高中物理 动量守恒中的经典模型

高中物理 动量守恒中的经典模型

一、人船模型例1、在平静的湖面上停泊着一条长为L，质量为M的船，如果有一质量为m的人从船的一端走到另一端，求船和人相对水面的位移各为多少？解析：设人从船的一端走到另一端所用时间为t，人、船的速度分别为，由人、船整个系统在水平方向上满足动量守恒，则：模型特征：1.无关；2.由（1）（2）得，在系统满足动量守恒的方向上，人船的位移与质量成正比；3.对，分式中的分子m为船上一端移到另一端的“净质量”，分母M+m为船和船上所有物体的质量和。

例2、在冰面上静止着质量为M、长为L的车，车的一端由一名士兵进行实弹射击在车另一端的靶子，已知士兵和其武器装备的质量为m，每颗子弹的质量，当士兵发射了颗子弹后稍做休息，又发射了颗子弹，并全部击中靶子，求车后退的距离________。解析：车、人和子弹三者构成的体系在水平方向上满足动量守恒，从车的一端移到另一端的净质量为，由模型特征得。

例3、在距离地面高h处的气球上站有一人，人和气球的质量分别为m和M，开始两者均静止，人要沿绳安全的滑到地面上，绳至少多长？解析：人和气球两者在竖直方向上满足动量守恒，人滑到地面相对地的位移为，设球上升的高度为，绳长至少为L，则由得。所以绳子长至少为。

例4、在光滑水平面上有一质量为M的斜劈，斜劈斜面与水平面的夹角为，斜面长为L，斜劈的顶端有一质量为m的小球，当小球滑到斜劈的低端时，求斜劈后退的距离。解析：小球和斜劈两者组成的系统在水平方向上满足动量守恒，斜劈斜面长在水平方向的投影。由上面的模型特点得斜劈后退的距离。二、子弹打木块模型例5、如图4所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度水平射向木块，设木块没有被射穿且子弹受到的阻力f恒定，求（1）木块的最大速度；（2）木块的最短水平长度；（3）木块的速度达到最大时，子弹射入木块的深度与木块的位移之比；（4）子弹与木块相对运动过程系统产生的内能。解析：（1）当木块与子弹的速度相等时，木块的速度最大，由动量守恒列式（2）子弹和木块对地的位移不相等，木块未被击穿，表明木块的水平长度应不小于两者位移之差，即由、、式得，所以木块的最短水平长度为（3）设子弹进入木块的深度为d，联立、、、式得（4）系统增加的内能等于系统减少的动能由、得表示子弹原有动能，系统内能增加。模型特征：当子弹和木块的速度相等时木块的速度最大，两者的相对位移（子弹射入的深度）取得极值；系统的动量守恒，但系统的机械能不守恒，系统内力与两者相对位移的乘积等于系统机械能的减少，当两者的速度相等时，系统机械能损失最大；由上式可以看出，子弹的质量越小，木块的质量越大，动能损失越多；根据能量守恒，系统损失的动能等于系统其他形式能的增加；解决该类问题，既可以从动量、能量两方面解题，也可以从力和运动的角度，借助图像求解。

例6、质量为的小木块以水平速度为滑上一个静止在光滑地面上的平板车，如图5所示，平板车的质量，若木块没有滑出平板车，它们之间的动摩擦因数为，，求（1）求整个系统损失的机械能；（2）这一过程所经历的时间。解析：（1）整个系统损失的能量为：（2）以为研究对象，受到水平向右的恒力

例7、如图6所示，两根足够长的固定的平行的金属导轨位于同一水平面上，两根导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。两根导体棒的质量均为m，电阻分别为，回路中其余部分的电阻不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，两导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时cd棒静止，棒ab有指向棒cd的初速度，若两导体棒在运动中始终不接触，求在运动中ab棒产生的焦耳热是多少？解析：ab棒向右切割磁感线运动，整个回路中有感应电流存在，在安培力的作用下，ab棒做减速运动，cd棒做加速运动，当两棒的速度相等后，整个回路中的电流等于零，两棒保持向右做匀速运动。两棒组成系统动量守恒，由上面的结论知，系统损失的动能等于系统产生的焦耳热，ab棒产生的焦耳热

例8、1919年卢瑟福用粒子轰击一个静止的核发现质子。上面的核反应可以用下面的模型来认识。运动粒子撞击一个静止的核，它们暂时形成一个整体（复合核），随即复合核迅速转化成一个质子和一个原子核，已知复合核发生转化需要1.19MeV，要想发生该核反应，入射的粒子的动能至少为多少？解析：粒子撞击一个静止的核符合动量守恒，系统损失的动能转化为复合核转化所需要的能量为，所以入射粒子的动能。

三、弹性球正碰模型例9、已知A、B两个弹性小球，质量分别为，B物体静止在光滑的平面上，A以初速度与B物体发生正碰，求碰后A物体速度为和B物体速度的大小和方向。解析：因发生的是弹性碰撞，取方向为正方向由动量守恒由机械能守恒由、两式得：模型特征：在碰撞过程中动量守恒、机械能守恒；当时，，A物体静止，B物体以A的初速度运动，速度发生互换；当，则，即物体A、B同方向运动，因，所以速度大小，即两小球不会发生第二次碰撞。其中当，，即当质量很大的物体A碰撞质量很小的物体B，物体A的速度几乎不变，物体B以2倍于物体A的速度和物体A同向运动。当时，则，即物体A、B反方向运动，其中，当时，，即物体A以原速度的大小弹回，物体B静止不动。

例10、如图8，质量分别为M、m（M>>m）的母子球从高h处下落。试证明：大球与地面相碰后，小球从大球顶反弹的最大高度为。解析：设母子球着地的速度为v，，由于M>>m，着地后，大球反弹，以速度v碰撞小球，小球获得竖直向上的速度2v；同时小球以速度v碰撞大球，必然以速度v返回，所以小球以速度3v反弹，则小球从大球顶部反弹的最大高度为

例11、带有光滑圆弧的轨道、质量为M的滑车静止于光滑的水平面上，如图9所示。一个质量为m的小球以速度水平冲向滑车，当小球在返回并脱离滑车时，下列说法可能正确的是（ ）A.小球一定沿水平方向向左平抛运动B.小球可能沿水平方向向右平抛运动C.小球可能做自由落体运动D.小球可能做水平向右运动解析：小球滑上滑车，又返回，到离开滑车的整个过程中，相当于小球与滑车发生弹性碰撞的过程。如果mM，小球离开滑车向右做平抛运动，故答案应选B、C、D。

例12、如图10中两单摆的摆长相同，平衡时，两钢球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平面向左拉开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运动，以分别表示两摆球A、B的质量，则（ ）A.如果，下次碰撞发生在平衡位置的右侧B.如果，下次碰撞发生在平衡位置的左侧C.无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的右侧D.无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的左侧解析：当时，A球以与B球在平衡位置发生弹性碰撞，速度互换，A球静止；当B球反向摆回，以的速度与A球在平衡位置再次发生弹性碰撞，如此反复；当时，A球与B球在平衡位置发生第一次碰撞，因，所以两球同向右摆动，各经过半个周期后第二次到达平衡位置。因两摆球的摆线等长，故两摆球的周期相等，所以两球同时到达平衡位置，在平衡位置发生第二次碰撞。同理，当，两球也在平衡位置发生第二次碰撞，故答案应选C、D。

四、平射炮反冲模型例13、光滑的水平面上静止一辆质量为M的炮车，当炮车水平发射一枚质量为m的炮弹，炮弹出口时有的火药能量释放，其中有的能量转化为系统的内能，求炮弹和炮车的动能各为多少？解析：炮弹和炮车组成的系统在水平方向上满足动量守恒，设炮弹和炮车的速度分别为，由动量守恒得，即动量大小关系设炮弹和炮车的动能分别为，系统机械能的增加量为，则由能量守恒得模型特征：在满足动量守恒的方向上，整个系统任意时刻的动量为零，即；炮车和炮弹获得动能为；让（1）式比上（2）式得，即炮弹和炮车获得动能与其质量成反比。

例14、如图11所示，带有光滑的半径为R的圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上，此滑块的质量为M，一个质量为m的小球静止从A点释放，当小球从滑块B处水平飞出时，求滑块的动能。解析：当小球从B点飞出时，小球和滑块在水平方向上满足动量守恒，由上面的模型特点的滑块获得的动能为

例15、在光滑的水平面上放有质量分别为M、m的两小球，两球间放有一被压缩的轻质弹簧，其弹性势能为E，释放弹簧，两球被弹开，求小球m的最大速度。解析：当弹簧完全弹开后，由上面的模型特征知，小球m的动能，由动能定理得小球的最大速度。

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