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2017-2018学年高中数学2-2-1向量的加法运算与几何意义教案

发布时间：2019-03-12 09:10:26 来源：文档文库

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【学习目标】

1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量.

2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.

3.通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用. 培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.

【重点难点】

教学重点:向量加法的运算及其几何意义.

教学难点:对向量加法法则定义的理解.

【学习过程】

一、提出问题1

（1）数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？

（2）猜想向量加法的法则是什么? 与数的运算法则有什么不同?

图1

探究活动:

向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图1. 某对象从A点经B点到C点，两次位移、的结果，与A点直接到C点的位移结果相同. 力也可以合成。word/media/image2_1.pngword/media/image3_1.pngword/media/image4_1.png

老师引导，让学生共同探究如下的问题:

图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；

图2(2)表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.

图2

改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?

力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力.

合力F与力F1、F2有怎样的关系呢? 由图2(3)发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.

数的加法启发我们，从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法.

探究结果:

（1）向量加法的定义: 如图3，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.word/media/image5_1.pngword/media/image3_1.pngword/media/image6_1.pngword/media/image5_1.pngword/media/image7_1.pngword/media/image6_1.png

图3

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

（2）向量加法的法则:

①向量加法的三角形法则：

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则. 运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.

位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.

②向量加法的平行四边形法则：

图4

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.word/media/image8_1.png

力的合成可以看作向量加法的物理模型.

提出问题2

（1）对于零向量与任一向量的加法，结果又是怎样的呢？

（2）两共线向量求和时，用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

（3）思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？

（4）数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算. 类似地，向量的加法是否也有运算律呢?

探究活动:

观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨、诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系. 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律? 引导学生画图进行探索.

探究结果:

（1）对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a.

（2）两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段.

（3）当a,b不共线时，|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);

当a,b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;

当a,b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|). 其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|.

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|.

（4）如图5，作=a,=b,以AB、AD为邻边作ABCD，则=b,=a.word/media/image2_1.pngword/media/image9_1.pngword/media/image3_1.pngword/media/image11_1.png

因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a.word/media/image4_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image13_1.pngword/media/image14_1.pngword/media/image15_1.pngword/media/image16_1.png

如图6，因为=+=(+)+=(a+b)+c,word/media/image9_1.pngword/media/image4_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image5_1.pngword/media/image18_1.pngword/media/image19_1.png

word/media/image9_1.png==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).word/media/image2_1.pngword/media/image20_1.pngword/media/image2_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image17_1.png

综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.

图5 图6

二、应用示例

思路1

【例1】如图7，已知向量a、b，求作向量a+b.

活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.

图7 图8 图9

解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作=a,=b,则=a+b.word/media/image22_1.pngword/media/image5_1.pngword/media/image23_1.png

作法二:在平面内任取一点O(如图9)，作=a,=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则=a+b.word/media/image24_1.pngword/media/image25_1.pngword/media/image26_1.png

变式训练

化简：(1)+;(2)++，(3)++++.word/media/image21_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image27_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image2_1.pngword/media/image28_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image29_1.png

活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接，再运用向量加法的结合律调整运算顺序，然后相加.

解:(1)+=+=.word/media/image21_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image14_1.png

(2)++=++=(+)+=+=0.word/media/image30_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image31_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image30_1.pngword/media/image32_1.pngword/media/image27_1.png

(3)++++FA=++++word/media/image5_1.pngword/media/image33_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image2_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image34_1.pngword/media/image35_1.png

=+++=++=+=0.word/media/image14_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image34_1.pngword/media/image36_1.pngword/media/image15_1.pngword/media/image34_1.pngword/media/image36_1.pngword/media/image37_1.pngword/media/image36_1.png

点评: 要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.

解:如图11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则表示船实际航行的速度.word/media/image9_1.pngword/media/image2_1.pngword/media/image4_1.png

(2)在Rt△ABC中,||=2,||=5,word/media/image2_1.pngword/media/image21_1.png

所以||=≈5.4.word/media/image14_1.pngword/media/image39_1.png

因为tan∠CAB=，由计算器得∠CAB=70°.word/media/image40_1.png

答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角为70°.

点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题，解决问题.

变式训练

用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

图12

活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.

证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

word/media/image41_1.png=+， =+.word/media/image42_1.pngword/media/image43_1.pngword/media/image16_1.pngword/media/image44_1.pngword/media/image26_1.png

AC与BD互相平分，=，=，=,word/media/image42_1.pngword/media/image26_1.pngword/media/image43_1.pngword/media/image44_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image16_1.png

因此∥且||=||，即四边形ABCD是平行四边形.word/media/image12_1.pngword/media/image17_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image45_1.png

点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或=即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.word/media/image12_1.pngword/media/image45_1.pngword/media/image46_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image16_1.pngword/media/image12_1.pngword/media/image16_1.png

思路2

【例1】如图13，O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:

(1)+； (2)+； (3)+.word/media/image24_1.pngword/media/image26_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image47_1.pngword/media/image24_1.pngword/media/image48_1.png

活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.

图13

解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线，

故+=.word/media/image49_1.pngword/media/image8_1.pngword/media/image23_1.png

(2)因=，故+与方向相同,长度为的长度的2倍，word/media/image21_1.pngword/media/image47_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image50_1.pngword/media/image21_1.pngword/media/image21_1.png

故+=.word/media/image21_1.pngword/media/image48_1.pngword/media/image51_1.png

(3)因=，故+=+=0.word/media/image52_1.pngword/media/image47_1.pngword/media/image53_1.pngword/media/image47_1.pngword/media/image53_1.pngword/media/image52_1.png

点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.

【例2】在长江的某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

活动:

变式训练

已知O是四边形ABCD内一点，若+++=0，则四边形ABCD是怎样的四边形? 点O是四边形的什么点?word/media/image53_1.pngword/media/image23_1.pngword/media/image8_1.pngword/media/image55_1.png

活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系，如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点，就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.

图15

解:如图15所示，设点O是任一四边形ABCD内的一点，且+++=0,过A作AEOD，连结ED，则四边形AEDO为平行四边形，word/media/image53_1.pngword/media/image23_1.pngword/media/image8_1.pngword/media/image55_1.png

设OE与AD的交点为M，过B作BFOC，则四边形BOCF为平行四边形，

设OF与BC的交点为N，于是M、N分别是AD、BC的中点.

∵+++=0，+=+=，+=+=word/media/image53_1.pngword/media/image23_1.pngword/media/image8_1.pngword/media/image55_1.pngword/media/image53_1.pngword/media/image55_1.pngword/media/image53_1.pngword/media/image57_1.pngword/media/image58_1.pngword/media/image23_1.pngword/media/image8_1.pngword/media/image59_1.pngword/media/image60_1.pngword/media/image61_1.png