高中数学知识点总结 - 曲线与方程，圆的方程

曲线与方程、圆的方程

1．曲线C的方程为:f(x,y)=0曲线C上任意一点P（x0,y0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f（x0,y0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x0,y0）为坐标的点P（x0,y0）在曲线C上。

依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程（等式）。求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。

[举例1] 方程所表示的曲线是： （ ）

A B C D

解析：原方程等价于：，或；

其中当需有意义，等式才成立，即，此时它表示直线上不在圆内的部分，这是极易出错的一个环节。选D。

[举例2] 已知点A（－1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程。

解析：如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA

是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA

的最佳载体是直线MA、MB的斜率。

设M（x，y），∠MAB=，则∠MBA=2，它们是直线

MA、MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方

还是下方有关；以下讨论：

1 若点M在x轴的上方,

此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2，

（2）

得：，∵．

当2时, =450，为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3)，它满足上述方程．

②当点M在x轴的下方时, y＜０，同理可得点M的轨迹方程为,

③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)．

综上所求点的轨迹方程为．

[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，

则它的方程是

A．（）·（）=0

B．（）·（）=0

C．（）·（）=0

D．（）·（）=0

[巩固2]已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=，2+3=，当点P移动时，求M点的轨迹方程。

[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的一动点，且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹为： A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B≠0，C=0,且D2+E2-4AF>0）。判断点P（x0,y0）与⊙M：(x-a)2+(y-b)2= r2的位置关系，用|PM|与r的大小，即：|PM|>r (x0-a)2+(y0-b)2> r2P在⊙M外；|PM|<r (x0-a)2+(y0-b)2< r2P在⊙M内；|PM|=r (x0-a)2+(y0-b)2= r2P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。

[举例1]一圆经过A（4，2），B（-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。

解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，

圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标，当y=0时，x2+Dx+F=0，x1+x2=-D

圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标，当x=0时，y2+Ey+F=0，y1+y2=-E

由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。

[举例2]若存在实数k使得直线：kx-y-k+2=0与圆C：x2+2ax+y2-a+2=0无公共点，则实数a的取值范围是： 。

解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。注意到直线对任意的实数k恒过定点

M（1，2），要存在实数k使得直线与⊙C相离，当且仅当M点在圆外；方程x2+2ax+y2-a+2=0

变形为：(x+a)2+y2= a2+a-2, M点在⊙C外(1+a)2+4>a2+a-2>0，解得：-7或a>1.

注：本题中a2+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。

[巩固1]过点A（3，-2），B（2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。

[巩固2]已知定点M(x0,y0)在第一象限，过M点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r1，

r2,则r1r2= 。

[迁移] 关于曲线给出下列说法：①关于直线对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称；⑤是封闭图形，面积小于；⑥是封闭图形，面积大于；则其中正确说法的序号是

3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离来研究。=（为圆的半径）直线与圆相切；过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2；过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r2。过⊙A外一点P作圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|=。<直线与圆相交，弦长|AB|=2;过直线A+B+C=0与圆： =0的交点的圆系方程： +（A+B+C）=0 。>直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为-，最大值为+。

[举例1] 从直线x-y+3=0上的点向圆引切线，则切线长的最小值是

A. B. C. D. -1

解析：圆的圆心A（-2，-2），直线x-y+3=0上任一点P，过引圆的切线PQ（Q为切点），则|PQ|=，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A到直线x-y+3=0的距离，为，此时|PQ|=，选B。

[举例2] 能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为：A．2 Ｂ． C．3 D．

解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。注意到圆心M（1，-2），半径=2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线：的距离∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线的距离等于1，由=∈（1，3）得：，选C。

[巩固1] 若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2－2x=0相切，则a的值为 （　　 ）

（A）1，－1　 　（B）2，－2　　　（C）1　　 　　（D）－1

[巩固2]直线l1：y=kx+1与圆C：x2+y2+2kx+2my=0的两个交点A、B关于直线l2：x+y=0对称，则= 。

[迁移]实数x,y满足的取值范围为 （ ）

A． B． C． D．

4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。⊙M、⊙N的半径分别为、，

|MN|>+外离，|MN|=+外切，|-|<|MN|<+相交，此时，若⊙M：

，⊙N：，过两圆交点的圆（系）的方程为： +（）=0（⊙N除外）。

特别地：当= -1时，该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|-|内切，|MN|<|-|内含。

[举例1]已知两圆O1：x2+y2=16，O2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则O1分有向线段MO2所成的比λ= （ ）

A． B． C．- D．-

解析：直线O1 O2：y= -2x，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M（，），有定比分点坐标公式不难得到λ的值，选C。

[举例2] 若

则a的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

解析：集合A、B分别表示两个圆面（a=1时集B表示一个点），A∩B=BBA，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和，于是有：2≤4-,解得：，选C。

[巩固1]圆心在直线的交点的圆的方程为 （ ）

A． B．

C． D．

[巩固2]若圆(x－a)2+(y－b)2=6始终平分圆x2+y2+2x+2y－3=0的周长，则动点M(a,b)的轨迹方程是

A.a2+b2－2a－2b+1=0 B.a2+b2+2a+2b+1=0

C.a2+b2－2a+2b+1=0 D.a2+b2+2a－2b+1=0

[迁移]与圆+=0外切且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 。

5.圆的参数方程的本质是sin2+ cos2=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系。

[举例]已知圆上任意一点P(x、y)都使不等式x+y+m0成立，则m的取值范围是：A .[ B C () D （ ）

解析：不等式x+y+m0恒成立m -（x+y）恒成立，以下求-（x+y）的最大值：

记x= cos、y=1+ sin，-（x+y）= -( cos+1+ sin)= -1-sin(+)≤-1+,选A。

[巩固1]的最大值为 。

[巩固2]在⊿ABC中，已知，c=10,P是⊿ABC的内切圆上一点，则PA2+PB2

+PC2的最大值为

[迁移]动点P，Q坐标分别为，（是参数），则|PQ|的最大值与最小值的和为 ．

答案

1．[巩固1] D,[巩固2]y2=4x (x>0),[迁移]在平面ABCD上建立平面直角坐标系，选C。

2、[巩固1] (x-1)2+(y+1)2= 5，[巩固2]∵点M在第一象限，∴过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为：(x-r)2+(y-r)2= r2 , ∵圆过M(x0,y0)点，∴(x0-r)2+(y0-r)2= r2，整理得：

r2-2(x0+y0)r+ x02+y02=0,由题意知r1，r2为该方程的两根，故r1r2= x02+y02。[迁移]在曲线C上任取一点M(x0,y0)，x04+y02=1, ∵|x0|≤1, ∴x04≤x02, ∴x02+y02 ≥x04+y02=1,即点M在圆

x2+y2=1外，选①②③⑥；3、[巩固1]D，[巩固2]-1，[迁移]A；4、[巩固1]A，[巩固2]

圆x2+y2+2x+2y－3=0的圆心A（-1，-1），半径为，⊙M始终平分⊙A的周长即

两圆的公共弦是⊙A的直径，A在直线：2(a+1)+2(b+1)y-(a2+b2)+3=0上，将a点坐标代入即得，选B；[迁移] 和，5、[巩固1]1，[巩固2]易知⊿ABC为直角三角形，a=6,b=8,c=10,则内切圆半径r=2，以C为原点建系，设P(2cos,2sin),

PA2+PB2+PC2=80-8sin,最大值为88，[迁移] |PQ|的最大、最小值分别为，和为，注：题中参数是同一个，因此点P，Q是互相有关联的，不是分别在两上圆上的任意点．因此借助图形去直观地求解很容易出错。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c93cfc3df021dd36a32d7375a417866fb84ac0cb.html