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中考数学定值问题专题复习（含答案）

发布时间：2019-08-10 18:51:08 来源：文档文库

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中考数学定值问题专题复习

课前演练：

一、选择题

1．如图，直线l是一条河，A，B两地相距5 km，A，B两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是(　　)

2.如图，A，B两个电话机离电话线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为(　　)

A．11米 B．10米 C．9米 D．8米

（第2题图)　　（第3题图)

3．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是(　　)

A．6 B．8 C. D.

（第4题图) ,第5题图)　　,第6题图)

4．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为(　　)

A．2 B．2 C．2＋2 D．2＋2

二、填空题

5．如图，从直线外一点A到这条直线的所有线段中，线段____最短．

6．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是__ _ _．

7．如图，在等腰三角形△ABC中，∠ABC＝120°，P是底边AC上的一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM＋PN的最小值是2，则△ABC的周长是__ __．

,第7题图)　　,第8题图)

8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM＋PB的最小值是9，则AB的长是__ __．

9．如果P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点且PE⊥DB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则PE＋PF ＝__ __．

,第9题图)　　,第10题图)

10．如图，∠ABC＝45°，BC＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，M，N分别是BD和BC上的动点(M与B，D两点不重合，N与B，C两点不重合)，则CM＋MN的最小值是__ __．

典型例题：

例1．小虎家新建一间房子，要在屋外的A处安装水表，从大路边到A处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理．

例2．等边△ABC的边长是8，AD⊥BC，E是BD的中点，M，N分别是AB，AD上的动点，求MN＋EN的最小值．

例3．如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一定点，PO＝10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．(要求画出示意图，写出解题过程)

例4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝135°，点P，M，N分别为对角线BD及边BC，CD上的动点，求PM＋PN的最小值．

例5．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，求DQ＋PQ的最小值．

巩固练习：

一、填空题

1．在半⊙O中，点C是半圆弧AB的中点，D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB＝10，则PC＋PD的最小值是_ __.

（第1题图)　　（第2题图) （第3题图）

2．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE＋FH的最大值为__ _．

3．如图，在反比例函数y＝上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线y＝－x上有一动点P，当P点的坐标为__ _时，PA＋PB有最小值．

二、解答题

4．已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标．

5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB 上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为多少．

6．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值．

7．小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得AP＋BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B′，(b)连接AB′与直线m交于点P，则点P为所求．

请你参考小明的做法解决下列问题：

(1)如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BP＋PE的值最小，并求出最小值；

(2)如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD上的中点，若E，F为AB边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值．

8．如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形．

(1)求点P的坐标；

(2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小.

拓展提高：

1．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．

（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？

2．如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．

（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；

（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；

（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

分类练习

一、定值问题解

1、如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.

（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；

（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.

（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？

（第1题图）

2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

（2题图）（3题图）

二、由运动产生的线段和差问题（最值问题）

3、如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动

点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】

A. B. C. D.

4、如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．

（1）求l1的解析式；

（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

5、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

压轴题训练

1、如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2. 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

3. 如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．

（1）写出点A的坐标；

（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．

参考答案：

课前演练：

1. B；2. B；3.D；4. C；5. AD；6. 垂线段最短；7. 4＋2；8. 6；9.；10. 4；

2. 典型例题：

例1.解：如图所示：

沿AB线段接水管最近，因为直线外一点与直线的所有连接线段中，垂直线段最短

（例1答图）（例2答图）（例3答图）

例2. 解：作点E关于AD的对称点H，过点H作HG⊥AB于G，则MN＋EN的最小值是HG，Rt△HBG中，sin60°＝，解得，GH＝3 。

例3. 解：分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN＝＝10，即△PQR周长的最小值等于10。

例4. 解：过点M作关于BD的对称点M1, 连接M1N交BD于点P，连接PM, 则PM＋PN的最小值就是M1N，过点C作CH⊥AB于点H, 则M1N＞CH，∵∠A＝135°，∴∠HBC＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，由三角函数的定义有，sin45°＝，∴＝，解得，CH＝2，即PM＋PN的最小值为2 。

（例4答图）（例5答图）

例5.解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝

∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ＋PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2＋AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2

巩固练习：

1._5； 2. _；

3. (，－)_点拨：设A点关于直线y＝－x的对称点为A′，连接A′B，交直线y＝－x为P点，此时PA＋PB有最小值，∵A点关于直线y＝－x的对称点为A′，A(3，2)，∴A′(－2，－3)，设直线A′B的直线解析式为y＝kx＋b，解得k＝，b＝－2，∴直线A′B解析式为y＝x－2，联立解得x＝，y＝－，即P点坐标(，－)，故答案为(，－)。

4. 解：作出M关于y轴的对称点M′，连接NM′，与y轴相交于点P，则P点即为所求，设过NM′两点的直线解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则解得k＝－，b＝－，故此一次函数的解析式为y＝－x－，因为b＝－，所以P点坐标为(0，－)。

5. 解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′， ON′，OM，ON，∵N关于AB的对称点N′， ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N是弧MB的中点， ∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°，∴∠MON′＝60°， ∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4, ∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5

（5题答图）（6题答图）（7题答图）

6. 解：(1)把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，解得即抛物线的解析式是y＝－x2－2x＋3　

(2)如图，△PBC的周长＝PB＋PC＋BC，∵BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．A，B两点关于对称轴对称，连接AC，交对称轴于点P，点P即为所求，∵AP＝BP，△PBC的最小周长＝PB＋PC＋BC＝AC＋BC，∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC＝3，BC＝，∴△PBC的最小周长＝3＋。

7. 解：(1)如图2，作点E 关于AD的对称点F，交AC于点 F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中， AB＝2，点E是AB 的中点，AD是高，∴F是AC的中点，∴BF⊥AC于点F,∴BP＋PE的最小值＝BF＝＝　(2)如图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF＝1，连接CF，则E，F为所求，∵AB＝4，BC＝6, G为边AD上的中点，∴DG＝GA＝AM＝3，∵AE∥DH，∴△MAE∽△MDH，∴＝，∴＝，∴AE＝1，∴在Rt△GAE，Rt△CBF，Rt△CDG中，分别由勾股定理解得，GE＝＝＝，CF＝＝＝2，CG＝＝5, ∴四边形GEFC的周长的最小值＝GE＋EF＋FC＋CG＝＋1＋2＋5 ＝6＋3

8. 解：(1)∵y＝－x2＋4x＋5与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，5)又∵M(0，1)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±，∵点P在第一象限，∴P(2＋，3)　

(2)四边形PMEF的四条边中，PM，EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则PMEF的周长将取得最小值，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小，设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P(2＋，3)，M2(1，－1)代入得：，解得：，∴y＝x－，当y＝0时，解得x＝.∴F(，0)，∵F(a＋1，0)，∴a＝，∴a＝时，四边形PMEF周长最小

（8题答图）（拓展1答图）（拓展2答图）

拓展提高：

1. 解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，

∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，又PC⊥l，

∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，∴=，即PA2=PC•AB，∵PC=，AB=4，∴PA==，∴Rt△APB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB==；

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，

又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，

∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=4﹣x，

∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，

∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．

2. 解：（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，∴=，∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，

∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，∴=，即y=，∴y关于x的函数关系式为y=，当y=3时，=3，解得x=2.5，经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5；

（2）∵S1=GP•GD=••（3﹣x）=，S2=GD•CD=（3﹣x）1=，

∴S1﹣S2=﹣=即为常数；

（3）延长PD交AC于点Q．∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°，∴∠GDP=∠ADQ=45°．∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，∴3﹣x=，化简得：x2﹣5x+5=0．解得：x=，∵0≤x≤2.5，

∴x=，在Rt△DGP中，PD==（3﹣x）=．

一、定值问题解

1.【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC==4，∴OC=OP+PC=4+4=8。又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。

t的取值范围为：0＜t＜4。

（2）结论：△AEF的面积S不变化。∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。∴，即，解得CE=。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。

S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE－OA•OE= [4＋（8－t）]×8+（8－t）•－×4×（8＋）。化简得：S=32为定值。所以△AEF的面积S不变化，S=32。

（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。

∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8= t：4－t，化简得t2－12t＋16=0，解得：t1=6+2，t2=。

由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去。∴当t=秒时，四边形APQF是梯形。

2. 【答案】解：（1）证明：如图，连接AC。

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，

∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．

∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。

∴△CEF的面积的最大值是。

3.【答案】D。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。

【分析】∵把A，B分别代入反比例函数得：y1=2，y2= ，

∴A（，2），B（2，）。

∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，

∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA－PB=AB，

即此时线段AP与线段BP之差达到最大。

设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：。∴直线AB的解析式是。当y=0时，x=，即P（，0）。故选D。

4.【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点A．B的对应点分别为A1、B1，

依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（﹣1，0），C点坐标不变，

∴抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三点，

设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则

，解得。

∴抛物线l1的解析式为：y=x2﹣2x﹣3。

（2）抛物线l1的对称轴为：x=，

如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求。

此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。

设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，

则有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边），

∴|P′A﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大。

设直线B1C的解析式为y=kx+b，则，

解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3。令x=1，得y=﹣6。∴P（1，﹣6）。

5. 【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得。∴抛物线的函数关系式为。

设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得：

，解得。

∴直线AC的函数关系式为y=x+1。

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，

令x=0，得y=3，即N（0，3）。

∴N′（6，3）

由得：D（1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则：，解得。

∴故直线DN′的函数关系式为。

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。

②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。又∵BD=2，∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。∴，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若，解得，，∴E或E。

综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。

（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。

∴。

∴

。

∵，∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。

压轴题训练

1. 【答案】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：，其对称轴为：。

（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。设直线AC的解析式为y=kx＋b，

∵A（4，0），C（0，3），∴ ，解得。∴直线AC的解析式为：y=x＋3。

令x=1，得y= 。∴M点坐标为（1，）。

（3）结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。

由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，

则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。

在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。

∴P1（－2，0）。∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。∴四边形ABCP1为梯形。

②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有：，解得。∴直线CN的解析式为：y=x+3。

∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，

∴x+3=，化简得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。

∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。

∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。

2. 【答案】解：（1）证明：如图，连接AC

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，

∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠FAC。

∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。

∴△ABC和△ACD为等边三角形。

∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。

∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，

∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：

由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。

∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。

作AH⊥BC于H点，则BH=2，

。

由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF

。∴△CEF的面积的最大值是。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。

【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。

（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。