2017-2018学年江苏省泰州市姜堰市九年级(上)期末数学试卷
一、选择题:(每题3分,共18分)
1.(3分)计算sin45°的值等于( )
A.word/media/image2.gif B.word/media/image3.gif C.word/media/image4.gif D.word/media/image5.gif
2.(3分)一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2,则p的值为( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2
3.(3分)把抛物线y=﹣2x2向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到的抛物线是( )
A.y=﹣2(x+1)2+1 B.y=﹣2(x﹣1)2+1
C.y=﹣2(x﹣1)2﹣1 D.y=﹣2(x+1)2﹣1
4.(3分)如图,D是△ABC一边BC上一点,连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是( )
word/media/image6.gif
A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD
C.AB2=CD•BC D.AB2=BD•BC
5.(3分)如图,在平面直角坐标系中,边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合,点A在x轴上,点B在反比例函数y=word/media/image7.gif位于第一象限的图象上,则k的值为( )
word/media/image8.gif
A.9word/media/image9.gif B.9word/media/image10.gif C.3word/media/image10.gif D.3word/media/image9.gif
6.(3分)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心作⊙O交x轴正半轴于A,P为⊙O上的动点(点P不在坐标轴上),过点P作PC⊥x轴,PD⊥y轴于点C、D,B为CD中点,连接AB,则∠BAO的最大值是( )
word/media/image11.gif
A.15° B.30° C.45° D.60°
二、填空题:(每题3分,共30分)
7.(3分)抛物线y=2x2﹣3的顶点坐标为 .
8.(3分)已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1+x2= .
9.(3分)把一块直尺与一块三角板如图放置,若sin∠1=word/media/image12.gif,则∠2的度数为 .
word/media/image13.gif
10.(3分)在学校的歌咏比赛中,10名选手的成绩如统计图所示,则这10名选手成绩的众数是 .
word/media/image14.gif
11.(3分)拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:word/media/image15.gif,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是 m.
word/media/image16.gif
12.(3分)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C;过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E.若AB=2,BC=4,BD=1.5,则线段DE的长为 .
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13.(3分)已知圆锥的母线为10,底面圆的直径为12,则此圆锥的侧面积是 .
14.(3分)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,若∠BAC=22°,则∠ADC的度数是 .
word/media/image18.gif
15.(3分)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
16.(3分)如图,一次函数y=1+word/media/image19.gifx的图象与二次函数y=2x2﹣8x+3的对称轴交于A点,函数y=kx(k≠0)的图象与y=1+word/media/image19.gifx的图象、二次函数y=2x2﹣8x+3的对称轴分别交于B点和C点,若△ABC是等腰三角形,则tan∠ACB= .
word/media/image20.gif
三、解答题:(共102分)
17.(10分)(1)计算:(word/media/image21.gif)﹣1﹣3tan30°+(1﹣π)0word/media/image22.gif.
(2)解分式方程:word/media/image23.gif=word/media/image24.gif﹣1.
18.(8分)已知M=5y2+3,N=4y+4y2.
(1)求当M=N时y的值;
(2)求M﹣N的最值.
19.(8分)某商场今年8~12月A、B两种品牌的冰箱的销售情况如下表(单位:台):
通过整理,得到数据分析表如下:
(1)求出表中a、b、c的值;
(2)比较该商场8~12月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性.
20.(10分)学校召集留守儿童过端午节,桌上摆有甲、乙两盘粽子,每盘中盛有白粽2个,豆沙粽1个,肉粽1个(粽子外观完全一样).
(1)小明从甲盘中任取一个粽子,取到豆沙粽的概率是 ;
(2)小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子,请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率.
21.(10分)某公司今年销售一种产品,1 月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同,求这个增长率.
22.(10分)如图,已知抛物线y=x2+kx﹣6的图象与x轴交于点A和B,点A在点B的左边,与y轴的交点为C,tan∠OCB=word/media/image25.gif.
(1)求k的值;
(2)若点P(m,﹣2m)在该抛物线上,求m的值.
word/media/image26.gif
23.(10分)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒,已知∠B=30°,∠C=45°.
(1)求B,C之间的距离;(保留根号)
(2)如果此地限速为80km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:word/media/image27.gif≈1.7,word/media/image28.gif≈1.4)
word/media/image29.gif
24.(10分)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,AC为⊙O的直径,DB=DC,延长BA、CD相交于E点.
(1)求证:∠EAD=∠CAD;
(2)若AC=10,sin∠BAC=word/media/image30.gif,求AD的长.
word/media/image31.gif
25.(12分)在平面直角坐标系中,设二次函数y=(x+a)(x﹣a﹣1)(a>0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的右边),与y轴交于C点.
(1)求抛物线y=(x+a)(x﹣a﹣1)的对称轴;
(2)若点D(2﹣2a,m)在二次函数y=(x+a)(x﹣a﹣1)的图象上,其中m<0,a为整数.
①a的值;
②点P为二次函数y=(x+a)(x﹣a﹣1)对称轴上一点,△ACP为以AC为腰的等腰三角形,求P点的坐标.
word/media/image32.gif
26.(14分)如图,已知矩形ABCD中AB=2,BC=a,E为DC延长线上一点,CE=1.
(1)连接AC、AE,求tan∠ACB•tan∠BAE的值;
(2)P为线段BC上的点,且以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似.
①若a=4,求线段BP的长;
②若满足条件的点P有且只有2个,求a的值或取值范围.
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2017-2018学年江苏省泰州市姜堰市九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(每题3分,共18分)
1.【解答】解:sin45°=word/media/image34.gif
故选:C.
2.【解答】解:把x=2代入x2+px﹣6=0得4+2p﹣6=0,
解得p=1.
故选:C.
3.【解答】解:∵函数y=﹣2x2的顶点为(0,0),
∴向上平移1个单位,再向右平移1个单位的顶点为(1,1),
∴将函数y=﹣2x2的图象向上平移1个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+1,
故选:B.
4.【解答】解:∵∠B=∠B,
∴当word/media/image35.gif时,
△ABC∽△DBA,
当AB2=BD•BC时,△ABC∽△DBA,
故选:D.
5.【解答】解:word/media/image36.gif
连接OB,过B作BG⊥OA于G,
∵ABCDEF是正六边形,
∴∠AOB=60°,
∵OB=OA,
∴△AOB是等边三角形,
∴OB=OA=AB=6,
∵BG⊥OA,
∴∠BGO=90°,
∴∠OBG=30°,
∴OG=word/media/image37.gifOB=3,由勾股定理得:BG=3word/media/image38.gif,
即B的坐标是(3,3word/media/image38.gif),
∵B点在反比例函数y=word/media/image39.gif上,
∴k=3×3word/media/image38.gif=9word/media/image38.gif,
故选:B.
6.【解答】解:∵B为CD中点,四边形OCPD为矩形,
∴点B为对角线CD、OP交点,
即点B为OP中点,连接OP,
由题意可知,当BA⊥OP时∠BAO最大,
设半径为2a,则OB=a,OA=2a,
在Rt△ABO中,
sin∠BAO=word/media/image40.gif,
∠BAO=30°.
故选:B.
word/media/image41.gif
二、填空题:(每题3分,共30分)
7.【解答】解:
∵抛物线y=2x2﹣3,
∴抛物线顶点坐标为(0,﹣3),
故答案为:(0,﹣3).
8.【解答】解:
∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2,
∴x1+x2=﹣5,
故答案为:﹣5.
9.【解答】解:∵sin∠1=word/media/image42.gif,
∴∠1=45°,
∵直角△EFG中,∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°,
∴∠4=180°﹣∠3=135°,
又∵AB∥CD,
∴∠2=∠4=135°.
故答案为:135°.
word/media/image43.gif
10.【解答】解:根据折线统计图可得:
90分的人数有5个,人数最多,则众数是90;
故答案为:90.
11.【解答】解:∵迎水坡AB的坡比是1:word/media/image44.gif,坝高BC=10m,
∴word/media/image45.gif=word/media/image46.gif=word/media/image47.gif,
解得:AC=10word/media/image48.gif,
则AB=word/media/image49.gif=20(m).
故答案为:20.
12.【解答】解:∵l1∥l2∥l3,
∴word/media/image50.gif=word/media/image51.gif,即word/media/image52.gif,
∴BE=3,
∴DE=3+1.5=4.5.
故答案为:4.5.
13.【解答】解:底面圆的半径为6,则底面周长=12π,圆锥的侧面积=word/media/image53.gif×12π×10=60π.
故答案为:60π.
14.【解答】解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣22°=68°.
∴∠ADC=∠ABC=68°.
故答案为:68°.
15.【解答】解:设利润为w元,
则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,
∵20≤x≤30,
∴当x=25时,二次函数有最大值25,
故答案是:25.
16.【解答】解:分两种情况:
如图1,当AB=AC时,∠ACB=∠ABC,
y=word/media/image54.gifx+1中,当x=0时,y=1,
∴E(0,1),OE=1,
当y=0时,word/media/image54.gif +1=0,x=﹣word/media/image55.gif,
∴F(﹣word/media/image55.gif,0),OF=word/media/image56.gif,
∴EF=2,
∴∠EFO=30°,∠OEF=60°,
∵OE∥AC,
∴∠BAG=∠OEF=60°,
∵∠BAG=∠ACB+∠ABC,
∴∠ACB=30°,
∴tan∠ACB=tan30°=word/media/image57.gif;
如图2,当AB=BC时,∠BAC=∠ACB,
∵OE∥AC,
∴∠BEO=∠BAC=60°,
∴∠ACB=60°,
∴tan∠ACB=tan60°=word/media/image56.gif;
综上所述,tan∠ACB=word/media/image57.gif或word/media/image56.gif;
故答案为:word/media/image57.gif,word/media/image56.gif
word/media/image58.gif
word/media/image59.gif
三、解答题:(共102分)
17.【解答】解:(1)原式=2﹣3×word/media/image60.gif+1+2word/media/image61.gif
=3+word/media/image61.gif;
(2)方程的两边同乘(x+1)(x﹣1),得2(x﹣1)=x(x+1)﹣(x+1(x﹣1),
∴2x﹣2=x2+x﹣x2+1,
解得x=3.
检验:把x=3代入(x+1)(x﹣1)=8≠0,即x=3是原分式方程的解,
∴原方程的解:x=3.
18.【解答】解:(1)当M=N时,
即5y2+3=4y+4y2
所以y2﹣4y+3=0
解得:y1=1,y2=3
即当y=1或y=3 时,M=N.
(2)M﹣N
=5y2+3﹣4y﹣4y2
=y2﹣4y+3
=(y2﹣4y+4)﹣1
=(y﹣2)2﹣1
即当y=2时,M﹣N有最小值﹣1
19.【解答】解:(1)A品牌的销售量由小到大排列为:13,14,15,16,17,A品牌的中位数为15,即b=15;
B品牌的销售量由小到大排列为:10,14,15,16,20,平均数为word/media/image62.gif=15,
方差为word/media/image63.gif[(10﹣15)2+(14﹣15)2+(15﹣15)2+(16﹣15)2+[(20﹣15)2]=10.4,
即a=15,c=10.4;
(2)∵10.4>2,即B品牌的方差>A品牌的方差,
∴该商场8~12月A种品牌冰箱月销售量较稳定.
20.【解答】解:(1)∵甲盘中一共有4个粽子,其中豆沙粽子只有1个,
∴小明从甲盘中任取一个粽子,取到豆沙粽的概率是word/media/image64.gif,
故答案为:word/media/image64.gif;
(2)画树状图如下:
word/media/image65.gif
由树状图可知,一共有16种等可能结果,其中恰好取到两个白粽子有4种结果,
∴小明恰好取到两个白粽子的概率为word/media/image66.gif=word/media/image67.gif.
21.【解答】解:设这个增长率为x.
依题意得:20(1+x)2﹣20(1+x)=4.8,
解得 x1=0.2,x2=﹣1.2(不合题意,舍去).
0.2=20%.
答:这个增长率是20%.
22.【解答】解:(1)由题意C(0,6),
∵tan∠OCB=word/media/image68.gif=word/media/image69.gif,OC=6,
∴OB=3,
∴B(3,0)代入y=x2+kx﹣6得到,0=9+3k﹣6
∴k=﹣1.
(2)P(m,﹣2m)在抛物线y=x2﹣x﹣6上,
∴﹣2m=m2﹣m﹣6,
解得m=﹣3或m=2.
23.【解答】解:(1)如图作AD⊥BC于D.则AD=10m,
在Rt△ACD中,∵∠C=45°,
∴AD=CD=10m,
在Rt△ABD中,∵∠B=30°,
∴tan30°=word/media/image70.gif,
∴BD=word/media/image71.gifAD=10word/media/image71.gifm,
∴BC=BD+DC=(10+10word/media/image72.gif)m.
(2)结论:这辆汽车超速.
理由:∵BC=10+10word/media/image73.gif27m,
∴汽车速度=word/media/image74.gif=30m/s=108km/h,
∵108>80,
∴这辆汽车超速.
word/media/image75.gif
24.【解答】(1)证明:∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠EAD=∠BCD,
∵BD=CD,
∴∠DBC=∠BCD,
∴∠EAD=∠DBC,
∵∠DBC=∠CAD,
∴∠EAD=∠CAD;
(2)解:∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∵AC=10,sin∠BAC=word/media/image76.gif,
∴word/media/image77.gif,
∴BC=6,AB=8,
∵∠EAD=∠CAD,∠ADC=∠ADE=90°,
∴∠E=∠ACE,
∴AE=AC=10,ED=CD,
∵∠ADE=∠EBC,∠E=∠E,
∴△EAD∽△ECB,
∴word/media/image78.gif即word/media/image79.gif得:ED=3word/media/image80.gif,AD=word/media/image80.gif.
25.【解答】解:(1)y=(x+a)(x﹣a﹣1)=x2﹣x﹣a2﹣a,
抛物线的对称轴为直线x=﹣word/media/image81.gif=word/media/image76.gif;
(2)①当y=0时,(x+a)(x﹣a﹣1)=0,解得x1=﹣a,x2=a+1,
∴B(﹣a,0),A(a+1,0),
∵点D(2﹣2a,m)在二次函数y=(x+a)(x﹣a﹣1)的图象上,其中m<0,
∴点D在x轴下方的抛物线上,
∴﹣a<2﹣2a<a+1,解得word/media/image76.gif<a<2,
∵a为整数,
∴a的值为1;
②a=1时,抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2,A点坐标为(2,0),
当x=0时,y=x2﹣x﹣2=﹣2,则C(0,﹣2),
设P(word/media/image76.gif,t),
AC2=22+22=8,PC2=(word/media/image76.gif)2+(t+2)2,PA2=(word/media/image76.gif﹣2)2+t2,
当CP=CA时,△ACP是以AC为腰的等腰三角形,即(word/media/image76.gif)2+(t+2)2=8,解得t1=﹣2+word/media/image82.gif,t2=﹣2﹣word/media/image82.gif,此时P点坐标为(word/media/image76.gif,﹣2+word/media/image82.gif)或(word/media/image76.gif,﹣2﹣word/media/image82.gif);
当AP=AC时,△ACP是以AC为腰的等腰三角形,即(word/media/image76.gif﹣2)2+t2=8,解得t1=word/media/image82.gif,t2=﹣word/media/image82.gif,此时P点坐标为(word/media/image76.gif,word/media/image82.gif)或(word/media/image76.gif,﹣word/media/image82.gif);
综上所述,P点坐标为(word/media/image76.gif,﹣2+word/media/image82.gif)或(word/media/image76.gif,﹣2﹣word/media/image82.gif)或(word/media/image76.gif,word/media/image82.gif)或(word/media/image76.gif,﹣word/media/image82.gif).
26.【解答】解:(1)如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,∠ABC=∠ADC=90°,AB∥DC,
∴∠BAE=∠DEA,
在Rt△ABC中,tan∠ACB=word/media/image81.gif=word/media/image76.gif,
在Rt△ADE中,DE=CD+CE=3,tan∠AED=word/media/image81.gif=word/media/image76.gif,
∴tan∠BAE=word/media/image76.gif,
∴tan∠ACB•tan∠BAE=word/media/image76.gif
(2)①∵a=4,
∴BC=4,
设BP=m,∴CP=4﹣m,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCE=90°,
∵以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似,
∴Ⅰ、△PAB∽△PEC,
∴word/media/image83.gif,
∴word/media/image83.gif,
∴m=word/media/image76.gif
Ⅱ、△PAB∽△EPC,
∴word/media/image83.gif,
∴word/media/image83.gif,
∴m=2+word/media/image84.gif或m=2﹣word/media/image84.gif,
②设BP=x,∴CP=a﹣x,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCE=90°,
∵以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似,
当△PBA∽△PCE时,可得word/media/image83.gif得word/media/image83.gif得word/media/image85.gif(Ⅰ)
当△PBA∽△ECP时,可得word/media/image83.gif得word/media/image83.gif得x2﹣ax+2=0(Ⅱ)
因为满足条件的点P有且只有两个,所以有两种情况:
1)方程(Ⅱ)有两个相等的实数根,且和方程(Ⅰ)的实数不相等,
由△=0,得a=2word/media/image84.gif或a=﹣2word/media/image84.gif(负),
∴方程(Ⅱ)的实数根为x1=x2=word/media/image84.gif,方程(Ⅰ)的实数根为x=word/media/image86.gif,
符合题意,
2)方程(Ⅰ)的解也是方程(Ⅱ)的解,且方程有两个不相等的实数根,
将word/media/image85.gif代入方程(Ⅱ)得a=3或a=﹣3(负),
综上所述:符合题意的a的值为:word/media/image87.gif或3.
word/media/image88.gif
word/media/image89.gif
word/media/image90.gif
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