第二讲 扩散系数与浓度的关系2011

第二讲 扩散系数与浓度的关系—俣野方法

一、问题引出

前面在处理扩散问题时都是假定D为常数，通过解析法求解扩散方程。但实际上，扩散系数D是与浓度C(从而也与空间坐标)相关的。菲克第二定律式(7-11)：

(7-11)

式中的D不能从括号中提出，因此不能用普通的解析法求解。俣野(Matano)从实验得出的浓度分布曲线C(x)出发，解决了计算不同浓度下的扩散系数D(C)的方法，一般称这种方法为俣野法。

二、数学处理

设式(7-11)的定解条件为：

初始条件： t=0时， (7-92)

边界条件： 时， (7-93)

采用Boltzmann变换，

(7-94)

使偏微分方程式(7-11)变为常微分方程。

(7-95)

(7-96)

式(7-95)、(7-96)代入式(7-11)得

(7-97)

对式（7-97）中的dC从C1到C积分

(7-98)

注意到浓度分布曲线上的任一点表示同一时刻C-x的关系，因此t为常数，可把与t相关的因子提到积分号前边，则式(7-98)变为

即 （7-99）

注意边界条件式(7-93)为

(7-100)

所以 (7-101)

式(7-101)即扩散系数D与浓度C之间的关系式。

式中是C-x曲线上浓度为C处斜率的倒数；为从C1到C的积分。

♦ 下面再分析一下式(7-101)。

由于扩散系数D与浓度C有关，在扩散过程中浓度分布曲线往往不会保持式(7-47)、(7-48)所示的中心对称关系。可以进行坐标变换，使

图7-25 根据浓度分布曲线求不同浓

度下的扩散系数

(7-102)

因为 ，所以由式(7-101)可知式(7-102)所定的条件是必要的。

♦ 从几何上看，这样变换坐标的目的，是要使的平面把图7-25中画有影线的面积划分为面积相等的两部分A和B，所决定的平面就是俣野面。

很明显，只有当扩散体系的体积不变时，俣野面才与原始焊接面重合。

经式(7-102)坐标变换后式(7-101)变为

(7-103)

♦ 俣野法根据式(7-103)求浓度C=Cm时的扩散系数D(C)值的方法如下：

① 试样经t时间扩散后，根据实验结果画出浓度分布曲线；

② 用作图法找出俣野面，即使图7-25中的面积A＝B；

③ 求积分值，因为，所以，即图7-25中的面积B－(A－A1)=A1，为C-x曲线在浓度C处的斜率的倒数。时间已知，则式(7-103)右边各项均可求得，即可求出该浓度下的扩散系数D(C)。

经过一次退火，可以获得该温度下对应于不同浓度的一系列扩散系数D(C)。

俣野面的重要物理意义是，物质流经此平面进行扩散，扩散流入的量与扩散流出的量正好相等。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ca5deb0603d8ce2f006623dd.html