学法大视野·数学·九年级上册（湘教新版）·第1章-反比例函数

1.反比例函数概念

一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成　　　　(k为常数,k　　　0)的形式,那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自变量x不能为　　　　. 

2.反比例函数的等价形式

y是x的反比例函数⇔y=word/media/image4.gif (k≠0)⇔y=kx-1(k≠0)⇔xy=k(k≠0).

探究一:反比例函数的概念

【例1】 若函数y=(m+1) word/media/image6.gif是反比例函数,则m的值为(　　)

(A)m=1 (B)m=-2

(C)m=-2或m=-1 (D)m=2或m=1

【导学探究】

判断形如y=word/media/image4.gif (k≠0)的反比例函数时,要特别注意:①自变量x的指数是　　　,②k的取值范围是　. 

反比例函数y=word/media/image4.gif (k≠0)中应注意三点:(1)k≠0;(2)x≠0;(3)其解析式的另外两种写法是xy=k,y=kx-1(k≠0),其中(1)是最容易被忽视的.

变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数“k”值是多少?

(1)y=word/media/image8.gif;(2)xy=-6;

(3)s=word/media/image9.gif;(4)y=word/media/image10.gif+1.

变式训练1-2:写出下列问题中y与x之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数.

(1)三角形的面积为36 cm2,底边长y(cm)与该边上的高x(cm);

(2)圆锥的体积为60 cm3,它的高y(cm)与底面的面积x(cm2).

探究二:求反比例函数解析式

【例2】 已知y是x的反比例函数,( word/media/image11.gif,- word/media/image11.gif)是它图象上的一点,该图象是否经过点-6, word/media/image13.gif ?

【导学探究】

1.设函数关系式为　　　　　　　　. 

2.把点　　　　　　代入关系式. 

确定反比例函数的关系式:(1)设:设出关系式y=word/media/image4.gif (k≠0);(2)代:把一组x、y的值代入;(3)写:写出函数关系式.

变式训练2-1:已知y与x成反比例,并且当x=-1时,y=3,那么该函数的表达式为(　　)

(A)y=-3x (B)y=word/media/image14.gif

(C)y=-word/media/image13.gifx (D)y=word/media/image13.gifx

变式训练2-2:已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.

(1)求y与x的函数表达式;

(2)当x=4时,求y的值.

1.(2013温州)已知点P(1,-3)在反比例函数y=word/media/image4.gif (k≠0)的图象上,则k的值是(　　)

(A)3 (B)-3 (C) word/media/image13.gif (D)- word/media/image13.gif

2.下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是 (　　)

(A)y=2x (B)y=word/media/image16.gif

(C)y=word/media/image17.gif (D)y=word/media/image18.gif

3.(2013邵阳)下列四个点中,在反比例函数y=-word/media/image19.gif的图象上的是(　　)

(A)(3,-2) (B)(3,2)

(C)(2,3) (D)(-2,-3)

4.已知函数y=(m-2) word/media/image20.gif是反比例函数,则m的值为　　　　. 

5.某市举办“珍珠节”,需要生产4000个珍珠纪念品,一名工人一天的产量为5至8个,若要在40天内完成任务,那么大约需要多少工人?

1.下列各选项中所列举的两个变量之间的关系,是反比例函数关系的是(　　)

(A)直角三角形中,30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系

(B)等腰三角形,顶角y与底角x之间的关系

(C)圆的面积S与它的直径d之间的关系

(D)面积为20的菱形,其中一条对角线y与另一条对角线x的关系

2.在函数①y=3x;②y=word/media/image22.gif;③y=-5x;

④y=-word/media/image23.gif;⑤s=vt;⑥v=word/media/image24.gif;⑦S=πR2;

⑧t=word/media/image25.gif;⑨I=word/media/image26.gif中.反比例函数有(　　)

(A)4个 (B)3个

(C)5个 (D)6个

3.(2013遂宁)已知反比例函数y=word/media/image4.gif的图象经过点(2,-2),则k的值为(　　)

(A)4 (B)- word/media/image27.gif

(C)-4 (D)-2

4.已知y与x成正比例,z与y成反比例,则z与x之间(　　)

(A)成正比例

(B)成反比例

(C)既成正比例又成反比例

(D)既不成正比例也不成反比例

5.已知反比例函数y=-word/media/image22.gif的图象经过点(a,-a),则a的值为(　　)

(A) word/media/image11.gif (B)- word/media/image11.gif

(C)±word/media/image11.gif (D)±2

6.已知函数y=(m+2)x|m|-3是反比例函数,则m的值为　　　　. 

7.(2013扬州)在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则当p=25时,V=　　　　. 

8.已知A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=word/media/image19.gif的图象上.若x1x2=-3,则y1y2的值为　　　　. 

9.已知函数y=(m-2) word/media/image28.gif.

(1)若y是x的正比例函数,求m的值.

(2)若y是x的反比例函数,求m的值.

10.生物学习小组欲建一个一边长为x m,面积是30 m2的三角形生物养殖区.若这条边上的高为y m,

(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.

(2) y关于x的函数是不是反比例函数?如果是,请说出它的比例系数.

第1课时　反比例函数的图象

1.反比例函数的图象

反比例函数y=word/media/image4.gif (k≠0)的图象是双曲线.

2.反比例函数图象画法的注意事项

(1)反比例函数的图象不是直线,“两点法”是不能画的;

(2)选取的点越多,画的图越准确.

3.反比例函数图象的性质

(1)当k>0时,两支曲线分别位于第　　　　象限内. 

(2)当k<0时,两支曲线分别位于第　　　　象限内. 

探究一:反比例函数图象性质

【例1】 已知如图所示的曲线是函数y=word/media/image31.gif (m为常数)图象的一支.

(1)求常数m的取值范围;

(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A(2,n),求点A的坐标及反比例函数的解析式.

【导学探究】

由题中图象可知反比例函数y=word/media/image31.gif的两个分支分别位于　　　　　.可判断m-5　　　　0. 

反比例函数y=word/media/image4.gif图象的位置决定于k的符号.

变式训练1-1:已知反比例函数y=word/media/image33.gif的图象如图所示,则实数m的取值范围是(　　)

(A)m>1 (B)m>0

(C)m<1 (D)m<0

变式训练1-2:反比例函数y=mword/media/image34.gif图象在第二、四象限,那么m=　　　　. 

探究二:反比例函数与一次函数的结合

【例2】 已知反比例函数y=word/media/image4.gif的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点(1,5).

(1)求这两个函数的关系式;

(2)求这两个函数图象的另一个交点的坐标.

【导学探究】

1.把点　　　　代入y=word/media/image4.gif和y=3x+m. 

2.两函数图象的交点坐标,即求方程组　　　　的解. 

变式训练2-1:(2013汕头)已知k1<02,则函数y=k1x-1和y=word/media/image35.gif的图象大致是(　　)

变式训练2-2:如图,已知直线y=-x+2与反比例函数y=word/media/image4.gif的图象相交于点A(-1,a),并且与x轴相交于点B.

(1)求a的值;

(2)求反比例函数的表达式;

(3)求△AOB的面积.

1.(2013兰州)当x>0时,函数y=-word/media/image23.gif的图象在(　　)

(A)第四象限 (B)第三象限

(C)第二象限 (D)第一象限

2.(2013沈阳)在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y=word/media/image39.gif的图象可能是(　　)

3.若双曲线y=word/media/image4.gif与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1,则k的值为(　　)

(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2

4.(2013厦门)已知反比例函数y=word/media/image42.gif的图象的一支位于第一象限,则常数m的取值范围是　　　　. 

5.(2013岳阳)如图,反比例函数y=word/media/image4.gif与一次函数y=x+b的图象,都经过点A(1,2)

(1)试确定反比例函数和一次函数的解析式;

(2)求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标.

1.(2013随州)正比例函数y=kx和反比例函数y=-word/media/image44.gif (k是常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

2.(2013铜仁)已知矩形的面积为8,则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为(　　)

3.(2013大理)若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=word/media/image47.gif在同一坐标系中的大致图象是(　　)

4.关于反比例函数y=word/media/image49.gif的图象,下列说法正确的是(　　)

(A)必经过点(1,1)

(B)两个分支分布在第二、四象限

(C)两个分支关于x轴成轴对称

(D)两个分支关于原点成中心对称

5.(2013毕节)一次函数y=kx+b与反比例函数y=word/media/image4.gif在同一直角坐标系下的大致图象如图所示;则k、b的取值范围是(　　)

(A)k>0,b>0

(B)k<0,b>0

(C)k<0,b<0

(D)k>0,b<0

6.(2013无锡)已知双曲线y=word/media/image51.gif经过点(-1,2),那么k的值等于　　　　. 

7.(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=-word/media/image19.gif的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么(x2-x1)(y2-y1)的值为　　　　. 

8.已知反比例函数y=word/media/image52.gif的图象过点(-4,-9),且反比例函数y=word/media/image53.gif的图象位于第一、三象限,求m的值.

9.如图,直线y=kx+k(k≠0)与双曲线y=word/media/image31.gif在第一象限内相交于点M,与x轴交于点A.

(1)求m的取值范围和点A的坐标;

(2)若点B的坐标为(3,0),AM=5,S△ABM=8,求双曲线的函数表达式.

第2课时　反比例函数的性质

1.反比例函数的增减性

反比例函数y=word/media/image4.gif (k≠0)的图象,当k>0时,　　　　　　,y的值随x值的增大而　　　　;当k<0时,　　　　　　　　,y的值随x值的增大而　　　. 

2.反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.(对称轴为直线　　　　,对称中心为　　　　　). 

探究一:反比例函数的增减性

【例1】 如图是反比例函数y=word/media/image56.gif的图象的一支,根据图象回答下列问题:

(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?

(2)若函数的图象经过点(3,1),求n的值.

(3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a12,试比较b1和b2的大小.

【导学探究】

1. 函数过　　　　象限,所以2n-4　　　. 

2.在每个分支上,y随x的增大而　　　,由a12可得b1　　　b2. 

反比例函数的增减性要注意:

(1)前提是在每个象限内,(2)与一次函数增减性相反.

变式训练1-1:

(2013凉山州)如图,正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)

变式训练1-2:(2013海南)点(2,y1),(3,y2)在函数y=-word/media/image22.gif的图象上,则y1　　　　y2(填“>”或“<”或“=”). 

探究二:反比例函数的几何意义

【例2】

如图所示,A、B是函数y=word/media/image22.gif的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,且交x轴于D,求△ABC的面积.

【导学探究】

从反比例函数y=word/media/image4.gif (k≠0)的图象上任一点向两坐标轴作垂线(如图所示),与两坐标轴围成的矩形的面积等于　　　　,三角形面积(S△AOB)等于　　　　. 

变式训练2-1:

(2013永州)如图,两个反比例函数y=word/media/image49.gif和y=word/media/image22.gif在第一象限内的图象分别是C1和C2,设点P在C1上,PA⊥x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为　　　　. 

变式训练2-2:如图所示,设A为反比例函数y=word/media/image4.gif图象上一点,且长方形ABOC的面积为3,求这个反比例函数的解析式.

1.(2013义乌)已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)在反比例函数y=word/media/image10.gif的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是(　　)

(A)012 (B)021

(C)y1<y2<0 (D)y21<0

2.(2013滨州)若点A(1,y1)、B(2,y2)都在反比例函数y=word/media/image4.gif (k>0)的图象上,则y1、y2的大小关系为(　　)

(A)y12 (B)y1≤y2

(C)y1>y2 (D)y1≥y2

3.如图,已知A点是反比例函数y=word/media/image4.gif (k≠0)的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为　　　　. 

4.如图,点A在双曲线y=word/media/image10.gif上,点B在双曲线y=word/media/image23.gif上,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为　　　　. 

5.

(2013郴州)已知:如图,一次函数的图象与y轴交于点C(0,3),且与反比例函数y=word/media/image22.gif的图象在第一象限内交于A、B两点,其中A(1,a),

求这个一次函数的解析式.

1.(2013兰州)已知A(-1,y1),B(2,y2)两点在双曲线y=word/media/image68.gif上,且 y1>y2,则m的取值范围是(　　)

(A)m>0 (B)m<0

(C)m>-word/media/image69.gif (D)m<-word/media/image69.gif

2.反比例函数y=word/media/image22.gif图象上的两点为(x1,y1),(x2,y2),且x12,则下列关系成立的是(　　)

(A)y1>y2 (B)y12

(C)y1=y2 (D)不能确定

3.(2013潍坊)设点A(x1,y1)和B(x2,y2)是反比例函数y=word/media/image4.gif图象上的两个点,当x12<0时,y12,则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是(　　)

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

4.如图所示,两个反比例函数y=word/media/image39.gif和y=-word/media/image22.gif的图象分别是l1和l2.设点P在l1上,PC⊥x轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB的面积为(　　)

(A)3 (B)4 (C) word/media/image71.gif (D)5

5.

如图,点A是反比例函数y=-word/media/image19.gif (x<0)的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使点B、C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为(　　)

(A)1 (B)3 (C)6 (D)12

6.(2013内江)如图,反比例函数y=word/media/image4.gif (x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

7.如图所示,一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-word/media/image22.gif的图象交于点A(-2,1),B(1,-2),则使y1>y2的x的取值范围是　. 

8.(2013黄冈)已知反比例函数y=word/media/image19.gif在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x轴正半轴上一点,连接AO、AB,且AO=AB,则S△AOB=　　　　. 

9.如图是反比例函数y=word/media/image77.gif图象的一支.根据图象回答下列问题:

(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?

(2)若点A(m-3,b1)和点B(m-4,b2)是该反比例函数图象上的两点,请你判断b1与b2的大小关系,并说明理由.

1.反比例函数的应用主要体现在三个方面

(1)根据图象或其他信息,写出函数的解析式.

(2)由已知条件画出函数的图象.

(3)运用反比例函数的性质解决实际问题.

2.应用反比例函数解决问题的注意事项

(1)设出函数表达式,不要忘记系数的取值范围.

(2)在求解中注意自变量的取值范围.

(3)有些问题也可借助于图象或图表来解决,使问题更直观、条理.

探究一:反比例函数的应用

【例1】 某汽车的功率P(瓦)为一定值,汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.

(1)这辆汽车的功率是多少?请写出v关于F的函数表达式;

(2)当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多少千米/时?

(3)如果限定汽车的速度不超过30 米/秒,那么F在什么范围内?

【导学探究】

1.由题图象知,v与F是　　　　函数,所以可设　　　　　　. 

2.v随F的增大而　　　. 

变式训练1-1:近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m,则y与x的函数关系式为(　　)

(A)y=word/media/image80.gif (B)y=word/media/image81.gif

(C)y=word/media/image82.gif (D)y=word/media/image83.gif

变式训练1-2:在对物体做功W一定的情况下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,其图象如图所示,P(5,1)在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是　　　　米. 

探究二:反比例函数与一次函数的综合应用

【例2】

如图所示,直线y=k1x+b与双曲线y=word/media/image35.gif相交于A(1,2),B(m,-1)两点.

(1)求直线和双曲线的解析式;

(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x12<03,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;

(3)观察图象,请直接写出不等式k1x+b>word/media/image35.gif的解集.

【导学探究】

1.由A点的坐标,可求出　　　　,从而可求出m=　　　　. 

2.借助　　　　求出不等式的解集. 

反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型:(1)求关系式;(2)求交点坐标;(3)求三角形面积;(4)比较函数值大小.

变式训练2-1:(2013天水)函数y1=x和y2=word/media/image39.gif的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是(　　)

(A)x<-1或x>1

(B)x<-1或01

(C)-10或x>1

(D)-10或01

变式训练2-2:

已知平面直角坐标系xOy,直线y=word/media/image27.gifx+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,点A(2,t)在直线y=word/media/image27.gifx+b上,连接AO,△AOB的面积等于1.

(1)求b的值;

(2)如果反比例函数y=word/media/image4.gif (k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.

1.(2013泉州)为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式:V=Sh(V≠0),则S关于h的函数图象大致是(　　)

2.(2013三明)如图,已知直线y=mx与双曲线y=word/media/image4.gif的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是 (　　)

(A)(-3,4) (B)(-4,-3)

(C)(-3,-4) (D)(4,3)

3.

(2013荆州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上,则a的值是(　　)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4.(2013枣庄)若正比例函数y=-2x与反比例函数y=word/media/image4.gif图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一个交点的坐标为　　　　. 

5.(2013新疆)如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=word/media/image53.gif的图象交于A(2,4)、B(-4,n)两点.

(1)分别求出y1和y2的解析式;

(2)写出y1=y2时,x的值;

(3)写出y1>y2时,x的取值范围.

1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是 (　　)

(A)5 kg/m3 (B)2 kg/m3

(C)100 kg/m3 (D)1 kg/m3

2.三角形的面积为8 cm2,这时底边上的高y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是(　　)

3.(2013南充)如图,函数y1=word/media/image96.gif与y2=k2x的图象相交于点A(1,2)和点B,当y12时,自变量x的取值范围是(　　)

(A)x>1

(B)-10

(C)-10或x>1

(D)x<-1或01

4.(2013黔东南州)如图,直线y=2x与双曲线y=word/media/image22.gif在第一象限的交点为A,过点A作AB⊥x轴于B,将△ABO绕点O旋转90°,得到△A'B'O,则点A'的坐标为(　　)

(A)(1,0)

(B)(1,0)或(-1,0)

(C)(2,0)或(0,-2)

(D)(-2,1)或(2,-1)

5.如图所示,一次函数y1=ax+b(a≠0)与反比例函数y2=word/media/image4.gif (k≠0)的图象交于A(1,4)、B(4,1)两点,若y1>y2,则x的取值范围是　. 

6.兰州是拉面的故乡.在做拉面的过程中渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示.若工人师傅将面团拉成160根,每根长0.5 m时为成品,则此时拉面粗　　　　mm2. 

7.如图所示,直线y=2x-4交y轴于点A,交x轴于点B,交双曲线y=word/media/image4.gif于点D,DC⊥x轴于点C且S△OAB=4S△BCD,则D点坐标为　　　　. 

8.(2013宿迁)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=word/media/image13.gifx+2与反比例函数y=word/media/image23.gif (x>0)图象交点的横坐标为x0.若k01,则整数k的值是　　　　. 

9.(2013钦州)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=word/media/image4.gif的图象交于A(-2,m),B(4,-2)两点,与x轴交于C点,过A作AD⊥x轴于D.

(1)求这两个函数的解析式:

(2)求△ADC的面积.

10.(2013湘西)如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=word/media/image22.gif的图象有一个交点A(m,2).

(1)求m的值;

(2)求正比例函数y=kx的解析式;

(3)试判断点B(2,3)是否在正比例函数图象上,并说明理由.

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