高中数学必做100题选修1-2

089. 考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程

某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：

（1）画出散点图；

（2）求回归直线方程；

（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．

参考公式：回归直线的方程，其中.

解：（1）作出散点图如下图所示：

（2），

，

，，.

，

．

因此回归直线方程为；

（3）时，预报的值为

（万元）．

090. 考点：①会根据数据绘制列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性（独立性检验）

甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.

（1）根据以上数据建立一个的列联表；

（2）试判断是否成绩与班级是否有关？

参考公式：

；

解：（1）2×2列联表如下：

（2）

由，

所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.

091. 考点：合情推理及证明

已知，分别求，，，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

解：由，得

；

；

.

归纳猜想一般性结论为.

证明如下：

092.考点：合情推理及证明

（1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V= .

（2）在平面几何里有勾股定理：“设的两边互相垂直，则.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三侧面两两垂直，则 .”

解：（1）设四面体内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以为底面的四个三棱锥体积的和.

所以，.

（2）线的关系类比到面的关系，猜测：. 证明如下：

如图作连，则.

093. 考点：综合法、分析法、反证法的步骤和格式

试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论： 已知，则.

解：【分析法】：

【反证法】：

假设，

通分得.

∵ ，

∴ ，

整理得，

这与平方数不小于0矛盾.

∴ 假设不成立， 则.

【综合法】：由，

变形得.

∵ ，

∴ ， 即.

094．考点：证明方法的合理利用

已知，，的等差中项，是的等比中项.

求证：

（1）；

（2）.

证明：（1）∵ 与的等差中项是，等比中项是，

∴ ， ①

， ②

①2－②×2，可得

，

即.

∴ ，

即.

故证得.

（2）要证，

只需证，

即证，

即证，

只需证.

由（1）的结论，显然成立.

所以，.

095.考点：①复数的运算②复数的共轭

（1）已知，，，求z.

（2）已知，求z及.

解：（1），

，

故

（2）

096. 考点：复数的几何意义（对应复平面上的点）

已知z是复数，z+2i、均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

解：根据题意，设复数z=c+di,

则z+2i=c+(d+2)i为实数，即,解得 所以.

又为实数，

即.

而 对应的点在第一象限，

, 解得26．

所以实数a的取值范围是26．

097. 考点：利用空间向量解决立体几何问题（涉及空间直角坐标系的建立、空间点坐标的表示、空间向量数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定）

如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，）．

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；

（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）.

设P（0，0，2m），则E（1，1，m）.

∴　（-1，1，m），＝（0，0，2m），

∴　，，

解得.

∴　点E坐标是（1，1，1）.

（2）∵　平面PAD，　

∴　可设F（x，0，z）＝（x-1，-1，z-1）.

∵　EF⊥平面PCB　，

∴　

，-1，2，0，.

∵　，　

∴　，-1，0，2，-2.

∴　点F的坐标是（1，0，0），

即点F是AD的中点．

另解：由平面向量定理，设，即

，即

098. 考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为

．

（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为

．

（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；

的分布列：

的数学期望：．

099. 考点：数学归纳法（步骤）

数列满足．（为前n项和）

（1）计算，并由此猜想；

（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．

解：（1），,

，, ，,

，,

猜想.

（2）证明：①当n=1时，，猜想结论成立.

②假设当时结论成立，

即.

当n=k+1时 =2，

，

=.

所以当n=k+1时，猜想结论成立.

由（1）和（2）可知，对一切结论成立.

100. 考点：绝对值不等式（涉及分段函数的图像）

设函数．

（1）解不等式；

（2）求函数的最小值．

解：（1）令，则

作出函数的图象，

它与直线的交点为和．

所以的解集为

．

（2）由函数的图像可知，

当时，取得最小值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d2fbe6f8974bcf84b9d528ea81c758f5f71f29c7.html