2020届河南省郑州市高三上学期第一次质量预测数学（理）试题

2020届郑州市高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷

注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。

1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合word/media/image2_1.png，word/media/image3_1.png，则word/media/image4_1.png的子集个数为
A.2 B.4
C.8 D.16
答案：B

2. 复数word/media/image5_1.png在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：D

3. 郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客逐月增加
B.年接持游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
答案：A

4. 定义在R上的函数word/media/image7_1.png为偶函數，word/media/image8_1.png，word/media/image9_1.png，word/media/image10_1.png，则
A. B.word/media/image12_1.png
C.word/media/image13_1.png D.word/media/image14_1.png
答案：C

5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是

A.word/media/image16_1.png B.word/media/image17_1.png
C.word/media/image18_1.png D.word/media/image19_1.png
答案：B

6. 已知向量word/media/image20_1.png与word/media/image21_1.png夹角为word/media/image22_1.png，且word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png，则word/media/image25_1.png
A.word/media/image26_1.png B.word/media/image27_1.png
C.word/media/image28_1.png D.word/media/image29_1.png
答案：C

7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的word/media/image30_1.png，word/media/image31_1.png分别为3，1，则输出的等于

А.5 B.4
C.3 D.2
答案：B

8. 函数word/media/image34_1.png的图象大致是


答案：C

9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种
A.60 B.90
C.120 D.150
答案：D

10. 已知抛物线word/media/image39_1.png的焦点为word/media/image40_1.png，准线为word/media/image41_1.png，word/media/image42_1.png是word/media/image43_1.png上一点，直线word/media/image44_1.png与抛物线交于word/media/image45_1.png，word/media/image46_1.png两点，若word/media/image47_1.png，则word/media/image48_1.png=
A.word/media/image49_1.png B.word/media/image50_1.png
C.word/media/image51_1.png D.word/media/image52_1.png
答案：B

11. 已知三棱锥内接于球O，word/media/image54_1.png平面ABC，word/media/image55_1.png为等边三角形，且边长为word/media/image56_1.png，球word/media/image57_1.png的表面积为word/media/image58_1.png，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为
A.word/media/image59_1.png B.word/media/image60_1.png
C.word/media/image61_1.png D.word/media/image62_1.png
答案：D

12. ,，若word/media/image65_1.png有9个零点，则word/media/image66_1.png的取值范围是
A.word/media/image67_1.png B.word/media/image68_1.png
C.word/media/image69_1.png D.word/media/image70_1.png
答案：A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 曲线word/media/image71_1.png在点word/media/image72_1.png处的切线方程为___________.
答案：word/media/image73_1.png

14. 若word/media/image74_1.png是等差数列word/media/image75_1.png的前word/media/image76_1.png项和，若word/media/image77_1.png，word/media/image78_1.png，则word/media/image79_1.png___________.
答案：word/media/image80_1.png

15. 已知双曲线word/media/image81_1.png的右顶点为A，以A为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若word/media/image82_1.png（word/media/image83_1.png为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________.
答案：word/media/image84_1.png

16. 已知数列满足：对任意word/media/image86_1.png均有word/media/image87_1.png（p为常数，word/media/image88_1.png且word/media/image89_1.png），若word/media/image90_1.png，则word/media/image91_1.png的所有可能取值的集合是___________.
答案：word/media/image92_1.png

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17. （12分）
已知word/media/image93_1.pngABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设word/media/image94_1.png.
（1）求角B；
（Ⅱ）若b=12，c=8，求sinA的值
【解析】(I)word/media/image95_1.png
∴word/media/image96_1.png
即： ……3分
∴word/media/image98_1.png
因为word/media/image99_1.png所以word/media/image100_1.png……6分
(II)若word/media/image101_1.png，由正弦定理，word/media/image102_1.png, word/media/image103_1.png,
由word/media/image104_1.png，故word/media/image105_1.png为锐角，word/media/image106_1.png……9分……12分

18. （12分）
已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=word/media/image108_1.png，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在校BC上，且word/media/image109_1.png.
word/media/image110_1.png（1）证明：BOword/media/image111_1.png平面AMC；
（2）求二面角N-AM-C的正弦值.
word/media/image112_1.png
【解析】（I）如图所示：连接word/media/image113_1.png，
在word/media/image114_1.png中：word/media/image115_1.png，则word/media/image116_1.png，word/media/image117_1.png.2分
在中：word/media/image119_1.png，word/media/image120_1.png为word/media/image121_1.png的中点，则word/media/image122_1.png，且word/media/image123_1.png ……4分
在word/media/image124_1.png中：word/media/image125_1.png，满足：word/media/image126_1.png
根据勾股定理逆定理得到word/media/image127_1.png 相交于word/media/image120_1.png ，
故word/media/image129_1.png平面word/media/image130_1.png………………….6分
（Ⅱ）因为word/media/image131_1.png两两垂直，建立空间直角坐标系604f73b828399ae5171f3bf406d2c3b1.png如图所示．
因为word/media/image132_1.png,word/media/image133_1.png
则word/media/image134_1.png……8分
由word/media/image135_1.png所以，word/media/image136_1.png
设平面word/media/image137_1.png的法向量为word/media/image138_1.png，则
令word/media/image140_1.png，得word/media/image141_1.png……10分
因为word/media/image142_1.png平面word/media/image143_1.png，所以word/media/image144_1.png为平面word/media/image143_1.png的法向量，
所以word/media/image141_1.png与word/media/image144_1.png所成角的余弦为word/media/image145_1.png．
所以二面角的正弦值为word/media/image146_1.png.……12分

19. （12分）
已知椭圆word/media/image147_1.png的离心率为word/media/image148_1.png，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点word/media/image150_1.png的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有word/media/image151_1.png.
【解析】（I）由题意知word/media/image152_1.png，word/media/image153_1.png.……1分
又因为word/media/image154_1.png解得，word/media/image155_1.png. ……3分
所以椭圆方程为word/media/image156_1.png. ……4分
（Ⅱ） 设过点word/media/image157_1.png直线为word/media/image158_1.png，设word/media/image159_1.png，
由word/media/image161_1.png得word/media/image162_1.png，且word/media/image163_1.png.
则word/media/image164_1.png
又因为word/media/image165_1.png，word/media/image166_1.png， word/media/image167_1.pngword/media/image168_1.png，……10分
所以word/media/image169_1.png.
因为线段的中点为word/media/image171_1.png，所以word/media/image172_1.png.……12分

20. （12）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0<p<1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验.
化验次数的期望值越小，则方案越"优".
（1）若word/media/image173_1.png，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（2）①若word/media/image174_1.png，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p的取值范围.
【解析】(I)该混合样本达标的概率是word/media/image175_1.png，……2分
所以根据对立事件原理，不达标的概率为word/media/image176_1.png.……4分
(II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4.
方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为word/media/image177_1.png；若不达标则检测次数为3，概率为word/media/image178_1.png.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下，

可求得方案二的期望为word/media/image187_1.png
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.
其分布列如下，

可求得方案四的期望为word/media/image193_1.png.
比较可得word/media/image194_1.png，故选择方案四最“优”．……9分
(ii)方案三：设化验次数为，可取2,5.

word/media/image200_1.png；
方案四：设化验次数为word/media/image201_1.png，word/media/image201_1.png可取word/media/image202_1.png

word/media/image208_1.png；
由题意得word/media/image209_1.png.
故当word/media/image210_1.png时，方案三比方案四更“优”．……12分

21. （12分）
已知函数word/media/image211_1.png.
（1）求word/media/image212_1.png的最大值；
（2）若word/media/image213_1.png恒成立，求实数b的取值范围.
【解析】(I)word/media/image214_1.png，定义域word/media/image215_1.png，
，
由word/media/image217_1.png，word/media/image218_1.png在word/media/image219_1.png增，在word/media/image220_1.png减，word/media/image221_1.png……4分(II)word/media/image222_1.pngword/media/image223_1.png word/media/image224_1.pngword/media/image225_1.pngword/media/image226_1.png……6分
令word/media/image227_1.png，word/media/image228_1.png
令word/media/image229_1.png，word/media/image230_1.png在word/media/image215_1.png单调递增，word/media/image231_1.png，word/media/image232_1.png
word/media/image230_1.png在word/media/image233_1.png存在零点word/media/image234_1.png，即word/media/image235_1.png
word/media/image236_1.png……9分
由于在word/media/image238_1.png单调递增，故word/media/image239_1.png即word/media/image240_1.png
word/media/image241_1.png在word/media/image242_1.png减，在word/media/image243_1.png增，word/media/image244_1.png
所以word/media/image245_1.png.……12分

（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点Pword/media/image246_1.png，其参数方程word/media/image247_1.png（word/media/image248_1.png为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线word/media/image249_1.png交E于点A，B，且OAword/media/image250_1.pngOB，求证：word/media/image251_1.png为定值，并求出这个定值.
【解析】(I)将点word/media/image252_1.png代入曲线E的方程，
得word/media/image253_1.png解得word/media/image254_1.png，……2分
所以曲线word/media/image255_1.png的普通方程为word/media/image256_1.png,
极坐标方程为word/media/image257_1.png.……5分
(Ⅱ)不妨设点的极坐标分别为
word/media/image259_1.png
则word/media/image260_1.png
即word/media/image261_1.png……8分
word/media/image262_1.png,即word/media/image263_1.png……10分

23. [选修4-5不等式选讲]（10分）
已知函数word/media/image264_1.png.
（1）求不等式word/media/image265_1.png的解集；
（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得word/media/image266_1.png，求m的取值范围.
【解析】(I)由word/media/image267_1.png，得，
不等式两边同时平方，得，……3分
即word/media/image269_1.png，解得word/media/image270_1.png.
所以不等式word/media/image267_1.png的解集为word/media/image271_1.png．……5分
(Ⅱ)设g(x)＝|x－1|－|2x＋1|

word/media/image272.gif

……8分

word/media/image273_1.png因为word/media/image274_1.png，word/media/image275_1.png
又恰好存在4个不同的整数n，使得word/media/image276_1.png，
所以word/media/image277_1.png故word/media/image278_1.png的取值范围为. ……10分

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