闸北区2013年高考数学（理科）模拟试题
（满分：150分 考试时间：120分钟） 2013.5
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若，
，则
2．已知为等差数列，
+
+
=9，
=15，则
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 ．
4．已知（其中以
为常数且
），
如果，则
的值为 .
5．设等比数列{}的前n 项和为
，若
，则
= ．
6．湖面上漂着一个表面积为的小球，湖水结冰后将球取出，
冰面上留下了一个深2厘米的空穴，则该空穴表面圆形的直径
为 厘米.
7．设向量，
，定义一运算：
,已知
，
.点Q在
的图像上运动，
且满足（其中O为坐标原点），则
的最小正周期是 ．
8．某小组共有名学生，其中恰有一对双胞胎，若从中随机抽查
位学生的
作业，若双胞胎的作业同时被抽中概率为，则
_______．
9．在极坐标系中，两曲线与
交于
两点，则
___．
10．已知双曲线的渐近线与圆
相交，则双曲
线两渐近线的夹角取值范围是_____________．
11．复数是方程
的解，若
，且
，则
的最小值为_________．
12．已知函数,集合
,集合
,则集合
所表示的图形面积是___________．
13．已知椭圆与双曲线
有相同的焦
点.点
是曲线
与
的公共点，则
．
14．函数，
，
，
，对任意的
，总存在
，使得
成立，则
的取值范围为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．已知，则x= ( )
（A）4 （B） （C）
（D）
16．若,则
的值为（ ）
（A） （B）0 （C） 2 （D）
17．已知定义在函数
，存在常数
，对任意
均有
成
立，则下列结论中正确的个数是（ ）
（1）在
一定单调递增；
（2）在
上不一定单调递增，但满足上述条件的所有
一定存在递增区间；
（3）存在满足上述条件的，但找不到递增区间；
（4）存在满足上述条件的，既有递增区间又有递减区间．
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
18．定义域为的函数
图象上两点
，
是
图象上任意一点，其中．已知向量
，
若不等式对任意
恒成立，则称函数
在
上“
阶线性近
似”．若函数在
上“
阶线性近似”，则实数的
取值范围为 （ ）
（A） （B）
（C）
（D）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，某几何体中，正三棱柱
的所有棱长都为2，四边形
是菱形，其中
为
的中点.
（1）求与
所成角的大小；
（2）求该几何体的体积.
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
中，
，
，
分别是角
的对边，向量
，
,
．
（1）求角的大小；
（2）若，
，求
的值．
21．（本题满分14分）
已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为，其中
为给定的大于12
的常数。若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当
=12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？（全程燃料费=每小时的燃料费
实际行驶的时间）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知抛物线的焦点为
，点
为抛物线
上的定点，点
为抛物线
上的动点.且
的外接圆圆心到准线的距离为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过作圆
的两条切线分别交该圆于点
，求四边形
面积的最小值及此时
点坐标.
（3）设点，且对抛物线
上的任意动点
，
总为锐角，求实数
的取值范围．
23．(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分。
对于数列：
，记
表示实数
中最大的数，
表示实数
中最小的数，
，其中
．定义变换
，
将数列
变换成数列
：
．
（1）已知数列：
和数列
，写出数列
和
；
（2）已知数列中任意两项互不相等，证明：数列
：
中必有两个相邻的项相等；
（3）证明：对于有穷数列，
与
是相同的数列的充要条件是
．
上海市闸北区2013年高考三模数学试题（理科）
参考答案
（满分：150分 考试时间：120分钟） 2013.5
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若，
，则
．（0，2）
2．已知为等差数列，
+
+
=9，
=15，则
．8
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是 ．4
4．已知（其中以
为常数且
），
如果，则
的值为 . 3
5．设等比数列{}的前n 项和为
，若
，则
= ．10
6．湖面上漂着一个表面积为的小球，湖水结冰后将球取出，
冰面上留下了一个深2厘米的空穴，则该空穴表面圆形的直径
为 厘米. 12
7．设向量，
，定义一运算：
,已知
，
.点Q在
的图像上运动，
且满足（其中O为坐标原点），则
的最小正周期是 ．
8．某小组共有名学生，其中恰有一对双胞胎，若从中随机抽查
位学生的
作业，若双胞胎的作业同时被抽中概率为，则
_______．10
9．在极坐标系中，两曲线与
交于
两点，则
__4__．
10．已知双曲线的渐近线与圆
相交，则双曲
线两渐近线的夹角取值范围是_____________．
11．复数是方程
的解，若
，且
，则
的最小值为_________．
12．已知函数,集合
,集合
,则集合
所表示的图形面积是___________．
13．已知椭圆与双曲线
有相同的焦
点.点
是曲线
与
的公共点，则
．
14．函数，
，
，
，对任意的
，总存在
，使得
成立，则
的取值范围为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．已知，则x= ( C )
（A）4 （B） （C）
（D）
16．若,则
的值为（ A ）
（A） （B）0 （C） 2 （D）
17．已知定义在函数
，存在常数
，对任意
均有
成
立，则下列结论中正确的个数是（ B ）
（1）在
一定单调递增；
（2）在
上不一定单调递增，但满足上述条件的所有
一定存在递增区间；
（3）存在满足上述条件的，但找不到递增区间；
（4）存在满足上述条件的，既有递增区间又有递减区间．
（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个
18．定义域为的函数
图象上两点
，
是
图象上任意一点，其中．已知向量
，
若不等式对任意
恒成立，则称函数
在
上“
阶线性近
似”．若函数在
上“
阶线性近似”，则实数的
取值范围为 （D ）
（A） （B）
（C）
（D）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，某几何体中，正三棱柱
的所有棱长都为2，四边形
是菱形，其中
为
的中点.
（1）求与
所成角的大小；
（2）求该几何体的体积.
解：（1）
最后一步改为6分
（2）共6分
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
中，
，
，
分别是角
的对边，向量
，
,
．
（1）求角的大小；
（2）若，
，求
的值．
解： ----------2分
----------5分
或
------------------------------------------7分
（2）， ………8分
综上 ……………12分
21．（本题满分14分）
已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为，其中
为给定的大于12
的常数。若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，当
=12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？（全程燃料费=每小时的燃料费
实际行驶的时间）
解答：设每小时的燃料费为，比例系数为
，则
1分
当时，
得k=5 3分
设全程燃料费为y，依题意有
6分
当，即v=16时取等号
所以当时，v=16时全程燃料费最省。 9分
当时，令
任取
则
即在
上为减函数，当
时，y取最小值
13分
综合得：当时，v=16km/h，实际船速为8km/h，全程燃料费最省，为32000元，当
时，当
，实际船速为（
-8）km/h时，全程燃料费最省，为
元. 14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分。
已知抛物线的焦点为
，点
为抛物线
上的定点，点
为抛物线
上的动点.且
的外接圆圆心到准线的距离为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过作圆
的两条切线分别交该圆于点
，求四边形
面积的最小值及此时
点坐标.
（3）设点，且对抛物线
上的任意动点
，
总为锐角，求实数
的取值范围．
解答：（1）
的外接圆的圆心在线段
的中垂线
上，则圆心的纵坐标为
故到准线的距离为
从而 …………… (2分)
即抛物线的方程为：
…………… (4分)
（2）设∵圆心坐标
是抛物线
的焦点
∴ ……………………………………… (6分)
………………………… (8分)
∴ 当时，四边形
面积的最小值为
，此时点
.……(10分)
（3）（理）根据题意：为锐角
且
∵
∴
…………………………………………… (11分)
记： 在
上恒成立
又
.当
时，即：
当时，
解得：
∴ ………………………………………………… (13分)
.当
时，即：
当时，
∴
………………………… (15分)
综合得： ………………………… (16分)
23．(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分。
对于数列：
，记
表示实数
中最大的数，
表示实数
中最小的数，
，其中
．定义变换
，
将数列
变换成数列
：
．
（1）已知数列：
和数列
，写出数列
和
；
（2）已知数列中任意两项互不相等，证明：数列
：
中必有两个相邻的项相等；
（3）证明：对于有穷数列，
与
是相同的数列的充要条件是
．
解答：（1）由的定义可知：
2分
同理： 即
4分
（２）中4项的大小关系有8种情况。（分类讨论）
当时，由定义易得
：
，命题得证； 5分
当时，由定义易得
：
，命题得证；
6分
其余6中情况中必有相邻的三项满足：或
.
若，由定义
且
，则
，命题得证； 8分
若，由定义
且
，则
，命题得证。 １０分
（或分8类讨论也可以）
（３）先证充分性：，
所以，即
． 12分
再证明必要性：
首先，证明A中的各项都是非负的。
又,则
14分
然后，用反证法证明A中的各项都是0.
假设中有一个正数，设
为
中从左至右的第１个正数，
则由定义知：，
从而，
这说明在中最小值为０，不妨设
１６分
由定义知：，则
，得
由的定义有：
，这与
矛盾．
故． 18分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d040e13403d8ce2f006623fa.html
文档为doc格式