平速度飞来，被棒打击后，速度仍沿水平方向，但与原来方向成1350角，大小为。如果棒与球的接触时间为，求棒对球的平均打击力大小及方向。

解：在初速度方向上，由动量定理有

①

在和初速度垂直的方向上，由动量定理有

②

平均打击力

③

由①②③带入数据得

arctan

2-20. 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此人竖直跌落的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。

解 以人为研究对象，按分析中的两个阶段进行讨论。在自由落体过程中，人跌落2.0m时的速度为

要缓冲过程中，根据动量定理，有

其中，解得

2-21. 两质量均为M的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量为m的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为/。

解：任意t时刻，由系统的动量守恒有

所以两冰车的末速度之比

2-22．质量为的物体，由水平面上点O以初速度抛出，与水平面成仰角。若不计空气阻力，求：

（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；

（2）物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。

解：（1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有

得

方向竖直向下。

（2）由于上升和下落的时间相等，物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量

方向竖直向下。

2-23．一个质量为50g的小球以速率做平面匀速圆周运动，在1/4周期内向心力给它的冲量是多大？

解：由解图2-23可得向心力给物体的冲量大小

2-24．自动步枪连续发射时，每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为7.90g，出口速率，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。

解：由题意知枪每秒射出2发子弹，则由动量定理有

由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力

2-25. 如题图2-25所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N，小球的质量为0.5kg，绳长0.3m，水平冲量I等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。

解：由动量定理有

①

由牛顿第二定律有

②

由①②带入数据得

2-26. 质量为M的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为，速度为的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求：

（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；

（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；

（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。

解：（1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有

所以木块的速度

动量

（2）子弹的动量

（3）对木块由动量定理得

2-27．一件行李的质量为m，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为，它与行李间的摩擦系数为，问：

（1）行李在传送带上滑动多长时间？

（2）行李在这段时间内运动多远？

解：（1）对行李由动量定理有

得

（2）行李在这段时间内运动的距离，由

，

得

2-28．体重为P的人拿着重为的物体跳远，起跳仰角为，初速度为，到达最高点该人将手中物体以水平向后的相对速度抛出，问跳远成绩因此增加多少？

解：在最高点由系统动量守恒定律有

①

增加成绩

②

由①②可得

2-29. 质量为的一只狗，站在质量为的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为．这只狗向着湖岸在船上走过的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离（忽略船与水的摩擦阻力）．

解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒

即

船走过的路程为

狗离岸的距离为

2-30 一物体在介质中按规律作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由x0=0运动到x=l时，阻力所做的功。（已知阻力系数为k）

解 由运动学方程，可得物体速度

物体所受阻力大小为

阻力做的功为

2-31．一辆卡车能沿着斜坡以的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的速率是多少？

解：如解图2-31所示，由于斜坡角度很小所以有

且阻力

上坡时牵引力为

下坡时牵引力为

由于上坡和下坡时功率相同，故

所以

2-32．某物块重量为P，用一与墙垂直的压力使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为，试计算物块沿题图2-32所示的不同路径：弦AB，劣弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力的功。已知圆弧半径为r。

解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为。

（1） 物块沿弦AB由A移动到B时，重力的功

摩擦力的功

（2） 物块沿圆弧AB由A移动到B时，重力的功

摩擦力的功

2

（3） 物块沿折线AOB由A移动到B时，重力的功

。

摩擦力的功

2-33．求把水从面积为的地下室中抽到街道上来所需做的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。

解：如解图2-33以地下室的O为原点，取x坐标轴向上为正，建立坐标轴。

选一体积元，则其质量为

。

把从地下室中抽到街道上来所需做的功为

故

2-34．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．

解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为坐标原点.

由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量，即

人的拉力所做的功为

＝

2-35．一质量为m、总长为的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所做的功。

解： 选一线元，则其质量为

。

铁链滑离桌面边缘过程中，段的重力做的功为

OB段的重力的功为

故总功

2-36．一辆小汽车，以的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，，A为常量，且。

（1）如小汽车以的恒定速率行驶1km，求空气阻力所做的功；

（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？

解：（1）小汽车的速率为

空气阻力为

则空气阻力所做的功

（2）功率为

2-37．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为，这里以m为单位，时间以s为单位。试求：

（1）力在最初内做的功；

（2）在时，力的瞬时功率。

解：(1)

则

由功能原理，得

(2)

时

则瞬时功率

2-38．质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度向右运动，弹簧的劲度系数为，物体与支承面间的滑动摩擦系数为，求物体能达到的最远距离。

解：设物体能达到的最远距离为根据机械能守恒定律，有

即

解得

2-39. 质量为3.0kg的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。

解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有

①

一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有

②

由①②带入数据有

2-40. 光滑水平平面上有两个物体A和B，质量分别为、。当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以、的速度做惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为： 。

解：由系统的动量守恒有

所以

物体的动能之比为

2-41．如题图2-41所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m小物体，从高H处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：

（1）m到达C点瞬间的速度；

（2）m离开C点的速度；

（3）m在C点的动量损失。

解：（1）由机械能守恒有

带入数据得

方向沿AC方向

（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以

，

得

方向沿CD方向。

（3）由于受到竖直的冲力作用，m在C点损失的动量

方向竖直向下。

2-42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)

解：设铁钉进入木板内时，木板对铁钉的阻力为

由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故

解得

所以，第二次时能击入

深。

2-43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？

解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为, 地球质量为M, 半径为,卫星质量为m.

根据机械能守恒，有

又由卫星圆周运动的向心力为

卫星在地面附近的万有引力即其重力，故

联立以上三式，得

2-44．一轻弹簧的劲度系数为，用手推一质量的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为处，如题图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。

解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。

根据能量关系，有

所以

2-45．一质量的物体A，自处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压时物体的速度。

解：如解图2-45所示，设弹簧下压时物体的速度为。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩的位置为重力势能的零点。

当弹簧从原长向下压缩时，重力势能完全转化为弹性势能，即

当弹簧下压时，

所以

2-46．长度为的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为。

证：如解图2-46所示，小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为，则

又小球在A处时向心力为

其中，绳张力为零时等号成立。联立以上两式，解得

2-47．弹簧下面悬挂着质量分别为、的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把与的连线剪断后，的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数，而。

解：如解图2-47所示，设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。系统达到平衡位置时弹簧的伸长为,根据胡克定律，有

系统达到平衡位置时，速度最大，设为。由机械能守恒，得

联立两式，解之

2-48 质量m1= 2.0×10-2 kg的子弹，击中质量为 m2=10 kg的冲击摆，使摆在竖直方向升高h= 7×10-2 m，子弹嵌入其中，问：

(1)子弹的初速度是多少？

(2)击中后的瞬间，系统的动能为子弹初动能的多少倍？

解 (1) 动量守恒

子弹和冲击摆一起上升h高过程机械能守恒

由上两式可解得

(2) 子弹的初动能

击中后的瞬间，系统的动能

2-49 一劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体A，放在光滑水平面上。当把弹簧压缩x0后，再紧靠着A放一质量为mB的物体B，如题图2-49所示。开始时，由于外力的作用系统处于静止，若除去外力，试求B与A离开时B运动的速度和A能到达的最大距离。

解 选弹簧处于自然长度时，物体A的位置为坐标原点O，向右为x轴正方向。系统的机械能守恒，且A、B离开时恰好是A处于原点处，因此

此时B的速度

分离后，物体A继续向右运动A和弹簧组成系统机械能守恒，且A达到最大距离时其速度为零。

解得

2-50．地球质量为，地球与太阳相距，视地球为质点，它绕太阳做圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。

解：

2-51．我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度，远地点高度，地球半径，求卫星在近地点和远地点的速度之比。

解：角动量守恒

所以

2-52．一个具有单位质量的质点在力场中运动，式中t为时间，设该质点在时位于原点，且速度为零，求s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。

解：对质点由牛顿第二律得

又因为所以

得

同样由得

所以t=2时

2-53. 一质量为m的粒子位于（x, y）处，速度为，并受到一个沿x方向的力f，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。

解：角动量

力矩

2-54．电子的质量为，在半径为的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为（h为普朗克常量, ，求其角速度。

解：由角动量定义 得

2-55．在光滑的水平桌面上，用一根长为的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O. 起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。

（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。并回答能量到哪里去了？

（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？

解：（1）当质点做圆周运动时，质点角动量守恒

可得其速度

所以最终动能与初始动能之比

其他能量转变为绳子的弹性势能，以后转化为分子内能.

（2）绳子断后，质点将按速度沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角动量

恒量。

2-56．A、B两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以的速率在相距1.5m的平行线上相对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心做圆周运动，如题图2-56所示，将此二人作为一个系统，求：

（1）该系统的总动量和总角动量；

（2）开始作圆周运动时的角速度

解：（1）系统的总动量

总角动量

（2）作圆周运动时的角速度

2-57人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其他星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？

答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力──地球引力的作用．人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d3fe22d8773231126edb6f1aff00bed5b8f37351.html