多元线性回归的计算方法

发布时间：2020-11-10 09:51:36 来源：文档文库

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多元线性回归得计算方法

摘要

在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量得影响。例如,家庭消费支出，除了受家庭可支配收入得影响外,还受诸如家庭所有得财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素得影响，表现在线性回归模型中得解释变量有多个。这样得模型被称为多元线性回归模型。

多元线性回归得基本原理与基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多,计算相当麻烦,一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归得一些基本问题。ﻫ但由于各个自变量得单位可能不一样,比如说一个消费水平得关系式中,工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素(自变量)得单位显然就就是不同得,因此自变量前系数得大小并不能说明该因素得重要程度，更简单地来说,同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得得回归系数要小,但就就是工资水平对消费得影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一得单位上来。前面学到得标准分就有这个功能,具体到这里来说,就就就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到得回归系数就能反映对应自变量得重要程度。这时得回归方程称为标准回归方程,回归系数称为标准回归系数,表示如下:

Ｚy＝β1Ｚx1＋β２Zｘ2+…+βkＺxkﻫ注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a了，因为各自变量都取平均水平时,因变量也应该取平均水平,而平均水平正好对应标准分０,当等式两端得变量都取0时,常数项也就为0了。

多元线性回归模型得建立

多元线性回归模型得一般形式为

　 Yi=β０＋β１X1ｉ＋β2X２i+…+ =1,2,…,n　

　其中 k为解释变量得数目，=(ｊ=1，2,…，ｋ)称为回归系数(regressｉon coeffｉｃｉeｎｔ)。上式也被称为总体回归函数得随机表达式。它得非随机表达式为　

　E（Y∣X１i,X2i,…Xkｉ,)=β０+β1X１i+β２X２i+…+βｋXki　

　　βｊ也被称为偏回归系数(pａrtｉａl　ｒeｇｒession ｃｏｅfficient)

多元线性回归得计算模型

　一元线性回归就就是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量得变化,在现实问题研究中,因变量得变化往往受几个重要因素得影响，此时就需要用两个或两个以上得影响因素作为自变量来解释因变量得变化,这就就就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间就就是线性关系时,所进行得回归分析就就就是多元性回归。设y为因变量X1，Ｘ2…Xｋ为自变量,并且自变量与因变量之间为线性关系时,则多元线性回归模型为：　

　　Y＝ｂ０+b1ｘ1+…＋bkｘｋ+e

　　其中，b0为常数项Ｘ1,X2…Xk为回归系数,ｂ１为Ｘ1,X２…Xk固定时，x1每增加一个单位对y得效应,即x１对y得偏回归系数;同理b2为Ｘ1,X2…Xk固定时,x２每增加一个单位对ｙ得效应,即,ｘ2对ｙ得偏回归系数,等等。如果两个自变量x１,ｘ２同一个因变量y呈线相关时,可用二元线性回归模型描述为：　

　　Y=b０+b1ｘ1+…+bkxk+e

　其中,ｂ0为常数项,Ｘ1,X2…Xk为回归系数，b1为X1，X2…Ｘk固定时,ｘ２每增加一个单位对y得效应,即ｘ2对ｙ得偏回归系数,等等。如果两个自变量ｘ1,ｘ2同一个因变量y呈线相关时,可用二元线性回归模型描述为：　

　 y = b０ + ｂ1x1 ＋ b2x2 + e

　建立多元性回归模型时,为了保证回归模型具有优良得解释能力与预测效果,应首先注意自变量得选择,其准则就就是:

　(１）自变量对因变量必须有显著得影响,并呈密切得线性相关;　

（2)自变量与因变量之间得线性相关必须就就是真实得,而不就就是形式上得;

(3)自变量之彰应具有一定得互斥性,即自变量之彰得相关程度不应高于自变量与因变量之因得相关程度;

　 (４)自变量应具有完整得统计数据,其预测值容易确定。

　多元性回归模型得参数估计,同一元线性回归方程一样,也就就是在要求误差平方与（Σe)为最小得前提下,用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例,求解回归参数得标准方程组为

　　解此方程可求得b0,b１，b2得数值。亦可用下列矩阵法求得

　即

多元线性回归分析预测法

多元回归分析预测法,就就是指通过对两上或两个以上得自变量与一个因变量得相关分析，建立预测模型进行预测得方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时,称为多元线性回归分析。

　　多元线性回归模型得检验

　多元线性回归模型与一元线性回归模型一样,在计算出回归模型之后，要对模型进行各种检验。

　多元线性回归模型得检验方法有:判定系数检验(R检验）,回归系数显着性检验(Ｔ检验)，回归方程显着性检验(F检验)。

1、判定系数检验。多元线性回归模型判定系数得定义与一元线性回归分析类似。判定系数Ｒ得计算公式为:　R = Ｒ接近于1表明Y与Ｘ1, X2 ,…, Xk之间得线性关系程度密切;R接近于０表明Ｙ与X1, X２，…,　Ｘk之间得线性关系程度不密切。

　2、回归系数显着性检验。在多元回归分析中,回归系数显着性检验就就是检验模型中每个自变量与因变量之间得线性关系就就是否显着。显着性检验就就是通过计算各回归系数得ｔ检验值进行得。回归系数得ｔ检验值得计算公式为:＝ (j = １,2,…，k),式中就就是回归系数得标准差。在多元回归模型中,某个变量回归系数得ｔ检验没有通过，说明该变量与因变量之间不存在显着得线性相关关系,在回归分析时就可以将该变量删去,或者根据情况作适当得调整,而后用剩下得自变量再进行回归分析。

　3、回归方程得显着性检验。回归方程得显着性检验就就是检验所有自变量作为一个整体与因变量之间就就是否有显着得线性相关关系。显着性检验就就是通过Ｆ检验进行得。F检验值得计算公式就就是:Ｆ(k ,ｎ－ｋ-１)＝　多元回归方程得显着性检验与一元回归方程类似,在此也不再赘述。回归方程得显着性检验未通过可能就就是选择自变量时漏掉了重要得影响因素,或者就就是自变量与因变量间得关系就就是非线性得,应重新建立预测模型。

多元线性回归预测模型得公式

　多元线性回归预测模型一般公式为:

　多元线性回归模型中最简单得就就是只有两个自变量(ｎ=２）得二元线性回归模型,其一般形式为：

下面以二元线性回归分析预测法为例,说明多元线性回归分析预测法得应用。

二元线性回归分析预测法,就就是根据两上自变量与一个因变量相关关系进行预测得方法。二元线性回归方程得公式为:

式中::因变量;

　 x1，x２:两个不同自变量,即与因变量有紧密联系得影响因素。

a,b１,b2:就就是线性回归方程得参数。

　a,b1,b２就就是通过解下列得方程组来得到。

　　　　　（2)

多元线性回归模型预测得精准度

多元线性回归模型表示一种地理现象与另外多种地理现象得依存关系，这时另外多种地理现象共同对一种地理现象产生影响，作为影响其分布与发展得重要因素。