第25课时 2.3.3 直线与圆的位置关系
1.能熟练应用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．
2．能解决与圆的切线有关的问题．
3．掌握弦长与半径之间的关系．
直线和圆位置关系的判断
代数法
将直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)联立，得方程组
消去y(或x)得mx2＋nx＋p＝0(或ay2＋by＋q＝0)利用判别式Δ：
当Δ＝0时，直线与圆相切；
当Δ＞0时，直线与圆相交；
当Δ＜0时，直线与圆相离．
一、选择题(每个5分，共30分)
1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且直线过圆心
B．相交但直线不过圆心
C．相切
D．相离
答案：D
解析：圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝
，⊙C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则实数m为( )
A．0或2 B．2
C. D．0
答案：B
解析：依题意，得m＞0，＝
，解得m＝2.
3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A. B.
C．1 D．5
答案：A
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝
＝
，所以直线被圆截得的弦长为2
＝2
＝
.
4．若过点A(4,0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．－，
] B．(－
，
)
C. D.
答案：C
解析：方法一：设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.直线l与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径d＝≤1，得4k2≤k2＋1，k2≤
，即－
≤k≤
.
方法二：数形结合画出图形，可以判断k的最大值和最小值分别为，－
.
5．对于一切m∈R，直线l：mx－y＋2m－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三种情况都可发生
答案：A
解析：直线l过圆内一定点(－2，－1)，而点(－2，－1)在圆内．
6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：C
解析：圆可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心P(－1，－2)，半径r＝2，圆心P到直线x＋y＋1＝0的距离d＝
＝
，结合图形可知这样的点有三个．
二、填空题(每个5分，共15分)
7．P为圆x2＋y2＝1上的任意点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为________．
答案：1
解析：d－r＝－1＝1.
8．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
答案：x－y＋2＝0
解析：由题意，知圆心为(2,0)，圆心与点P连线的斜率为－，所以所求切线的斜率为
，则在点(1，
)处的切线方程为x－
y＋2＝0.
9．过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________．
答案：3
解析：如图所示，由题意，得∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴CP⊥l，∴点P到圆心C的距离等于点C到直线l的距离，∴点P到圆心C的距离为＝3
.
三、解答题
10．(12分)求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．
解：由题意，知点P(－1,5)不在圆上．
①当所求切线的斜率存在时，
设切线方程为y－5＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋5＝0.
由圆心到切线的距离等于半径，得＝2，
解得k＝－，所以所求切线的方程为5x＋12y－55＝0.
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x＝－1.
综上，所求切线的方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0.
11．(13分)设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，求圆的方程．
解：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，知直线x＋2y＝0过圆心，
∴a＋2b＝0.①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
∵直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2，
∴()2＋
2＝r2.③
由①②③可得或
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
能力提升
12．(5分)当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(
，
]
C．(0，) D．(
，
]
答案：B
解析：曲线y＝1＋是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，如图所示，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k，则圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即
＝2，得k＝
.又直线PA的斜率为kAP＝
.所以实数k的取值范围是
＜k≤
.
13．(15分)已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．
解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，
故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，
)，切线方程为x＋
y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－
)，切线方程为x－
y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b.
∵直线过点A，∴1＋a＝b，即a＝b－1.①
又圆心到直线的距离d＝，∴
2＋
2＝4，②
由①②，得或
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/cf91da4d91c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad725.html
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