中考数学几何旋转经典例题

中考数学几何旋转综合题

1.（2009年山东德州）23． (本题满分10分)

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）

word/media/image2.gif

解：（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，∴ CG=word/media/image3_1.pngFD．………… 1分

同理，在Rt△DEF中，

EG=word/media/image3_1.pngFD． ………………2分

∴ CG=EG．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

word/media/image4.gif在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分

在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分

在Rt△AMG 与Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG． ……………………………8分

证法二：延长CG至M,使MG=CG，

连接MF，ME，EC， ……………………4分

在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．

∴MF∥CD∥AB．………………………5分

∴word/media/image5_1.png．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中，

∵ MF=CB，EF=BE，

∴△MFE ≌△CBE．

∴word/media/image6_1.png．…………………………………………………6分

word/media/image7.gif∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分

∴ △MEC为直角三角形．

∵ MG = CG，

∴ EG=word/media/image8_1.pngMC．

∴ word/media/image9_1.png．………………………………8分

（3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分

2. (2009山西)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角 (0°＜ ＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点．

(1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系并证明你的结论；

图23－4(a)

(2)如图23－4(b)，当 ＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；

图23－4(b)

(3)在(2)的情况下，求ED的长．

解 (1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．

由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF．

∴△ABE≌△C1BF．

∴BE＝BF．又∵BA1＝BC，

∴BA1－BE＝BC－BF，即EA1＝FC．

(2)四边形BC1DA是菱形．

证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，

∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．

∴四边形BC1DA是平行四边形．

又∵AB＝BC1，∴四边形BC1DA是菱形．

(3)如图23－4(c)，过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1．

图23－4(c)

在Rt△AEG中，0490b6fc35fca710e801679af254b0b2.png由(2)知四边形BC1DA是菱形，

∴AD＝AB＝2．

7293dffccb59ec4dc80e0deee20780ca.png

如图23－5(a)，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，47ab53b9bf28d3ea0e43f87334ca3e6d.png，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，5b0cea01bb607915ae1c2bcc8f9004d9.png，将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′(如图23－5(b)，点D′，E′分别与点D，E对应)，点E′在AB上，D′E′与AC交于点M．

图23－5

(1)求∠ACE′的度数；

(2)求证：四边形ABCD′是梯形；

(3)求△AD′M的面积．

分析 注意旋转前后对应元素的关系，以及图中隐含的45°、30°等特殊角，将△AD′M的面积转化为S△AD′E′－S△AME′，利用方程的思想求解．

解 (1)如图23－5(a)，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．

∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，

∠EDC＝90°．953756fc839bb00e4bac47790df6316f.png

∴CE＝CE′＝4．

如图23－5(b)，在Rt△ACE′中，

∠E′AC＝90°，5fe68934d0574b2f79736556ad13d528.png，CE′＝4，

26398b22d89bbffb2ff2b71e14fe6a69.png

∴∠ACE′＝30°．

(2)如图23－5(b)，

∵∠D′CE′＝∠ACB＝45°，∠ACE′＝30°，

∴∠D′CA＝∠E′CB＝15°．

又648679effc303c164aa2ff202bc9e790.png，∴△D′CA∽△E′CB．

∴∠D′AC＝∠B＝45°．

∴∠ACB＝∠D′AC．∴AD′∥BC．

∵∠B＝45°，∠D′CB＝60°，∴∠ABC与∠D′CB不互补，∴AB与D′C不平行．

∴四边形ABCD′是梯形．

(3)在图23－5(c)中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F，过D′作D′G⊥AB，垂足为G．作∠AMH＝60°交AE′于H．

可得∠FCD′＝∠ACF－∠ACD′＝30°．

在Rt△ACF中，

19ebf9d980c3fc16dfdd002c08752caf.png

在Rt△D′CF中，c16701f9e25e96ebad6ca6cc4587d9d5.png

5c4318bec02a7ccab3f8b0fb7668c7d4.png∴△AD′E中，AD′＝7c5f34691400a0b5a7e3061bd393b4f7.png，

AE′＝2，∠BAD′＝135°．

在Rt△AD′G中，ce52634da4bea03a6cc328392b1cffae.png

5f98de75c0df36d56a35ebd8f4b7de2f.png

设AM＝x，可得8dd38ec54d47661874cac3b3ac31cfbe.png，MH＝HE′＝2－2d04c437aa3f2e36727eb2f551c9989f.png

在Rt△AMH中，由AM2＋AH2＝MH2，

可得1646712b03b2c03f17e825231de996d8.png

化简，得62a1a26f6d7c94f768fb9c59cf3bc480.png

解得a9d14084362d50e64d8dede81848930a.png

由AM＜AC可得66eeba53122297748c740560300e1c4a.png．

658ae6b7ceadf58d8a65eb39b0e92a46.png

3a9179e7dd6b473ceb54f4e56c83d2d6.png

3. (2009湖南常德)如图23－8(a)，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．

图23－8

(1)当把△ADE绕A点旋转到图23－8(b)的位置时，D，E，B三点共线，CD＝BE是否仍然成立若成立请证明；若不成立请说明理由；

(2)当△ADE绕A点旋转到图23－8(c)的位置时，D，E，B三点不共线，△AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明；并求出当AB＝2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

解 (1)如图23－8(b)CD＝BE．理由如下：

∵△ABC和△ADE为等边三角形，

∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAC＝60°．

∵∠BAE＝∠BAC－∠EAC，

∠DAC＝∠EAD－∠EAC，

∴∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ACD．

∴CD＝BF．

(2)如图23－8(c)，△AMN是等边三角形，理由如下：

同理可证△ABE≌△ACD，

∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD．

∵M，N分别是BE，CD的中点，

12db37ecbd526d40f84a8654f67e3e7a.png

∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAC．

∴∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠BAC＝60°．

∴△AMN是等边三角形．

设AD＝a，则AB＝2a．

∵AD＝AE＝DE，AB＝AC，∴CE＝DE．

∵△ADE为等边三角形，

∴∠DEC＝120°，∠ADE＝60°．

∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∠ADC＝90°．

在Rt△ADC中，AD＝a，∠ACD＝30°，

a3f8ac7dc127b65b3e3e48016bc3026a.png

∵N为DC的中点，

ff71311eae6c46f8b109df5424b0fafd.png

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN＝b30cddd1eb5d26af01150ed1c0744098.png∶be209d421b6936f868bb99c16e5cb8f3.png

4. (2009宁波)如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)，直线BC经过点B(－8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′，直线B′C′分别与直线BC相交于点P，Q．

图23－9

(1)四边形OABC的形状是______，

当 ＝90°时，08c1496e664adf67b7178c1c90c84006.png的值是______；

(2)①如图23－9(b)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时，求08c1496e664adf67b7178c1c90c84006.png的值；

②如图23－9(c)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；

(3)在四边形OABC的旋转过程中，当0°＜ ≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝b6e450dd2a17e6851fa5699e2afc88c4.png若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 (1)矩形(或长方形)，f8c7de694f7f3e999b46ec7d232b30f2.png；(2)①先证△COP∽△A′OB′，再证△B′CQ∽△B′C′O，并求出CQ，BQ的长，从而可得08c1496e664adf67b7178c1c90c84006.png的值；②易证△OCP≌△B′A′P，∴OP＝B′P，CP＝A′P，设B′P＝x，在Rt△OCP中，根据勾股定理解出x的值，得到S△OPB′；(3)先假设存在这样的点P和点Q，使c4a70bf0a148dc4173feb57bdd9c989a.png，再根据已知条件分类讨论求解．

解 (1)矩形(长方形)，f8c7de694f7f3e999b46ec7d232b30f2.png．

(2)①∵∠POC＝∠B′OA′，∠PCO＝∠OA′B′＝90°，

∴△COP∽△A′OB′，7aeeb300240e183a3255b596ee835591.png即fad8f236907c451981687ba6e7c31596.png

736ab639591e2a3cd9d5196902b87121.png

同理，△B′CQ∽△B′C′O，

668613cb8de3794ea230f67965a67bbe.png

在Rt△A′OB′中，c7bd443967533a8ed445fc027753736b.png98eb646e16085e71ecf7cd934992bbfd.png

∴CQ＝3，BQ＝BC＋CQ＝11．c774116ef34d16a1119bbe82b7b39a3c.png

②在△OCP和△B′A′P中，

5b76e07c7bd9bea930dc4541131f6b50.png

∴△OCP≌△B′A′P．

∴OP＝B′P，CP＝A′P．

设B′P＝x，在Rt△OCP中，CP＝A′P＝OA′－OP＝8－x．

(8－x)2＋62＝x2，解答2b19b994f38b54650830c209ab17a4ac.png

∴S△OPB′23c0822ae722da4b88f62d8dfd2f2aec.png

(3)存在这样的点P和点Q，使4ccd78b24d26c85793a6002fa23dbf20.png

点P的坐标是f6fc9ca41813aa46744e38039d063ffe.png

对于第(3)题，我们提供如下详细解答：

过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC，

∵S△POQ＝b71d0a3a32572c10d86649c974bdd6f6.png，S△POQ17fffe916bc0ba7c05003c2e7ff3c51b.png，

∴PQ＝OP．

设BP＝x，∵c4a70bf0a148dc4173feb57bdd9c989a.png∴BQ＝2x．

①如图23－9(d)，当点P在点B的左侧时，

OP＝PQ＝BQ＋BP＝3x，

在Rt△PCO中，(8＋x)2＋62＝(3x)2．

解得10ca02fa05cedc8000fa51361e7536f8.png(舍去)．

34fbc6b6a31e7cb12f177328e160118d.png

图23－9

②如图23－9(e)，当点P在点B的右侧时，

OP＝PQ＝BQ－BP＝x，PC＝8－x．

在Rt△PCO中，(8－x)2＋62＝x2解得2b19b994f38b54650830c209ab17a4ac.png

fdcde35bc76ebc358f5fcf4c8a1e478f.png

e86268ee3bb508be794d7765dde92963.png

综上可知，存在点d97b9450d090301dfa28371fa05cbd4c.pngcb8977a4cf96d249c5b75ff373feafa5.png，使4ccd78b24d26c85793a6002fa23dbf20.png

5. 图1是边长分别为493d65e83547db2535bfb99add1b38d8c.png和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.

（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系试证明你的结论.（4分）

（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；

探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（5分）

（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

word/media/image71.gif探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.（4分）

解：（1）BE=AD 证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形

word/media/image72.gif∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD　∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△A ∴ BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD）

（2）如图在△CQT中 ∵∠TCQ=30° ∠RQT=60° ∴∠QTC=30°

∴∠QTC=∠TCQ　　∴QT=QC=x　∴ RT=3－x

∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90°

∴y=75276e5ef991e623587b42b4b08f7665.png×32 －6e358d7f736ce8ba3be348832201af9b.png(3－x)2=－6e358d7f736ce8ba3be348832201af9b.png(3－x)2＋5213b21fff30e81b66dcbc6f08a36f9d.png(0≤x≤3)

（3）C′N·E′M的值不变 证明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°

∵∠CNC′＋∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN

∴30fd798e7e5cfe76c94582e111142207.png ∴C′N·E′M=C′C·E′C=bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png×bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png=b26e03cebe297985d1c61ae12b9348de.png

6将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放。

（1）将图1中△3357c2e18fac1d0c7c8433369e511b5e.png绕点C顺时针旋转45°得图2，点96c799f355af7146a0f981b441e8083e.png与AB的交点，求证：f7bef348c6bd3bdf39e31eac1136de1c.png；

（2）将图2中△3357c2e18fac1d0c7c8433369e511b5e.png绕点C顺时针旋转30°到△61ee4442e33ed70e04a0d50ffbaedaa6.png（如图3），点889ff2b819c1170f2f1dc88f5388e212.png与AB的交点。线段6e30156af2bcb2258ca9912b3ba72102.png之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；

word/media/image86.gif（3）将图3中线段5ba72c236850e17c39790544db4078e9.png绕点C顺时针旋转60°到60501e1370ee8e719b1a90d4928a79ce.png（如图4），连结316459f4c371a26824359a45e8111809.png，

求证：316459f4c371a26824359a45e8111809.png⊥AB.

解：（1）证明：过点47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png作CA的垂线，垂足为D 易知：△CD47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png为等腰直角三角形，△47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.pngDA是直角三角形，且∠A＝30°，

所以b15df20fb56497a722b8d33b1d0a1439.png 故 f7bef348c6bd3bdf39e31eac1136de1c.png

（2）解： 过点47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.png作C17b99e166258f650036939b57689bdec.png的垂线，垂足为E 易知：△47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.pngE2d145e3684093dda8dbfe869afa543f9.png为等腰直角三角形（其中∠2＝∠A＋∠2d145e3684093dda8dbfe869afa543f9.pngCA＝45°） △47ddd0a8d1607438330cf19c0c1ac45e.pngCE是直角三角形，且∠1＝30°，所以155f36d841af44424810e0236ad04921.png

故 c7e963cee817666d22edb564f2fd67d5.png

（3）证明：将图3中线段5ba72c236850e17c39790544db4078e9.png绕点C顺时针旋转60°到60501e1370ee8e719b1a90d4928a79ce.png，易证：

△10dfe26e4e7137c4b91d844aac3842bf.png≌△7f2cc946b9ed0dc301cffceaebc30c97.png，于是∠c1abfd61fcda91e0d5fc4c534ff8b037.png＝∠46c187af33dc81210653c10dd7cfa56d.png＝45°，故316459f4c371a26824359a45e8111809.png⊥AB.

7.如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）

（图1） （图2） （图3）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；

（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH

（图4） （图5） （图6）

解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长（2分）

又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30，∴BC=5cm，

∴平移的距离为5cm．（2分）

（2）∵∠381dab3ed32f9105ef5dff2a024ca828.png，∴∠1ae1c6f8f207714a8881f3883f242201.png，∠D=30°．

∴∠f6c23085bcafd1e3b23388b10b99f88a.png．（1分）

在RtEFD中，ED=10 cm，∵FD=ab7780d4c0af6a341999533dd85fc608.png，（1分）

∵9ae99006daa1ee9a578235c2aec3366c.pngcm．（2分）

（3）△AHE与△30eac8723569c3afdfbea3e64d9d72cd.png中，∵03b92f8eab40eb8668049a6ca1f6d962.png，（1分）

∵36571de37d2ac19547351457210c2718.png，b3f77a934551f1358693c7011219f430.png，

∴95865578e31b2d7d73fdf66fd886e899.png，即cac748a72ae5669a291bc0d166528b97.png．（1分）

又∵6a4b983ce6d15fdcf3ba9bd1fcc31ead.png，∴△f415ca0db5372f0d9d08607f1fb620a5.png≌△30eac8723569c3afdfbea3e64d9d72cd.png（AAS）（1分）．

∴d20a05fbf27e257a818243dfd1e63564.png．（1分）

8.如图（9）-1，抛物线word/media/image125_1.png经过A（word/media/image126_1.png，0），C（3，word/media/image127_1.png）两点，与word/media/image128_1.png轴交于点D，与word/media/image129_1.png轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线word/media/image130_1.png将四边形ABCD面积二等分，求word/media/image131_1.png的值；

（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF⊥word/media/image132_1.png轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG⊥word/media/image132_1.png轴于点G，若线段MG︰AG＝1︰2，求点M，N的坐标．

word/media/image133.gif

（1）解：把A（word/media/image134_1.png，0），C（3，word/media/image135_1.png）代入抛物线 word/media/image125_1.png 得

word/media/image136_1.png 1分

整理得 word/media/image137_1.png ……………… 2分 解得word/media/image138_1.png………………3分

∴抛物线的解析式为 word/media/image139_1.png 4分

（2）令word/media/image140_1.png 解得 word/media/image141_1.png

∴ B点坐标为（4，0）

又∵D点坐标为（0，word/media/image135_1.png）　　∴AB∥CD ∴四边形ABCD是梯形．

word/media/image142.gif ∴S梯形ABCD ＝word/media/image143_1.png 5分

设直线word/media/image144_1.png与x轴的交点为H，

与CD的交点为T，

则H（word/media/image145_1.png，0）， T（word/media/image146_1.png，word/media/image135_1.png） 6分

∵直线word/media/image130_1.png将四边形ABCD面积二等分

∴S梯形AHTD ＝word/media/image147_1.pngS梯形ABCD＝４

word/media/image148.gif∴word/media/image149_1.png 7分　

∴word/media/image150_1.png 8分

（3）∵MG⊥word/media/image132_1.png轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2

∴设M（m，word/media/image151_1.png）， 9分

∵点M在抛物线上 ∴word/media/image152_1.png

解得word/media/image153_1.png（舍去） 10分

∴M点坐标为（3，word/media/image135_1.png） 11分

根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，

∴N点坐标为（1，word/media/image154_1.png） 12分

9.（09年湖南常德）26．如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

word/media/image155.gif

（09年湖南常德26题解析）解：（1）CD=BE．理由如下:　 1分

∵△ABC和△ADE为等边三角形

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD 3分

∴CD=BE 4分

（2）△AMN是等边三角形．理由如下： 5分

∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，

∴BM=word/media/image156_1.png

∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC． 6分

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o

∴△AMN是等边三角形． 7分

设AD=a，则AB=2a．

∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．

∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，

∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o． 8分

∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=word/media/image158_1.png．

∵N为DC中点，

∴word/media/image159_1.png， ∴word/media/image160_1.png． 9分

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMNword/media/image161_1.png 10分

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下： 5分

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o

∴△AMN是等边三角形 7分

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

易证BE⊥AC，∴BE=word/media/image162_1.png，

∴word/media/image163_1.png ∴word/media/image164_1.png

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AMNword/media/image165_1.png 10分

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