理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学
理科数学
考试时间:____分钟
1.已知集合A=word/media/image1.gif,B=word/media/image2.gif,则Aword/media/image3.gifB中元素的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
2.设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣=( )
A. word/media/image4.gif
B. word/media/image5.gif
C. word/media/image6.gif
D. 2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.word/media/image8.gif的展开式中word/media/image9.gif的系数为( )
A. word/media/image10.gif
B. word/media/image11.gif
C. 40
D. 80
5.已知双曲线C:word/media/image12.gif (a>0,b>0)的一条渐近线方程为word/media/image13.gif,且与椭圆word/media/image14.gif有公共焦点,则C的方程为( )
A. word/media/image15.gif
B. word/media/image16.gif
C. word/media/image17.gif
D. word/media/image18.gif
6.设函数word/media/image19.gif,则下列结论错误的是( )
A. word/media/image20.gif的一个周期为word/media/image21.gif
B. word/media/image22.gif的图像关于直线word/media/image23.gif对称
C. word/media/image24.gif的一个零点为word/media/image25.gif
D. word/media/image20.gif在(word/media/image26.gif,word/media/image27.gif)单调递减
7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A. word/media/image27.gif
B. word/media/image29.gif
C. word/media/image30.gif
D. word/media/image31.gif
9.等差数列word/media/image32.gif的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则word/media/image32.gif前6项的和为( )
A. word/media/image33.gif
B. word/media/image34.gif
C. 3
D. 8
10.已知椭圆C:word/media/image35.gif的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线word/media/image36.gif相切,则C的离心率为( )
A. word/media/image37.gif
B. word/media/image38.gif
C. word/media/image39.gif
D. word/media/image40.gif
11.已知函数word/media/image41.gif有唯一零点,则a=( )
A. word/media/image42.gif
B. word/media/image40.gif
C. word/media/image43.gif
D. 1
12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若word/media/image44.gif,则word/media/image45.gif的最大值为( )
A. 3
B. 2word/media/image6.gif
C. word/media/image46.gif
D. 2
13.若word/media/image47.gif,word/media/image48.gif满足约束条件word/media/image49.gif,则word/media/image50.gif的最小值为__________.
14.设等比数列word/media/image32.gif满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则a4 = ___________.
15.设函数word/media/image51.gif,则满足word/media/image52.gif的x的取值范围是_________.
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)
17.(12分)
word/media/image53.gif的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知word/media/image54.gif,a=2word/media/image55.gif,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADword/media/image56.gifAC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
20.(12分)
已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点word/media/image59.gif,求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数word/media/image60.gif.
(1)若word/media/image61.gif,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,word/media/image62.gif,求m的最小值.
22.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4word/media/image63.gif4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为word/media/image64.gif(t为参数),直线l2的参数方程为word/media/image65.gif.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设word/media/image66.gif,M为l3与C的交点,求M的极径.
23.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4word/media/image63.gif5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式word/media/image67.gif的解集非空,求m的取值范围.
答案
单选题
1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A
填空题
13.
word/media/image68.gif
14.
word/media/image69.gif
15.
word/media/image70.gif
16.
②③.
简答题
17.
(1)word/media/image71.gif (2) word/media/image72.gif
18.
(1)分布列略;(2) n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
19.
(1)证明略;(2) word/media/image73.gif.
20.
(1)证明略;(2)见解析
21.
(1)a=1; (2) 3
22.
(1)word/media/image74.gif;(2)word/media/image75.gif
23.
(1)word/media/image76.gif;(2)word/media/image77.gif
解析
单选题
1.
由题意可得:圆word/media/image78.gif与直线word/media/image79.gif相交于两点word/media/image80.gif,word/media/image81.gif,则word/media/image82.gif中
有2个元素.故选B.
2.
由题意可得word/media/image83.gif,由复数求模的法则可得word/media/image84.gif,则word/media/image85.gif.故选C.
3.
由折线图,每年7月到8月折线图呈下降趋势,月接待游客量减少,选项A说法错误.故选A.
4.
word/media/image8.gifword/media/image86.gif由word/media/image87.gif展开式的通项公式word/media/image88.gif可得:当word/media/image89.gif时,word/media/image87.gif展开式word/media/image9.gif的系数为word/media/image90.gif,
当word/media/image91.gif时,word/media/image87.gif展开式word/media/image9.gif的系数为word/media/image92.gif,
则word/media/image9.gif的系数为80-40=40,故选C.
5.
双曲线C:word/media/image93.gif (a>0,b>0)的渐近线方程为word/media/image94.gif ,
椭圆中:word/media/image95.gif ,椭圆,双曲线的焦点为word/media/image96.gif ,
据此可得双曲线中的方程组:word/media/image97.gif ,解得:word/media/image98.gif ,
则双曲线word/media/image99.gif 的方程为word/media/image100.gif .
6.
当word/media/image101.gif 时,word/media/image102.gif ,函数word/media/image20.gif在该区间内不单调.故选D.
7.
阅读程序框图,程序运行如下:
首先初始化数值:word/media/image103.gif,然后进入循环体:
此时应满足word/media/image104.gif,执行循环语句:word/media/image105.gif;
此时应满足word/media/image104.gif,执行循环语句:word/media/image106.gif;
此时满足word/media/image107.gif,可以跳出循环,则输入的正整数N的最小值为2.
故选D.
8.
绘制圆柱的轴截面如图所示,由题意可得:word/media/image108.gif,
结合勾股定理,底面半径word/media/image109.gif,
由圆柱的体积公式,可得圆柱的体积是word/media/image110.gif,故选B.
9.
设等差数列word/media/image32.gif的公差为word/media/image112.gif,且word/media/image113.gif,word/media/image114.gif,word/media/image115.gif,又word/media/image113.gif,所以word/media/image116.gif,word/media/image117.gif,故选A.
10.
以线段word/media/image118.gif为直径的圆是word/media/image119.gif,直线word/media/image120.gif与圆相切,所以圆心到直线的距离word/media/image121.gif,整理为word/media/image122.gif,即word/media/image123.gif,即word/media/image124.gif ,word/media/image125.gif,故选A.
11.
函数的零点满足word/media/image126.gif,
设word/media/image127.gif,则word/media/image128.gif,
当word/media/image129.gif时,word/media/image130.gif,当word/media/image131.gif时,word/media/image132.gif,函数word/media/image133.gif 单调递减,
当word/media/image134.gif时,word/media/image135.gif,函数word/media/image133.gif 单调递增,
当word/media/image130.gif时,函数取得最小值word/media/image136.gif,
设word/media/image137.gif ,当word/media/image130.gif时,函数取得最小值word/media/image68.gif ,
若word/media/image138.gif,函数word/media/image139.gif与函数word/media/image140.gif没有交点,
当word/media/image141.gif,word/media/image142.gif时,此时函数word/media/image139.gif与函数word/media/image140.gif有一个交点,
即word/media/image143.gif,解得word/media/image144.gif,故选C.
12.
如图,建立平面直角坐标系.
设word/media/image146.gif,
易得圆的半径word/media/image147.gif,即圆C的方程是word/media/image148.gif,
word/media/image149.gif,若满足word/media/image44.gif,
则word/media/image150.gif ,word/media/image151.gif,所以word/media/image152.gif,
设word/media/image153.gif,即word/media/image154.gif,点word/media/image155.gif在圆word/media/image148.gif上,
所以圆心word/media/image156.gif到直线word/media/image154.gif的距离word/media/image157.gif,即word/media/image158.gif,解得word/media/image159.gif,
所以word/media/image160.gif的最大值是3,即word/media/image45.gif的最大值是3,故选A.
填空题
13.
作出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示.
目标函数即word/media/image162.gif,易知直线word/media/image162.gif在word/media/image48.gif轴上的截距最大时,目标函数word/media/image50.gif取得最小值,数形结合可得目标函数word/media/image50.gif在点word/media/image163.gif处取得最小值,为word/media/image164.gif.
14.
由题意可得:word/media/image165.gif ,解得:word/media/image166.gif ,则word/media/image167.gif
15.
由题意:word/media/image168.gif ,函数word/media/image133.gif 在区间word/media/image169.gif 三段区间内均单调递增,且word/media/image170.gif ,
可知x的取值范围是:word/media/image70.gif .
16.
由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由word/media/image171.gif,即AC垂直底面,在底面内可以过点B,作word/media/image172.gif,交底面圆C于D,如图,连结DE,则word/media/image173.gif,所以word/media/image174.gif,连接AD,等腰△ABD中,word/media/image175.gif,当直线AB与a成60º时,∠ABD=60º,故word/media/image176.gif,又在Rt△BDE中,BE=2,word/media/image177.gif,过点B作BF//DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=word/media/image178.gif,所以△ABF为等边三角形,∠ABF=60º,即②正确,①错误,由最小角定理可知③正确,很明显,可以满足平面ABC⊥直线a,直线AB与a成的最大角为90º,④错误
简答题
17.
(1)由已知得 word/media/image180.gif ,所以word/media/image181.gif .
在 △ABC中,由余弦定理得 word/media/image182.gif ,即word/media/image183.gif .
解得:word/media/image184.gif (舍去),word/media/image71.gif .
(2)有题设可得word/media/image185.gif
故△ABD面积与△ACD面积的比值为word/media/image186.gif
又△ABC的面积为word/media/image187.gif
18.
(1)由题意知,word/media/image188.gif所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
word/media/image189.gif,word/media/image190.gif,word/media/image191.gif.
因此word/media/image188.gif的分布列为
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑word/media/image193.gif.
当word/media/image194.gif时,
若最高气温不低于25,则word/media/image195.gif;
若最高气温位于区间word/media/image196.gif,则word/media/image197.gif;
若最高气温低于20,则word/media/image198.gif;
因此word/media/image199.gif.
当word/media/image200.gif时,
若最高气温不低于20,则word/media/image195.gif;
若最高气温低于20,则word/media/image198.gif;
因此word/media/image201.gif.
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
19.
(1)由题设可得,word/media/image202.gif,从而word/media/image203.gif.
又word/media/image204.gif是直角三角形,所以word/media/image205.gif.
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于word/media/image53.gif是正三角形,故word/media/image206.gif.
所以word/media/image207.gif为二面角word/media/image208.gif的平面角.
在word/media/image209.gif中,word/media/image210.gif.
又word/media/image211.gif,所以word/media/image212.gif,
故word/media/image213.gif.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知,word/media/image214.gif两两垂直,以word/media/image215.gif为坐标原点,word/media/image216.gif的方向为word/media/image217.gif轴正方向,word/media/image218.gif为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系word/media/image219.gif.则word/media/image220.gif.
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的word/media/image222.gif,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的word/media/image222.gif,即E为DB的中点,得word/media/image223.gif.
故word/media/image224.gif.
设word/media/image225.gif是平面DAE的法向量,则word/media/image226.gif即word/media/image227.gif
可取word/media/image228.gif.
设word/media/image229.gif是平面AEC的法向量,则word/media/image230.gif同理可取word/media/image231.gif.
则word/media/image232.gif.
所以二面角D-AE-C的余弦值为word/media/image73.gif.
20.
(1)设word/media/image233.gif
由word/media/image234.gif可得word/media/image235.gif
又word/media/image236.gif=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为word/media/image237.gif
所以OA⊥OB,
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得word/media/image238.gif.
故圆心word/media/image239.gif的坐标为word/media/image240.gif,圆word/media/image239.gif的半径word/media/image241.gif.
由于圆word/media/image239.gif过点word/media/image242.gif,因此word/media/image243.gif,故word/media/image244.gif,
即word/media/image245.gif,
由(1)可得word/media/image246.gif.
所以word/media/image247.gif,解得word/media/image248.gif或word/media/image249.gif.
当word/media/image248.gif时,直线word/media/image250.gif的方程为word/media/image251.gif,圆心word/media/image239.gif的坐标为word/media/image252.gif,圆word/media/image239.gif的半径为word/media/image253.gif,圆word/media/image239.gif的方程为word/media/image254.gif.
当word/media/image249.gif时,直线word/media/image250.gif的方程为word/media/image255.gif,圆心word/media/image239.gif的坐标为word/media/image256.gif,圆word/media/image239.gif的半径为word/media/image257.gif,圆word/media/image239.gif 的方程为word/media/image258.gif.
21.
(1)word/media/image259.gif的定义域为word/media/image260.gif.
①若word/media/image261.gif,因为word/media/image262.gif,所以不满足题意;
②若word/media/image263.gif,由word/media/image264.gif知,当word/media/image265.gif时,word/media/image266.gif;当word/media/image267.gif时,word/media/image268.gif,所以word/media/image259.gif在word/media/image269.gif单调递减,在word/media/image270.gif单调递增,故x=a是word/media/image259.gif在word/media/image260.gif的唯一最小值点.
由于word/media/image271.gif,所以当且仅当a=1时,word/media/image272.gif.故a=1.
(2)由(1)知当word/media/image273.gif时,word/media/image274.gif.
令word/media/image275.gif得word/media/image276.gif.从而
word/media/image277.gif.
故word/media/image278.gif.
而word/media/image279.gif,所以word/media/image280.gif的最小值为word/media/image281.gif.
22.
(1)消去参数word/media/image282.gif得word/media/image283.gif的普通方程word/media/image284.gif;消去参数m得l2的普通方程word/media/image285.gif.
设word/media/image155.gif,由题设得word/media/image286.gif,消去k得word/media/image287.gif.
所以C的普通方程为word/media/image287.gif.
(2)C的极坐标方程为word/media/image288.gif.
联立word/media/image289.gif得word/media/image290.gif.
故word/media/image291.gif,从而word/media/image292.gif.
代入word/media/image293.gif得word/media/image294.gif,所以交点M的极径为word/media/image46.gif.
23.
(1)word/media/image295.gif
当word/media/image296.gif时,word/media/image297.gif无解;
当word/media/image298.gif时,由word/media/image297.gif得,word/media/image299.gif,解得word/media/image300.gif
当word/media/image301.gif时,由word/media/image297.gif解得word/media/image301.gif.
所以word/media/image297.gif的解集为word/media/image76.gif.
(2)由word/media/image302.gif得word/media/image303.gif,而
word/media/image304.gif
且当word/media/image305.gif时,word/media/image306.gif.
故m的取值范围为word/media/image77.gif
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/c7421690a66e58fafab069dc5022aaea988f4119.html
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