北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

数学九年级上册知识点总结

第一章 特殊的平行四边形复习

中考考点综述：

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：

1.矩形、菱形性质及判定的应用

2. 相关知识的综合应用

知识点归纳

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】　矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质1 矩形的四个角都是直角；

性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）

A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补

例3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，

求证：四边形EFGH是矩形．

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】　菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1 菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：四边形AFCE是菱形．

word/media/image6_1.png例3如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

word/media/image7_1.png例4已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例5如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,word/media/image9_1.png=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1)求线段word/media/image10_1.png的长．

例6如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例7如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）

②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；

• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

• 注意：1、正方形概念的三个要点：

• （1）是平行四边形；

• （2）有一个角是直角；

• （3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

例3如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

1.对角线互相垂直平分的四边形是（ ）

A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形

2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）

A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形

3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形

4.如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）

A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形

C．如果平分，那么四边形是菱形

D．如果且，那么四边形是菱形

5.如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（　　）

A． B． C． D．

6.如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（ ）

A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm

7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），

若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为

8.如图，在矩形中，对角线交于点，已知，则的长为 ．

9.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .

10.如图所示，菱形word/media/image62_1.png中，对角线word/media/image63_1.png相交于点word/media/image64_1.png，若再补充一个条件能使菱形word/media/image65_1.png成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．

11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．

12.如图，矩形word/media/image68_1.png中，word/media/image69_1.png是word/media/image70_1.png与word/media/image71_1.png的交点，过word/media/image72_1.png点的直线word/media/image73_1.png与word/media/image74_1.png的延长线分别交于word/media/image75_1.png．

（1）求证：word/media/image76_1.png；

（2）当word/media/image73_1.png与word/media/image78_1.png满足什么关系时，以word/media/image79_1.png为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

13.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．

(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．

(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．

(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)

应用探究：

1.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

2.如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．

3.已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ ）

A． B． C． D．

4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______

5.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.

6.如图，已知，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）．

7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是　　　　　　　　．

第二章 一元二次方程

一、一元二次方程

（一）一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

（二）一元二次方程的一般形式

，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

例 方程word/media/image125_1.png是一元二次方程，则word/media/image126_1.png.

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。当时，，；当b<0时，方程没有实数根。

例 第二象限内一点A（x—1，x2—2），关于x轴的对称点为B，且AB=6，则x=_________．

2、配方法 一般步骤：

（1） 方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.

（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。

（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

（4） 配方，化成

（5）开方，当时，；当b<0时，方程没有实数根。

例 若方程word/media/image131_1.png有解，则word/media/image132_1.png的取值范围是（　　　）．

A．word/media/image133_1.png　　　B．word/media/image134_1.png　　　C．word/media/image135_1.png　　 D．无法确定

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

例 已知x2＋4x－2=0，那么3x2＋12x＋2012的值为

4、因式分解法

一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。

例 已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（ ）．

A．y<8 B．35 c．2．无法确定

补充：一元二次方程根的判别式

根的判别式

1、定义：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式。

2、性质：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＝0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根。

例 若关于x 的方程x2 – 2 (a –1 )x = (b+2)2有两个相等的实根，则a2013+b5的值

为 .

例 若关于x的方程x2 – 2x(k-x)+6=0无实根，则k可取的最小整数为（ ）

（A） - 5 （B） - 4 （C） - 3（D）- 2

补充：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程的两个实数根是，那么，。

第三章 概率的进一步认识

一、知识概括 1、频率

（1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；

（2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：

（3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。

2、概率的求法：

（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

（2）表格法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（3）树状图法

通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）

例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（ ）

（A） “抛掷一枚普通骰子出现1点朝上”的机会

（B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会

（C） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会

（D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会

例 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每

个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指

针都落在奇数上的概率是（ ）

（A） （B） （C） （D）

例 如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左

或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点的概率是（ ）

（A） （B） （C） （D）

例 如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块

1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，

那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是（ ）

（A） （B） （C） （D）

例 在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字

的机会是均等的.当同时转动两个转盘，停止后指针所指

的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为5，

那么这三条线段不能构成三角形的概率是（ ）

（A） （B） （C） （D）

三、典型例题

例1. 袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取两次。求下列事件的概率。

（1）全红 （2）颜色全同 （3）无白

解：

word/media/image163_1.png

word/media/image164_1.png

word/media/image165_1.png

word/media/image166_1.png

说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球。

例2. 一个密码保险柜的密码由6个数字组成，每个数字都是由0～9这十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？

解：他前面的4个数字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现的可能结果都有10种情况，那么组成两个数字的可能结果就有100种，因此正好是密码上的最后两个数字的概率是。

例3. 袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入5个黑球后，小颖通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25％，30％，30％，10％，5％，试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？

解：小刚放入5个黑球后摸到的黑色球的频率为5％，则可以由此估计出袋中共有球word/media/image168_1.png100×25％＝25个，黄色球100×30％＝30个，蓝色球100×30％＝30个，白色球100×10％＝10个。

例4. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各1次

（1）若两次数字之差的绝对值为0，1或2，则甲胜，否则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？

（2）若两次数字和是2的倍数，则甲胜，而若和是3的倍数或5的倍数，则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？

word/media/image169_1.png

解：（1）用列表的方法可看出所有可能的结果：

word/media/image170_1.png

从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为0的有4种可能结果，1的有7种可能word/media/image171_1.png甲胜的可能性比乙大，所以不公平。

（2）通过列表可知：

word/media/image172_1.png

出现的两个数字之和是2的倍数有15种，出现的两个数字之和是3的倍数有10种，5

word/media/image173_1.png比乙小，所以不公平。

例5. 小明与同学一起想知道每6个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？

分析：可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”的设计。

解：用12个完全相同的小球分别编上号码1～12，代表12个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次实验，重复上述实验过程多次，统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得到的实验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率。

第四章 图形相似与相似三角形知识点解读

知识点1.．相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）

解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．

（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．

（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．

例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？

分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．

解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．

例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．

解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．

知识点2．比例线段

对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．

（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．

（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。

(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．

例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求．

分析：求即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．

例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的长度．

分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．

知识点3．相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．

（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．

例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？

分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．

知识点4．相似三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．

解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；

（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．

注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．

例6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？

word/media/image179_1.png

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别．

解：因为△ADE∽△ABC，所以，因为，

所以，所以D，E分别是AB，AC的中点．

知识点5．相似三角的判定方法

（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；

（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．

（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型：

1 平行线型

常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC

word/media/image183_1.png

2 相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC

word/media/image184_1.png

如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB

如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC

word/media/image185_1.png

3 旋转型

已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．

word/media/image186_1.png

4 母子型

已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．

word/media/image187_1.png

解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．

例7．如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举．

word/media/image188_1.png

分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．

解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC

条件一：∠1=∠B；条件二：∠2=∠ACB；条件三：，即AC2=AD·AB．

知识点6．相似三角形的性质

（1） 对应角相等，对应边的比相等；

（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；

（3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．

例8．如图，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7

（1） 求DE、AE的长；

（2） 你还能发现哪些线段成比例．

word/media/image190_1.png

分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即．

解：（1）∵△ADE∽△ABC， ∴

∵，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 设DE=x，则， ∴12x=8×15, x=10;

设AE=a,则, ∴a=14.　　(2)

例9．已知△ABC∽△A1B1C1，， =，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2．

求（1）△A1B1C1的周长；（2）△A1B1C1的面积．

分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解．

易求出△A1B1C1的周长为30cm; △A1B1C1的面积90cm2

五、视图与投影

1、视图

三视图包括：主视图、俯视图和左视图。

在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚线。

例 如图，一几何体的三视图如右：

那么这个几何体是 .

主视图 左视图 俯视图

例 如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）

word/media/image199_1.png

2、投影

（1）投影：物体在光线的照射下，在地面上或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象。

（2）平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

（3）中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

（4）区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。

（5）从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。①点在一个平面上的投影仍是一个点；

②线段在一个面上的投影可分为三种情况：

线段垂直于投影面时，投影为一点；

线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；

线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。

③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：

平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；

平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；

平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。

例 小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ）

A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定

例 小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在

阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，

使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得

ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长＝ .

3、视点、视线、盲区

眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。

例 当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，这是因为（ ）

A 汽车开的很快 B盲区减小 C盲区增大 D 无法确定

第六章 反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示为（k是常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。）

2、反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

例 在同一坐标系中，函数和的图像大致是 （ ）

A B C D

例 反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内。

例 反比例函数的对称轴有（ ）条

（A）0 （B）1 （C）2 （D） 无数

例 对于反比例函数()，下列说法不正确的是（ ）

（A）它的图象分布在第一、三象限 （B）点（，）在它的图象上

（C）它的图象是中心对称图形 （D）随的增大而增大

例 已知反比例函数（k＜0）的图象上有两点A（），B（），且，则的值是（　　）

（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）不能确定

4、反比例函数解析式的确定

确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

过反比例函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。

。

例 如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，

若S△AOB＝3，则的值为（ ）

A、6 B、3 C、 D、不能确定

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