中学提前招生数学试卷

2006年宁波市重点中学提前招生数学试卷

1．已知关于x的方程mx+2=2(m—x)的解满足|x-93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png |-1=0，则m的值是 ( )

A.10或add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png B.10或-add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png c.-10或add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png D.-10或10cfc0dd6f03ce6a747d565f6e35fd9b.png

2．设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c-b=b-a>O，则 ( )

A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5

3．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )

A.2x％ B. 1+2x％ C(1+x％)x％ D.(2+x％)x％

4．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是 ( )

A .a>b b．a

5．若D是△ABC的边AB上的一点，么ADC=么BCA,AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是 ( )

A.426b486f7eccb9074d9414859447b1b6.png B. 3174c3938ab269243c76cee8da4ba714.png C．a7c8fb66e7c7c7edc3ed4f4f6db7e3f9.png D．35909f72b39361259ff755bac34f73ca.png

6．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )

A．50 B.62 C．65 D．68

7．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a，右图轮子上方的箭头指着的数字为b，数对(a，b)所有可能的个数为n，其中a+b恰为偶数的不同数对的参数为m，则m/n等于 ( )

A．93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png B．6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png C．a72b18c11198b7bf9f0fea1af1863fd2.png D．9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png

8．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点，A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 ( )

A．AB上 B.BC上 C．CD上D．DA上

9．已知de961796a25884554289ec6c1868b65d.png与6d11091e58d61db85dd3820707cb0840.png和等于31dd36cf1bff97ae1b9aab3d17479aa4.png，则a= ，b=

10．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngAD，CE交AB于点F．若AF=1．2cm，则AB= cm

11．在梯形ABCD中，AB∥CD,AC．BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为fd5e35b558cd4a8e30ca9a764aa9aa7b.png，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则d92edbfc5ac2aa11ba95400b95094e32.png=

12．已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为 ．

13．如图，AB∥EF∥CD，已知 AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．

14．已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．

15．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示(A，B，C)，(B，C，D)，…，(H，A，B)8组相邻的三个顶点上的数字之和．

(1)试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；

(2)请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．

2006年宁波市重点中学提前招生数学试卷

1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A9．2；2 10．6 11．f10ac6fceee41bb786d24ee337f02bab.png 12．e11c694298378969d13ba40cd47d8fff.png

15．(1)不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．

(2)显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8= (1+2+3+…+8)·3=108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13·8=104，所以至多有108-104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：(1)相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为(i，j，k)，后一组为(j，k，l)．若有i+j+k=j+k+l，则l=i，这不符合填写要求；(2)每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论(1)不符．因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．(1)若S1=i+1+J=13，则．s2=1+j+l=14，S3=j+l+k=13，因J>1，这是不可能的．(2)若sl=i+1+j=14，则S2=1+j+(i-1)=13，S=j+(i-1)+2：14，s4=(i-1)+2+(j-1)=13，这时S5=14，只能是S=2+(j-1)+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．

word/media/image31.gif20解（1）证明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径,

　　∴AT、OM是⊙C的切线．

又∵MN切⊙C于点P

∴∠CMN=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠OMN，∠CNM=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ANM 　　---（1分）

∵OM∥AN

∴∠ANM＋∠OMN =180°

∴∠CMN＋∠CNM =df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠OMN＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ANM

=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(∠OMN＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png∠ANM )=90°, ∴∠CMN=90°　　　　　-------------------------（3分）

（2）由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3 = 90 0，∴∠1 =∠3；

∴Rt△MOC∽Rt△CAN　　∴6137628dff38470baa34054e3692213a.png = 828396c4d5346dd0ff631626aaa1f7cf.png 　　　　　　------------------------------（5分）

∵直线y=－m(x – 4)交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A（4，0）， ∴AC =CO = 2

∵ OM= x，AN = y， ∵ac2606fe9376e6e3ad14b772d437bfb9.png = 7dc0fbe4142dff0f9142404bef179e27.png ∴y = 38d23ab6f620f17dd7485b5d2eb0fba4.png 　　　　　-------------------------------（7分）

（3）∵ OM = 1，∴ AN =y = 4，此时S四边形ANMO = 10

∵直线AB平分梯形ANMO的面积，∴ △ANF的面积为5 　　-------------------（8分）

过点F作FG⊥AN于G，则df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngFG·AN=5，∴FG= 33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png

∴点F的横坐标为4－33773559c5e642b3ea04e179079c8dfc.png = 003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png 　----------------------------------------（9分）

∵M（0，1），N（4，4） ∴直线MN的解析式为y= 265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.pngx＋1　　　　 ------------（10分）

∵F点在直线MN上，∴ F点的纵坐标为y= 32d0b2ba5a766838aefa7dbe287b40ad.png ∴ F（003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png,32d0b2ba5a766838aefa7dbe287b40ad.png）　　　---------（11分）

∵点F又在直线y=－m(x－4)上 ∴32d0b2ba5a766838aefa7dbe287b40ad.png =－m(003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png－4) ∴m= 8b9f277171e96f2d6690f1976065a674.png 　　　----------（12分）

15、（1）证明：f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.pngOP=OQ

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pngabfc3a49123d624d7ad3065012797485.png------------------分

又bd934d3e31f618b937e76b6b1dcf9812.png

7b0d2b9360f50e0b1ae9103e668cf84e.png----------------2分

整理得789047984b3e1874d8c6880826473481.png---------------3分

16b97e10d772c8390c26b2c308668fb7.png，且bbd2595ffc03399585510d87e3568829.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.pnga4f9a1c1b1738bd279374bf22267c8ef.png

从而可得391834925620514389dd0d5f17b1ec83.png---------------------4分

（2）解：①分别延长12695a537654f9215f01464ca8d7cae0.png、15f7a95773d993592d2a1f87214ba64a.png相交于点A，

过点b5c415c4bbf5e524535be841163cb807.png分别作9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴、415290769594460e2e485922904f345d.png轴的垂线相交于点B

由上题可知AP=AQ=df9657233e1563399160a26701aedd80.png，635303e4215b9a83bdc4e05ac26e6e54.png---------------5分

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png∠APQ=∠1eeee5cbf00bc1bff46e875e6ce09058.png=45°--------------------7分

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png08d6d8834ad9ec87b1dc7ec8148e7a1f.png∥f319c56533f305e2121d6dbef553459d.png----------------------8分

②易得b5c415c4bbf5e524535be841163cb807.png的坐标分别为da26ba2855505f7bff34d2eb6bcd4c4e.png

5cb9dd6c3d4ba39e0a4eed3d122d708d.png

bde377b2b42934ade39b619b7038f13b.png-------------------10分

设直线f319c56533f305e2121d6dbef553459d.png的解析式为06a9c9b3872734371218212f604c0219.png

word/media/image60.gif 则 8e1802b4b2cf409b72c2b7cb1272dc65.png

edbf8fcc0ac7204ed6addce5c4d9b48e.png

解得316e9e8d56f48e2888bc8ba9f9c4321d.png，c44d15179ac1059f1c1e5e45b23ebac0.png

直线f319c56533f305e2121d6dbef553459d.png的解析式为b0f7c51d547fca30d3e66b163fd2e304.png

又已知直线OP的解析式为6037ee296c6f5f944d3f3c522c777923.png

word/media/image60.gif 联立 0558a73b34389d6007f29c1a5574a360.png 得27062b8df91a7cbf6271568ccd602e64.png--12分

即点M的坐标为3722ea9bf751fdb1ff00c5565f8ac63f.png

9910cbbf761541172f66ca031898832d.png

由对称性可知4a258ecc18acf617cd4cde78f7822a45.png

0b698a61c824d1fad909bf2f7f8d5333.png-------------14分

假设S的值能等于b0e1326365729673e417839e572d1ced.png，则947bb1502379524512cc5db7616d3ef4.png

解得55a126c3d77ecdcb094e57308188d40d.png

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png四边形PQNM的面积5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png能等于b0e1326365729673e417839e572d1ced.png，点P的

坐标为144afa7b7642a9b620c98672e7e67c6c.png------------------------16分

word/media/image80_1.png

23. （1）证法一：

① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ………………………………（1分）

∵ PC=PC，

∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ………………………………（2分）

∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. ………………………………（3分）

又∵ PB= PE ，

∴ PE=PD. ………………………………（4分）

② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，

∵ PB=PE，

∴ ∠PBE=∠PEB，

∴ ∠PEB=∠PDC，

∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，

∴ PE⊥PD. ………………………………（6分）

word/media/image81.gif（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.

（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.

∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴ ∠DPE=∠DCE=90°，

∴ PE⊥PD.

综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. ………（8分）

word/media/image82.gif（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.

∵ AP=x，AC=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，

∴ PC=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png- x，PF=FC=4d543cb6519eca96db4f3b7e9d793a92.png.

BF=FE=1-FC=1-(a5f4d102ea80c7d77dda21a45cbc05ae.png)=e5088aa7145a629e82876e0a44eadb51.png.

∴ S△PBE=BF·PF=e5088aa7145a629e82876e0a44eadb51.png(a5f4d102ea80c7d77dda21a45cbc05ae.png)4a7152e62a15ba57884eea7e4582864b.png. …………………（10分）

即 ef4d215a9f26540549cef04d5ba31fe9.png (0＜x＜d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png). ………………………………（11分）

② 6104aa8e9a877271710dc588c99f2109.png. ………………………………（14分）

∵ b1a2ab2243604979b5a8bbe46bbb5fd1.png＜0，

∴ 当a22f9ef50365f2d897de99886b33a2dd.png时，y最大值255fb8ebd3217a68f3e40058625ccc3e.png. ………………………………（16分）

word/media/image93.gif（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.

又∵ PB=PE，

∴ BF=FE，

∴ GP=FE，

∴ △EFP≌△PGD （SAS）. ………………………………（3分）

∴ PE=PD. ………………………………（4分）

② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.

∴ ∠DPE=90°.

∴ PE⊥PD. ………………………………（8分）

（2）①∵ AP=x，

∴ BF=PG=e5088aa7145a629e82876e0a44eadb51.png，PF=1-e5088aa7145a629e82876e0a44eadb51.png. ………………………………（9分）

∴ S△PBE=BF·PF=e5088aa7145a629e82876e0a44eadb51.png(a5f4d102ea80c7d77dda21a45cbc05ae.png)4a7152e62a15ba57884eea7e4582864b.png. …………………（11分）

即 ef4d215a9f26540549cef04d5ba31fe9.png (0＜x＜d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png). ………………………………（12分）

② 6104aa8e9a877271710dc588c99f2109.png. ………………………………（14分）

∵ b1a2ab2243604979b5a8bbe46bbb5fd1.png＜0，

∴ 当a22f9ef50365f2d897de99886b33a2dd.png时，y最大值255fb8ebd3217a68f3e40058625ccc3e.png. ………………………………（16分）

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)