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反对称张量在N维空间中的几何意义-

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反对称张量在N维空间中的几何意义
By wxy 目录
推广的猜想、通过平面构造二阶张量面量的基本性质
面量的模单位面量
面量的“方向”、意义面量的“点乘”
构造四维二阶张量
四维空间中平面间的位置关系
射影面积定理推广
四维空间中平面间的夹角位置术语
高维空间“叉乘”推广
向量间的叉乘：求法平面
标量与面量间的叉乘：求平面的法平面叉乘与点乘的关系1 标量与标量间的叉乘：得置换张量面量与面量间的叉乘：得标量面量与面量间的叉乘的几何意义叉乘与点乘的关系2 面量与奇异面量面量之和有意义的条件
面量与向量的叉积：得到向量
推广的猜想、通过平面构造二阶张量
张量是向量的推广。在N维空间中向量有N个分量，而张量则有N的阶数次方个分量。因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。
标量（〇阶张量）可以表示N维空间中有“大小”、“正负”的原点；
向量（一阶张量）可以表示N维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线；由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。
已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底a(x1,y1,z1,t1,...、b(x2,y2,z2,t2,...，我们怎样表示这个平面？
N维空间中最一般的平面表示方法是 Pab。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即
nab,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即a和b间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy 平面，a和b间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为x1y2x2y1，我们可以构造一个张量F，使Fi,jaibjbiaj，即Fabab。为了方便，我们记ababab。（正反并矢积之差）
面量的基本性质
面量的模
张量F即表示向量a和b所决定的平面，我们称F为“面量”，记为“F”。三维空间中：0n(x,y,z，Fexyexzexy0eyzexz0eyz=y1x2x1y20z1x2x1z2x1y2y1x20y1z2z1y2x1z2z1x20zyz0。我们y1z2z1y2x0yx0这样定义的所有面量都是反对称张量，面量的模为基向量a和b间平行四边形的面积，即
Fx2y2z2。注意F既不等于det(F，也不是F中每项元素的平方和开方，而是F中每项元素的平方和除以2再开方，那是因为二阶反对称张量有一半的项只相差了正负号，而本质上是重复的，在计算时我们其实只需要一半的数据，故用2除去。
面量的加法就是对应项相加
单位面量
010001000,E000,E001，则任意一个面量都能写成100我们记单位面量Exyxzyz