专题提升一 关于一元二次方程的应用性问题
类型一 一元二次方程与生活实际的关系
1. 某公司去年10月份产值为100万元，第四季度的总产值为331万元，设11月份、12月份平均每月的增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. 100（1+x）2=331
B. 100（1+2x）=331
C. 100（1+x）+100（1+x）2=331
D. 100＋100（1+x）+100（1+x）2=331
2. 商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（ ）
A． 0.64 B． 0.8 C． 8 D． 6.4
3. 一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）
A． 25 B． 36
C． 25或36 D． -25或-36
4. 右图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）. 若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）
A. 32 B. 126 C. 135 D. 144
5. （1）在线段AB上，依次取点C，D，E，F. 那么在线段AB上共有多少条线段，请说出你的具体思路.
（2）你能用上面的思路来解决“十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少次？”这个问题吗？请解决.
（3）若改为“同学聚会，每个人都送给其他人一张名片，共送了2450张，则一共有多少同学参加聚会？”
6. 如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题.
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有 块，白色瓷砖有 块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面. 按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设. 已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
7．元旦期间某班组织学生到A地进行社会实践活动． 下面是班主任与旅行社的一段通话记录：
班主任：请问组团到A地每人收费是多少？
导游：您好！如果人数不超过30人，人均收费100元（含门票）．
班主任：超过30人怎样优惠呢？
导游：如果超过30人，每增加1人，人均费用少2元，但人均费用不能低于72元哟．
该班按此收费标准组团活动后，共支付给旅行社3150元．根据上述情景，请你帮班主任统计一下该班这次去实践活动的学生人数.
类型二 一元二次方程与几何图形的关系
8. 已知一元二次方程x2-7
x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 .
9. 要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边长是10cm的直角三角形，则较长的直角边长为 cm.
10． 如图，要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙对面有2m宽的门，另外三边（门除外）用竹篱笆围成，已知篱笆的总长为33m.
（1）若墙长为18m，要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各是多少米？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2吗？
（3）若墙长为a米，对建150m2的养鸡场有何影响？
11. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=10cm，点P从A出发沿射线AB 以1cm/s的速度作直线运动，点Q从C出发沿边BC的延长线以2cm/s的速度作直线运动． 如果P，Q分别从A，C同时出发，经过几秒，△PCQ的面积为24cm2？
12. 已知一个包装盒的表面展开图如图．
（1）若此包装盒的容积为1125cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值；
（2）是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1800cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
专题提升一 关于一元二次方程的应用性问题
1—5. DCCD
5. （1）以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF五条；以B为端点的且与前面不重复的线段有BC、BD、BE、BF四条；以
C为端点的且与前面不重复的线段有CD、CE、CF三条；以D为端点的且与前面不重复的线段有DE、DF两条. 以E为端点的且与前面不重复的线段有EF一条. 得5+4+3+2+1=15；
（2）把人演化成点即可，由上面结论可知，15×14÷2=105.
答：共握了105次；
（3）设有x人，则x（x-1）=2450，解得：x1=50，x2=-49（舍去）.
答：共有50人.
6. （1）28 42
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，解得n1=15，n2=-18（不合题意，舍去），白色瓷砖块数为n（n+1）=240，黑色瓷砖块数为4（n+1）=64，所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元.
答：每间教室瓷砖共需要5440元.
【点拨】（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白色瓷砖2块；当n=2时，黑色瓷砖有12块，白色瓷砖6块；当n=3时，黑色瓷砖有16块，白色瓷砖12块；则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；故答案为28，42.
7. ∵30×100＜3150，∴人数超过了30人.
设超过了x人，则旅游人数为（30+x）人，人均费用为（100-2x）元，得：（30+x）（100-2x）=3150，解得：x1=5，x2=15，又∵100-2x≥72，∴x≤14，∴只有x=5才符合题意，∴30+x=35.
答：学生数是35人.
8. 12
9. 8
10. （（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33-2x+2）=150，解得：x1=10，x2=7.5，当x1=10时，33-2x+2=15＜18，当x2=7.5时33-2x+2=20＞18，舍去，则养鸡场的宽是10m，长为15m.
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33-2x+2）=200，整理得：2x2-35x+200=0，word/media/image7_1.png=（-35）2-4×2×200=1225-1600=-375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2；
（3）当0＜a＜15时，不能围成一个长方形养鸡场；当15≤a＜20时，可以围成一个长方形养鸡场，宽是10m，长为15m；当a≥20时，可以围成一个长方形养鸡场，宽是10m，长为15m，或宽是7.5m，长为20m.
11. 分两种情况：P在线段AB上；P在线段AB的延长线上；进行讨论即可求得P运动的时间． 设当点P运动x秒时，△PCQ的面积为24cm2，①P在线段AB上，此时CQ=2x，PB=10-x，S△PCQ=word/media/image8_1.png·2x·（10-x）=24，化简得 x2-10x+24=0，解得x=6或4；
②P在线段AB的延长线上，此时CQ=2x，PB=x-10，S△PCQ=word/media/image9_1.png·2x·（x-10）=24，化简得x2-10x-24=0，解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去． 所以当点P运动4秒、6秒或12秒时，△PCQ的面积为24cm2．
12. （（1）根据题意得：
15x（40÷2-x）=1125，整理得：x2-20x+75=0，解得x=15或x=5.
答：x的值为5cm或15cm．
（2）根据题意得：15x（40÷2-x）=1800
整理得：x2-20x+120=0，word/media/image10_1.png=（-20）2-4×1×120=-80＜0，∴此方程无解，∴不存在这样的x的值，使得包装盒的容积为1800立方厘米．第一章
[原文]
道可道也①，非恒道也②。名可名也③，非恒名也。无名④，万物之始也；有名⑤，万物之母也⑥。故恒无欲也⑦，以观其眇⑧；恒有欲也，以观其所徼⑨。两者同出，异名同谓⑩。玄之又玄⑾，众眇之门⑿。
[译文]
“道”如果可以用言语来表述，那它就是常“道”(“道”是可以用言语来表述的，它并非一般的“道”)；“名”如果可以用文辞去命名，那它就是常“名”(“名”也是可以说明的，它并非普通的“名”)。“无”可以用来表述天地浑沌未开之际的状况；而“有”，则是宇宙万物产生之本原的命名。因此，要常从“无”中去观察领悟“道”的奥妙；要常从“有”中去观察体会“道”的端倪。无与有这两者，来源相同而名称相异，都可以称之为玄妙、深远。它不是一般的玄妙、深奥，而是玄妙又玄妙、深远又深远，是宇宙天地万物之奥妙的总门(从“有名”的奥妙到达无形的奥妙，“道”是洞悉一切奥妙变化的门径)。
[注释]
①第一个“道”是名词，指的是宇宙的本原和实质，引申为原理、原则、真理、规律等。第二个“道”是动词。指解说、表述的意思，犹言“说得出”。②恒：一般的，普通的。③第一个“名”是名词，指“道”的形态。第二个“名”是动词，说明的意思。④无名：指无形。⑤有名：指有形。⑥母：母体，根源。⑦恒：经常。
⑧眇（miao）：通妙，微妙的意思。⑨徼（jiao）：边际、边界。引申端倪的意思。⑩谓：称谓。此为“指称”。⑾玄：深黑色，玄妙深远的含义。⑿门：之门,一切奥妙变化的总门径，此用来比喻宇宙万物的唯一原“道”的门径。
[延伸阅读1]王弼《道德经注》
道可道，非常道，名可名，非常名。 可道之道，可名之名，指事造形，非其常也，故不可道，不可名也。 无名，天地之始；有名，万物之母。 凡有皆始於无，故未形无名之时，则为万物之始。及其有形有名之时，则长之育之，亭之毒之，为其母也。言道以无形无名，始成万物，以始以成，而不知其所以玄之又玄也。 故常无欲，以观其妙； 妙者，微之极也。万物始於微而后成，始於无而后生，故常无欲空虚，可以观其始物之妙。 常有欲，以观其徼。 徼，归终也。凡有之为利，必以无为用；欲之所本，适道而后济。故常有欲，可以观其终物之徼也。 此两者，同出而异名。同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。 两者，始与母也。同出者，同出於玄也。异名所施，不可同也，在首则谓之始，在终则谓之母。玄者，冥也，默然无有也，始、母之所出也，不可得而名，故不可言。同名曰玄，而言同谓之玄者，取於不可得而谓之然也。谓之然则不可以定乎一玄而已，则是名则失之远矣，故曰玄之又玄也。众妙皆从同而出，故曰众妙之门也。
[延伸阅读2]苏辙《老子解》
道可道，非常道。莫非道也。而可道者不可常，惟不可道，而後可常耳。今夫仁義禮智，此道之可道者也。然而仁不可以為義，而禮不可以為智，可道之不可常如此。惟不可道，然後在仁為仁，在義為義，在禮為禮，在智為智。彼皆不常，而道常不變，不可道之能常如此。
名可名，非常名。道不可道，而況可得而名之乎？凡名皆其可道者也。名既立，則圓方曲直之不同，不可常矣。
無名，天地之始；有名，萬物之母。常無，欲以觀其妙；常有，欲以觀其徼。自其無名，形而為天地，天地位而名始立矣。自其有名，播而為萬物，萬物育而名不可勝載矣。故無名者道之體，而有名者道之甩也。聖人體道以為天下用，入於衆有而常無，將以觀其妙也。體其至無而常有，將以觀其徼也。若夫行於其徼而不知其妙，則粗而不神矣。留於其妙而不知其繳，則精而不遍矣。
此兩者，同出而異名，同謂之玄。以形而言有無，則信兩矣。安知無運而為有，有復而為無，未嘗不一哉。其名雖異，其本則一，知本之一也，則玄矣。凡遠而無所至極者，其色又玄，故老子常以玄寄極也。玄之又玄，衆妙之門。言玄則至矣，然猶有玄之心在焉。玄之又玄則盡矣，不可以有加矣，衆妙之所從出也。
第一章
[原文]
道可道也①，非恒道也②。名可名也③，非恒名也。无名④，万物之始也；有名⑤，万物之母也⑥。故恒无欲也⑦，以观其眇⑧；恒有欲也，以观其所徼⑨。两者同出，异名同谓⑩。玄之又玄⑾，众眇之门⑿。
[译文]
“道”如果可以用言语来表述，那它就是常“道”(“道”是可以用言语来表述的，它并非一般的“道”)；“名”如果可以用文辞去命名，那它就是常“名”(“名”也是可以说明的，它并非普通的“名”)。“无”可以用来表述天地浑沌未开之际的状况；而“有”，则是宇宙万物产生之本原的命名。因此，要常从“无”中去观察领悟“道”的奥妙；要常从“有”中去观察体会“道”的端倪。无与有这两者，来源相同而名称相异，都可以称之为玄妙、深远。它不是一般的玄妙、深奥，而是玄妙又玄妙、深远又深远，是宇宙天地万物之奥妙的总门(从“有名”的奥妙到达无形的奥妙，“道”是洞悉一切奥妙变化的门径)。
[注释]
①第一个“道”是名词，指的是宇宙的本原和实质，引申为原理、原则、真理、规律等。第二个“道”是动词。指解说、表述的意思，犹言“说得出”。②恒：一般的，普通的。③第一个“名”是名词，指“道”的形态。第二个“名”是动词，说明的意思。④无名：指无形。⑤有名：指有形。⑥母：母体，根源。⑦恒：经常。
⑧眇（miao）：通妙，微妙的意思。⑨徼（jiao）：边际、边界。引申端倪的意思。⑩谓：称谓。此为“指称”。⑾玄：深黑色，玄妙深远的含义。⑿门：之门,一切奥妙变化的总门径，此用来比喻宇宙万物的唯一原“道”的门径。
[延伸阅读1]王弼《道德经注》
道可道，非常道，名可名，非常名。 可道之道，可名之名，指事造形，非其常也，故不可道，不可名也。 无名，天地之始；有名，万物之母。 凡有皆始於无，故未形无名之时，则为万物之始。及其有形有名之时，则长之育之，亭之毒之，为其母也。言道以无形无名，始成万物，以始以成，而不知其所以玄之又玄也。 故常无欲，以观其妙； 妙者，微之极也。万物始於微而后成，始於无而后生，故常无欲空虚，可以观其始物之妙。 常有欲，以观其徼。 徼，归终也。凡有之为利，必以无为用；欲之所本，适道而后济。故常有欲，可以观其终物之徼也。 此两者，同出而异名。同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。 两者，始与母也。同出者，同出於玄也。异名所施，不可同也，在首则谓之始，在终则谓之母。玄者，冥也，默然无有也，始、母之所出也，不可得而名，故不可言。同名曰玄，而言同谓之玄者，取於不可得而谓之然也。谓之然则不可以定乎一玄而已，则是名则失之远矣，故曰玄之又玄也。众妙皆从同而出，故曰众妙之门也。
[延伸阅读2]苏辙《老子解》
道可道，非常道。莫非道也。而可道者不可常，惟不可道，而後可常耳。今夫仁義禮智，此道之可道者也。然而仁不可以為義，而禮不可以為智，可道之不可常如此。惟不可道，然後在仁為仁，在義為義，在禮為禮，在智為智。彼皆不常，而道常不變，不可道之能常如此。
名可名，非常名。道不可道，而況可得而名之乎？凡名皆其可道者也。名既立，則圓方曲直之不同，不可常矣。
無名，天地之始；有名，萬物之母。常無，欲以觀其妙；常有，欲以觀其徼。自其無名，形而為天地，天地位而名始立矣。自其有名，播而為萬物，萬物育而名不可勝載矣。故無名者道之體，而有名者道之甩也。聖人體道以為天下用，入於衆有而常無，將以觀其妙也。體其至無而常有，將以觀其徼也。若夫行於其徼而不知其妙，則粗而不神矣。留於其妙而不知其繳，則精而不遍矣。
此兩者，同出而異名，同謂之玄。以形而言有無，則信兩矣。安知無運而為有，有復而為無，未嘗不一哉。其名雖異，其本則一，知本之一也，則玄矣。凡遠而無所至極者，其色又玄，故老子常以玄寄極也。玄之又玄，衆妙之門。言玄則至矣，然猶有玄之心在焉。玄之又玄則盡矣，不可以有加矣，衆妙之所從出也。
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