最全初三数学上册课外辅导资料全册

第一讲： 二次函数的图像与性质

第二讲 实际问题与二次函数

第三讲 二次函数复习

第四讲 旋 转

第五讲 圆的基础知识

第六讲 圆的位置关系

第七讲 圆与其它图形的关系

第八讲 圆复习

第九讲 概率

第十讲 反比例函数

第十一讲 反比例函数与一次函数综合

第十二讲 相似

第十三讲 相似三角形的应用

第十四讲 锐角三角函数

第十五讲 锐角三角函数的应用

第十六讲 投影与视图

第十七讲 九年级上册期末模拟试题

第一讲 二次函数的图像与性质

一、二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

归纳:(1):h>0,k>0,图象向_____向______平移。

(2):h>0,k<0,图象向_____向______平移。

(3):h<0,k>0,图象向_____向______平移。

(4):h<0,k<0,图象向_____向______平移。

a不变时，平移后，图象形状、大小不变，开口方向不变，对称轴x=h,顶点为（h,k）。

口诀：上加下减，左加右减

二、二次函数y=ax2+bx+c化为顶点形式：

y=ax2+bx+c 二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线

它与y轴的交点为（0，c）

例1、对于函数，请回答下列问题：

（1）对于函数的图像可以由抛物线，经怎样平移得到的？

（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

例2：把下列函数化成顶点式。

例3：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列5个结论中:

①2a-b<0;②abc<0;

③a+b+c<0;④a-b+c<0;

⑤4a+2b+c>0,错误的有　(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

1.如图,关于抛物线y=(x-1)2-2,下列说法错误的是　(　　)

A.顶点坐标为(1,-2)

B.对称轴是直线x=1

C.开口方向向上

D.当x>1时,y随x的增大而减小

2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是　(　　)

A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3

3.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,所得图象的解析式为　(　　)

A.y=(x-1)2+3 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x+1)2-3

4.已知抛物线y=-2(x+1)2-3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是　　　　.

5.抛物线y=2(x+m)2+n(m,n是常数)的顶点坐标是　　　　.

6.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是　(　　)

A.-2 B.2 C.-1 D.1

7.抛物线y=+2的顶点位于下列哪个函数的图象上　(　　)

A.y=3x+2　　　 B.y=x C.y=3x　　 D.y=-x

8.若抛物线y=-3(x+k)2-k的顶点在直线y=3x-4上,则k值为　　　　.

9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为y=-2(x-h)2+k,则下列结论正确的是(　　)

A.h>0,k>0 B.h<0,k>0 C.h<0,k<0 D.h>0,k<0

10.抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为　(　　)

A.b=2,c=-6 B.b=2,c=0 C.b=-6,c=8 D.b=-6,c=2

11.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是　(　　)

A.(-2,3) B.(-1,4) C.(1,4) D.(4,3)

12.若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1,y1),B(2,y2),C(3+,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是(　　)

A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2

13.二次函数y=3x2-2x+1的图象开口向　　　　,顶点坐标是　　　　,对称轴是　　　　.

14.二次函教y=x2+2x-5有　(　　)

A.最大值-5 B.最小值-5 C.最大值-6　 D.最小值-6

15.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A,B,C为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是　(　　)

A.a+b=-1 B.a-b=-1

C.b<2a　 D.ac<0

16.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为　　　　.

17.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②4a-2b+c<0;③ac>0;④当y<0时,x<-1或x>2.其中正确的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

18.点A(2,y1),B(3,y2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点,则y1与y2的大小关系为y1　　　　y2(填“>”“<”或“=”)

19.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=　　　　　。

20.如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C. (1)求m的值.(2)求点B的坐标.

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.

（学习靠积累，经验要总结）

1.对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为　(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

2. 把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是　(　　)

A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2 C.y=x2+2 D.y=x2-2

3. 二次函数y=-2(x-5)2+3的顶点坐标是　　　　.

第二讲 实际问题也二次函数

1.已知b<0时,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析,a的值等于　(　　)

A.-2　　　　 B.-1　　　 　C.1　　　 　D.2

2.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x12<1,则y1与y2的大小关系是　(　　)

A.y1≤y2　　　 B.y12 C.y1≥y2　　　D.y1>y2

2题 3题

3 二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第　　　　　象限.

1.当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，．

2.当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，．

例1：某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件。经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似地看作一次函数y=kx+b的关系（如图26-3-1所示）。

（1）根据图象，求出一次函数y=kx+b的表达式；

（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元。

①试用销售单价x表示毛利润S；

②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润，最大利润是多少？此时的销售量是多少？

例2：有一长为7．2米的木料，做成如图26—3—8所示的”日”字形的窗框，窗的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积)?

1.-块三角形废料如26—3—9所示，∠A=300，∠C=900， AB=12，用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、AC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大。点E应选在何处?

2利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

3．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米。以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：

（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？

4．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点P位于AB的中央且距地面，建立如图所示的坐标系：

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

5．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米。 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系。

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－ DC－ CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

6．某服装商销售每件进价为40元的衬衫，市场调查显示，若每件以50元的价格销售，平均每天可销售500件，

价格每提高1元，则平均每天少销售10件。当每件衬衫提价x元时，可以获得利润y元。

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当每件衬衫提价多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

7、在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点

A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.

(1)求二次函数解析式；

(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，

求△POC的面积.

8.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.

　 　　　　　　　　　　　　　　　

　　(1)求抛物线的解析式；

　　(2)求△MCB的面积S△MCB.



　　

（学习靠积累，经验要总结）

1、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，

市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少?

第三讲 二次函数复习

1、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米。以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：

（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？

例1：已知函数y=mx∣m-2∣+x-2是二次函数，则m等于

例2：把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．

例3：知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。

例4：已知二次函数y＝－x2+2x+m的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程

－x2+2x+m＝0的解为 .

例5：将 y＝x2－2x＋3 化成 y＝a (x－h)2＋k 的形式，则 y＝＿＿＿＿。

1、在二次函数①y＝3x2；②中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )

A．①＞②＞③ B．①＞③＞②

C．②＞③＞① D．②＞①＞③

2、将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．

3、抛物线与x轴交点为A，与y轴交点为B，求A、B两点坐标及⊿AOB的面积.

4、二次函数的图象如图：已知，OA=OC，试求该抛物线的解析式为______．.

5、已知函数的图象关于y轴对称，则m＝________；

6、二次函数中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于 .

7、函数与的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

8、二次函数的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为，则b与c分别等于（ ）

A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14

9、二次函数的图象在轴上截得的线段长为（ ）

A、 B、 C、 D、

10、抛物线的图角如图，则下列结论：

①＞0；②；

③＞；④＜1.其中正确的结论是（     ）.

（A）①②   （B）②③   （C）②④   （D）③④

11、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）； （2）； （3）

12、函数与的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）

A、 B、

C、 D、

13、二次函数，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y随x值的变化情况.

14、已知二次函数y＝2x2＋4x－6．

(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；

(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；

(3)求图象与两坐标轴的交点坐标；

(4)画出函数图象；

(5)说明其图象与抛物线y＝x2的关系；

(6)当x取何值时，y随x增大而减小；

(7)当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；

(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?

(9)当y取何值时，－4＜x＜0；

(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．

15、把抛物线沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.

16、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

17、二次函数的最大值是，且它的图象经过，两点，求、、

18、试求抛物线与轴两个交点间的距离（）

19、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.

（1） 求二次函数的图象的解析式；

（2） 设次二次函数的顶点为P，求△ABP的面积.

20、以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.

（学习靠积累，经验要总结）

1、关于x的方程

（1）当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；

（2）求证：a取任何实数时，方程总有实数根.

2. 如图，开口向上的抛物线与轴交于A（，0）和B（，0）两点，和是方程的两个根（），而且抛物线交轴于点C，∠ACB不小于90°.

（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；

（2）求系数的取值范围；

（3）在的取值范围内，当取到最小值时，抛物线上有点P，使，求所有满足条件的点P的坐标.

第四讲 旋转

1．函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )

1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转性质

① 旋转后的图形与原图形全等

② 对应线段与O形成的角叫做旋转角

③ 各旋转角都相等

3、中心对称与中心对称图形

① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。

旋转简单作图:

例1、画△ABC绕点O顺时针旋转60度的图形.

例2、如图所示的方格纸中，将△ABC向右平移8格，再以O为旋转中心逆时针旋转900，画出旋转后的三角形.

例3、（1）如图,画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转900后的对应三角形;

⑵如果点D是AC的中点,那么经过上述旋转后,点D旋转到什么位置?请在图中将点D的对应点D′表示出来.

（3）.如果AD=1cm,那么点D旋转过的路径是多少?

求角度类型：

例4．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=36°，D是BC上一点，

△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，

⑴旋转中心是哪一点？

⑵旋转了多少度？

⑶如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？

求坐标类型：

例5.如图，把矩形放在直角坐标系中，在轴上，在轴上，且,，把矩形绕着原点顺时针旋转得到矩形，则点的坐标是（ ）

A、 B、 C、 D、

求线段类型:

例6.如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分几何图形的周长为( )

A. B. C. D.

求面积类型：

例7.如图，在中,,,.将绕点按顺时针方向旋转度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则的大小和图中阴影部分的面积分别为

A、 B、 C、 D、

一、作图

1、画出线段AB绕点O按逆时针旋转900后的图形.

2、如图,正方形ABCD绕点O旋转后,顶点A对应点A′,试确定B,C,D对就点的位置,以及旋转后的正方形.

3.我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心．

（1）如图①，△ABC≌△DEF，△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．图①

（2）如图②，△ABC≌△MNK，△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．

（保留必要的作图痕迹）

图① 图②

4.如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴上，点的坐标为，如果将矩形绕点旋转，旋转后的图形为矩形，那么点的坐标为 （ ）

A、 B、 C、 D、

5.如图所示，边长为的正三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）

A、 B、 C、 D、

6.如图，，。将绕点旋转后，得到,则此时点的对应点的坐标为（ ）

A、 B、 C、或 D、或

7.如图，已知正方形的边长为，为边上一点，．以点为中心，把顺时针旋转，得，连接，则的长等于．

8.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针旋转能与重合，若，则线段的长＝

9.如图，将绕点按逆时针方向旋转至，这时点在边上，已知，，则的长是

10.如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使，则等于

A、 B、 C、 D、

11.如图，将绕着点顺时针旋转后得到,若,,则的度数是（ ）

A、 B、 C、 D、

12.如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的面积是_______

13.将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影分的面积是________

（学习靠积累，经验要总结）

1．在线段，直角三角形，平行四边形，长方形，正五角星，正方形，等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（      ）

 A.3个          B.4个          C.5个      D.6个

2．下图是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的是（   ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

3.如图，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BPA旋转所得，则∠PBM＝_____________．

4. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是         

第五讲 圆的基础知识

1、如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。

知识点1：

圆的定义:（1）动态定义（从旋转的角度）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O ，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 . （2）静态定义（集合的观点）圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 的点的集合.

知识点2.:

圆的相关概念

（1）连接圆上任意两点的 叫做弦，经过圆心的弦叫做 .

如图2， 是⊙O的直径；在⊙O中，线段 是弦.

（2）圆弧是圆上 ，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 .大于 的弧叫做优弧，小于 的弧叫做劣弧.

（3）能够 的两个圆叫做等圆.“由半径相等的两个圆是等圆”.思考：面积相等的两个圆是等圆吗？周长相等的两个圆呢?

(4)在同圆或等圆中，能够互相 的弧叫做等弧.

知识点3：垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的 .

垂径定理的推论： 弦（ ）的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条孤.

知识点4：弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

推论：1.

推论：2.

知识点５：圆周角的定理：同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半。

推论：1.同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论：2.直径所对的圆周角是直角，圆周角是９０度所对的弦是＿＿＿＿＿

推论：3.圆内接四边形的内角和＿＿＿＿＿．

例1.下列命题正确的有 （ ）

①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弦是半圆，半圆是弦

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

例2.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC=10cm，则OD= （　　　）cm.

例3．如图，已知在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（ ）.

A.AD=BC B.AD∥BC C.AD∥BC 且AD=BC D.不能确定

例4．判断：平分弦的直径垂直于弦（ ）

例5．若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的

距离是 cm．

例6．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（ 　 ）．

A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm或1cm

例7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的︵AB），点O是这段弧的圆心，C是︵AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是 m.

例8.如右图，下列说法错误的是 （ ）

A.∠AOC和∠AOB是圆心角　　　B.∠AOC所对的弦是AC

C.∠AOB所对的弦是AC　　　　　D.∠BOC所对的弦是BC

例9.已知圆O的半径为5,弦AB的长为5,则弦AB所对的圆心角∠AOB= 　　

例10.在⊙O中，圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则⊙O的直径的长为( 　)　　　

A.4　　 B.8 　　C.24 　　 D.16

例11．如图，在⊙O中，若C是弧BD中点，则图中与∠BAC相等的角有（ 　　）

A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个

例12．如图,圆心角∠BOC=78°,则圆周角∠BAC 的度数是(　　　)

A.156° 　　B.78° 　 C.39° 　D.12°

　　　11题　　　　　　　　　　　12题　　　　　　　　　　　13题

例13.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（ 　　　　 ） A.40° 　　　B.50°　　　 C.60°　　　　D.70°

例14．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ 　 ）

A．6 B．5 C．3 D．

例15．如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ 　　 °.

14题　　　　　　　　　　　15题

例16. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.

1.如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝ ___º

2.如图，点A、B、C在圆O上，∠A=60°，则∠BOC=　 　 _____度．

3.如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为　　．

第1题 第2题 第3题

4.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（　　）

5.如图,△ABC的三个顶点在☉O上,连接OB,OC,若OB=BC,则∠BAC等于(　 　) A.60°　　　 B.45°　　 C.30°　 D.20°

5题 6题

6.如图,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为(　 　)

A. 135° B.122.5° C.115.5° D.112.5°

7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______________°.

8如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是( )

A．40° B．45° C．50° D．60°

9. 如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，求∠BDC的度数

10. 如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．

（1）求∠B的大小；

（2）已知AD=6求圆心O到BD的距离．

11．如图所示,线段AD过圆心O交☉O于D,C两点,∠EOD=78°,AE交☉O于B,且AB=OC,

求∠A的度数.

12．如图24-1-21所示,AB是☉O的弦(非直径),C,D是AB上的两点,并且AC=BD. 求证:OC=OD.

13.已知如图，A点是半圆上一个三等分点,B点是的中点,P是直径MN上一动点,☉O的半径为1,则AP+BP的最小值为多少?

14.已知:如图,△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.

求证:(1)∠DAC=∠DBA;

(2)P是线段AF的中点.

（学习靠积累，经验要总结）

1． 一条弧所对的圆周角为80°，它所对的圆心角是____度，它所含的圆周角是____度．

2． 如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD//AB，的度数为20°，则圆周角∠CPD的度数为_________．

3． 同弧所对的圆心角的度数是它所对圆周角度数的_____倍．

4． AB为⊙O的直径，C、D为半圆AB上两点，且弧AC、弧CD、弧DB的度数的

比为3∶2∶5，则∠AOC=_____°，∠COD=_____°，∠DOB=_____°．

6.一条弧所含的圆周角为80°，它所对的圆周角是___度，它所对的圆心角是___度．

6． 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于D，交AC于E，BD=CE．

求证：AB=AC

第六讲 圆的位置关系

如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，

∠DAB=______，∠EFA=______．

知识点1：点与圆的三种位置关系：点A在⊙O 外ｄ r ，

点B在⊙O上ｄ r点，C在 ⊙内ｄ r。

知识点2：三角形的外接圆

①不在同一直线上的 三 个点确定一个圆.

②经过三角形的三个顶点可以作 个圆，这个圆叫做三角形的 .

③三角形的外心是三角形外接圆的圆心，它是三条边 的交点，它到三个顶点的距离 .

锐角三角形的外心在三角形的 ，直角三角形的外心在三角形的 ，钝角三角形的外心在三角形的 .任意三角形的外接圆有 个，而一个圆的内接三角形有 个.

知识点3：直线和圆的位置关系：

直线与⊙O 相交ｄ r 直线在⊙O相切ｄ r

直线与⊙O相离ｄ r，

知识点4：切线的判定定理：经过 并且 的直线是圆的切线．

切线的性质定理： 。

证明切线的方法：

①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”．

②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．

知识点5: 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .如上图，P为⊙O外一点，PA、PB 是⊙O的切线，A、B为切点，于是由定理可得两个结论： = ，∠ =∠ .

知识点6:三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆。

例题1：若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点O为坐标原点，则点O的位置为（ 　 ）

A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定

例题2：已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为8πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

例题3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝75°，则∠BOC的度数为（ ）

A．105° B．125° C．127.5° D．100°

例4．如图，△ABC的周长为18，其内切圆分别切三边于D、E、F三点，CE＝3，BE＝4，则AF的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例5.如图2，点P是圆外一点，PA切⊙O 于点A，BC是⊙O的直径，PA＝PB，连接OP，AC．求证：（1）PB是⊙O的切线； （2）OP∥AC．

1.如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= _度．

1题 4题

2.直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是　 　．

3.在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径

为 cm

3． 如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，

则∠BPC＝　_________　°．

5.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是　 　．

5题 6题 7题

6.如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是　 　

7.如图所示的直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE=12°，、、三弧的度数相等，则∠ABC的度数为（　　）

8.如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

9.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．

（2）求证：PC是⊙O的切线．

10、如图3，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点,AD⊥CD于D，AC平分∠BAD，

求证：CD与⊙O相切。

11、如图4，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=30°,∠D=30°

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AC=6，求AD的长。

12、如图5，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC,AC=BO

（1）求证：AB是⊙O的切线;

（2）若∠ACD=45°，OC=2求弦CD的长。

13、如图6，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于C点，过点B的直线交OC

的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的结论。

（学习靠积累，经验要总结）

1、如图所示，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=30°，∠D＝30°．

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若AC＝6，求AD的长．

2、如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C点，求证：PC＝CD．

第7讲 圆与其它图形的关系

知识点１：正多边形和圆的关系：

1、正多边形的有关概念：

(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

　　(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

　　(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

　　(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

　　(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

　　(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

　　(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

　 （3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

　　(1)任何正多边形都有一个外接圆.

　　(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

知识点2：n°的圆心角所对的弧长l为 .

知识点3：n°的扇形的面积是 .

知识点4：圆锥的侧面积和全面积：

（1）圆锥到扇形各部分的转化：

圆锥的顶点扇形的 ．

圆锥的母线扇形的 ．

圆锥的侧面积扇形的 ．

圆锥的底面周长扇形的 ．

若设圆锥的母线长OA为l，底面半径为r，那么，圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 ．

例1.边长为a的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为（ ）．

A．1：2：３　　B．１：　：　　　C．：：２　　D．１：：

例2.一个扇形的圆心角为60°它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）

A．6cm B．12cm C．2cm D． cm

例3．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）

例4．已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．

（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

1.　一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则他们的面积比为（ ）．

A．1：2 　　　B．2：3 　　　C．3：4 　　　D．3：2

2.　已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积为（ ）．

A．π B．π C．2π D．3π

3.　如果一个正多边形的外角等于它内角的，则这个多边形是（ ）．

A．正三角形 　　B．正四边形 C．正五边形 　　 D．正六边形

4题　　　　　　5题

4.如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，AB＝3cm，则劣弧︵AB的长为 .

5.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为 （ ）

A.100πcm2 B.400/3πcm2 C.800πcm2 D.800/3πcm2

6.已知扇形的半径为3cm，扇形的弧长为πcm，则该扇形的面积是 cm，扇形的圆心角为 ．

7．已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm，则扇形的圆心角是 ， 扇形的弧长

是 cm． (结果保留π)

8．如图，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为 ．

9.一个圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥的底面半径为 （ ）

A.6 B.12 C.24 D.2

10.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 （ ）

A.40° B.80° C.120° D.150°

11.用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )

A．cm B．cm C．cm D．4cm

12.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）

A．120° B．180° C．240° D．300°

13.已知一个圆锥的母线长为10 cm，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是 cm.

综合提高题

1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．

2．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．

（学习靠积累，经验要总结）

一、选择题

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

2．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）

A．12m B．18m C．20m D．24m

3．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

4．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（ ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

5．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ）

A．228° B．144° C．72° D．36°

6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）

A．6 B． C．3 D．3

第8讲 圆复习

一、选择题：（每题2分，共16分）

1.如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，则的度数为（ ）

A． B． C． D．

2.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）

A． B． C． D．

3.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（　　）

A．正方形 B.长方形 C．菱形 D．以上答案都不对

4. 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径，⊙O2的半径，⊙O3的半径，则是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形

5．如图，若等边△A1B1C1内接于等边△ABC的内切圆，则的值为（ ）

A． B． C． D．

6．⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P点在Q点的下方，若P点的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（ ）

A．（0，3） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）

7．如图，⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，则O1A的长是（ ）

A．2 B．4 C． D．

8、如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则

∠ADB的度数是（ ）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

二、填空题：（每题3分，共33分）

9.如图，是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为 cm．

10. 如图，半圆的直径AB＝___ ．

11.已知相切两圆的半径分别为和，则这两圆的圆心距为___________．

12、⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF，BE的长是方程的两根，则△ABC的面积为 ；

13．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为

14．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

15．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交

AB于D，若AC=6，则AD的长为________．

16．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

17、现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，

小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪

去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为

10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的

圆心角为 °

18．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，则以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积是

19．同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为

三、解答题：（6题，共51分）

20、已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，

DB =10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心

O到AP的距离及EF 的长．（8分）

21、如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O的上一点，延长至点，

使．

（1）求证：；

（2）若，求证：．（8分）

22、 如图所示，是直角三角形，，以

为直径的⊙O 交于点，点是边的中点，连结．

（1）求证：与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为，，求．（8分）

23、如图，圆心角都是90º的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．

（1）求证：AC=BD；

（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm，求OC的长．（9分）

24、（9分）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．

（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）

与时间t（秒）之间的函数表达式；