2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则
(A)A
(2)复数z=
(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i
3、在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=
(A)-1 (B)0 (C)
(4)设F1、F2是椭圆E:
(A)
5、已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是
(A)(1-
6、如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN,输出A,B,则
(A)A+B为a1,a2,…,aN的和
(B)
(C)A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
(D)A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为
(A)6
(B)9
(C)12
(D)18
(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为
(A)
(9)已知ω>0,0<φ<π,直线x=
(A)
(10)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4
(A)
(11)当0<x≤
(A)(0,
(12)数列{an}满足an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前60项和为
(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22-24题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________
(14)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______
(15)已知向量a,b夹角为45° ,且|a|=1,|2a-b|=
(16)设函数f(x)=
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c =
(1) 求A
(2) 若a=2,△ABC的面积为
18.(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式。
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(2)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率。
(19)(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=
(I)证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。
(20)(本小题满分12分)
设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点。
(I)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4
(II)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值。
(21)(本小题满分12分)
设函数f(x)= ex-ax-2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值
请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明:
(Ⅰ)CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
(23)(本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x) = |x + a| + |x-2|.
(Ⅰ)当a =-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围。
参考答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( ).
A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}
2.(2013课标全国Ⅰ,文2)
A.
3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).
A.
4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C:
A.y=
5.(2013课标全国Ⅰ,文5)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( ).
A.p∧q B.
6.(2013课标全国Ⅰ,文6)设首项为1,公比为
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
7.(2013课标全国Ⅰ,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( ).
A.[-3,4] B.[-5,2]
C.[-4,3] D.[-2,5]
8.(2013课标全国Ⅰ,文8)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=
A.2 B.
9.(2013课标全国Ⅰ,文9)函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图像大致为( ).
10.(2013课标全国Ⅰ,文10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ).
A.10 B.9 C.8 D.5
11.(2013课标全国Ⅰ,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
12.(2013课标全国Ⅰ,文12)已知函数f(x)=
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013课标全国Ⅰ,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=______.
14.(2013课标全国Ⅰ,文14)设x,y满足约束条件
15.(2013课标全国Ⅰ,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______.
16.(2013课标全国Ⅰ,文16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013课标全国Ⅰ,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
18.(2013课标全国Ⅰ,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
19.(2013课标全国Ⅰ,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=
20.(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
21.(2013课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(2013课标全国Ⅰ,文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
23.(2013课标全国Ⅰ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
24.(2013课标全国Ⅰ,文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:A
解析:∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},
∴A∩B={1,4}.
2.
答案:B
解析:
3.
答案:B
解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为
4.
答案:C
解析:∵
∵c2=a2+b2,∴
∵双曲线的渐近线方程为
∴渐近线方程为
5.
答案:B
解析:由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,
∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0,
∴x3-1+x2=0在(0,1)内有解.
∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有
6.
答案:D
解析:
7.
答案:A
解析:当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).
当1≤t≤3时,s=4t-t2.
∵该函数的对称轴为t=2,
∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.
∴smax=4,smin=3.
∴s∈[3,4].
综上知s∈[-3,4].故选A.
8.
答案:C
解析:利用|PF|=
∴yP=
故选C.
9.
答案:C
解析:由f(x)=(1-cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈
当x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.
令f′(x)=0,得
故极值点为
10.
答案:D
解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=
∵A∈
∵cos A=
故选D.
11.
答案:A
解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V半圆柱=
V长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A.
12.
答案:D
解析:可画出|f(x)|的图象如图所示.
当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;
当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立.
若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,
由
∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2.
∴a∈[-2,0].故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:2
解析:∵b·c=0,|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,∴a·b=
∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,
即ta·b+(1-t)b2=0.
∴
∴t=2.
14.答案:3
解析:画出可行域如图所示.
画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=2×3-3=3.
15.答案:
解析:如图,
设球O的半径为R,
则AH=
OH=
又∵π·EH2=π,∴EH=1.
∵在Rt△OEH中,R2=
∴S球=4πR2=
16.答案:
解析:∵f(x)=sin x-2cos x=
其中sin φ=
当x-φ=2kπ+
即θ-φ=2kπ+
∴cos θ=
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:(1)设{an}的公差为d,则Sn=
由已知可得
解得a1=1,d=-1.
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由(1)知
从而数列
=
18.
解:(1)设A药观测数据的平均数为
由观测结果可得
=2.3,
=1.6.
由以上计算结果可得
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有
19.
(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,
所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,
所以OC=OA1=
又A1C=
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=
20.
解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4.
故b=4,a+b=8.
从而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·
令f′(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
21.
解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,
所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则
由l与圆M相切得
当k=
所以|AB|=
当k=
综上,|AB|=
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.
(1)证明:连结DE,交BC于点G.
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因为DB⊥BE,
所以DE为直径,∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,
所以BG=
设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圆的半径等于
23.
解:(1)将
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得
所以C1与C2交点的极坐标分别为
24.
解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈
故
从而a的取值范围是
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)(课标I)
1.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合
A.
(2)若
A.
(3)设,则
A.
(4)已知双曲线的离心率为2,则
A. 2 B. C. D. 1
(5)设函数的定义域为,且
A.
C.
(6)设
A.
(7)在函数
A. B. C. D.
(8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
(9)执行右面的程序框图,若输入的
A.
(10) 已知抛物线C:
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
(11)设
A.-5 B. 3
C.-5或3 D. 5或-3
(12)已知函数
A.
第 卷
2、填空题:本大题共4小题,每小题5分
(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.
(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过
乙说:我没去过
丙说:我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为________.
(15)设函数
(16)如图,为测量山高
3、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知
()求
()求数列
(18)(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
()在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
()估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
()根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
(19)(本题满分12分)
如图,三棱柱
(1)证明:
(2)若
(20) (本小题满分12分)
已知点
(1)求
(2)当时,求的方程及
(21)(本小题满分12分)
设函数
(1)求b;
(2)若存在
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲
如图,四边形
()证明:
()设
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线
(1)写出曲线
(2)过曲线
(24)(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲
若
()求
()是否存在
参考答案
一、选择题
1-5. BABDA 6-10. CCBDC 11-12. BA
二、填空题
13.
三、解答题
17. 解:
(1)因为
且
所以
设首项为
所以
(2)由(1)知
所以
①-②得
所以,
18.解:
(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
质量指标值的样本方差为
(3)依题意
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定。
19.
(1)证明:
因为
(2)解:
因为
20.解:
(1)圆的标准方程,
设
则
所以
化简得,
(2)依题意,
所以,M也在
22.(本小题满分10分)
(1)证明:由题设得,A,B,C,D四点共圆,所以,
又
所以
24.
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