高数上册知识点总结

三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶

例如： lim x2

x

lim x

1

x 0

x

x

0 x

sin x

1

1

x

4、两个重要极限： (1) lim

1

(2) lim 1

x x

e

e

lim 1

x 0

x

x

0

x

x

x0 , f (x)

0, g( x)

f ( x) g( x)

lim

f (x) g( x)

经验公式：当 x

， lim 1

ex x0

x

x 0

1

lim

3 x

x

e 3

例如： lim 1 3x x

ex 0

x 0

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：

y

| x | 连续但不可导。

6、导数的定义：

lim

f ( x

x)

f ( x)

f '( x)

lim

f ( x)

f ( x0 )

f '

x0

x

0

x

x

x0

x

x0

df g (x)

f ' g (x) g'(x)

7、复合函数求导：

dx

1

1

2

x

2

x

1

例如： y

x

x , y'

x2

2

x

x

4

x

x

8、隐函数求导：

(1)直接求导法；

(2)方程两边同时微分，再求出

dy/dx

x2

y2

1

例如： 解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x

2yy'

0

y'

x

y

法 ( 2),左右两边同时微分

,2xdx

2 ydy

dy

x

dx

y

9、由参数方程所确定的函数求导：若

y

g(t )

，则 dy

dy / dt

g '(t ) ，其二阶导数：

x

h(t )

dx

dx / dt

h'(t )

d2 y

d dy / dx

d (dy / dx)

d g' (t ) / h'(t )

dt

dt

dx2

dx

dx / dt

h' (t )

10、微分的近似计算：

f ( x0

x)

f (x0 )

x

f ' (x0 )

例如：计算

sin 31

11、函数间断点的类型：

(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：

y

sin x （ x=0

是

x

函数可去间断点） ， y

sgn(x) （ x=0 是函数的跳跃间断点）

(2)第二类：振荡间断点和无穷

间断点；例如：

f ( x)

sin

1

（ x=0 是函数的振荡间断点） ， y

1

（ x=0 是函数的无穷间

x

x

断点）

12、渐近线：

水平渐近线：

y lim

f ( x)

c

x

铅直渐近线： 若，lim f ( x)

，则 x a是铅直渐近线 .

x a

斜渐近线： 设斜渐近线为 y

ax

b,即求 a

lim f ( x) ,b

lim

f (x)

ax

x

x

x

x3

x2

x

1

例如：求函数 y

x2

1

的渐近线

13、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0

是驻点。

14、极值点： 令函数 y=f(x) ，给定 x0 的一个小邻域

u(x0, δ), 对于任意 x∈ u(x0, δ )，都有 f(x)

≥f(x0) ，称 x0

是 f(x) 的极小值点；否则，称

x0 是 f(x) 的极大值点。极小值点与极大值点统

称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数

y=f(x) ，若 f"(x0)=0 ，且 x0

；x>x0 时， f"(x)<0

或

x； x>x0 时， f"(x)>0

，称点 (x0 ，f(x0)) 为 f(x) 的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数

y=f(x) ，在点 x0

处可导，且

x0 是极值点，则 f'(x0)=0 。

18、改变单调性的点：

f ' ( x0 )

0

， f ' ( x0 ) 不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻

点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：

0

， f ' '( x0 ) 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于

f " ( x ) 0

零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数 f(x) 的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：

(1) 罗尔定理： f (x) 在 [a,b] 上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点

，使得 f '(

)

0

(2) 拉格朗日中值定理：

f ( x) 在 [a,b] 上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点

，使得

f (b) f (a)

(b a) f ' ( )

(3) 积 分 中 值 定 理 ： f (x) 在 区 间 [a,b]

上可积，至少存在一点

， 使 得

b

f ( x)dx (b

a) f (

)

tan x

sin x ~ 1 x3, x

sin x ~ 1 x3 , tan x

x ~ 1 x3

2

6

3

23、对数求导法：例如，

y

xx ， 解：ln y

xln x

1 y'

ln x 1

y'

xx

ln x

1

y

24、洛必达法则：适用于“ 0 ”型，“

”型，“0

”型等。当

0

x

x0 , f (x)

0 / , g (x)

0 / ， f '( x), g ' (x)

皆 存 在 ， 且 g'( x)

0 ， 则

l

f ( x)

l i

f ' ( x)

ex

sin x 1 0

ex

cosx

0

ex

sin x

1

i m

m

例如，lim

x2

lim

2x

lim

2

2

xx0 g (x)

xx0 g' ( x)

x 0

0 x 0

0 x 0

25、无穷大：高阶

+低阶 =高阶

例如，

lim

x 1 2

2 x 3

3

x2 2x 3

4

2x

5

lim

2x

5

x

x

(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：

1) 三角换元：

a 2

x2 ，可令

x

asin t ；

x2

a2 ，可令 x

a tant ；

x2

a2

，可令 x

a sect

2)当有理分式函数

中分母的阶较高时，常采用倒代换

x

1

t

27、分部积分法：

udv uv

vdu ，选取 u 的规则“反对幂指三” ，剩下的作

v。分部积

x

xdx

3

xdx

分出现循环形式的情况，例如：

e

cos ,

sec

28、有理函数的积分：

例如：

3x

2

3 dx

2(x

1)

3

xdx

2

1

2 dx

1

3 dx

x(x

1)

x( x 1)

x( x 1)

x 1

其中，前部分

1

2 dx 需要进行拆分，令

1

x

1 x

x 1

x

1

x( x

1)

x( x

1)

2

x( x

1)

2

x( x

1)

(x 1)

2

1

1

1

x

x 1

(x

1)2

29、定积分的定义：

f ( x)dx lim

f (

i

) xi

a

0

i 1

30、定积分的性质：

b

(1)当 a=b 时，

f (x)dx

0 ；

a

b

a

(2)当 a>b 时，

f (x)dx

f ( x)dx

a

b

a

(3)当 f(x) 是奇函数，

f ( x)dx

0, a

0

a

a

a

(4)当 f(x) 是偶函数，

f ( x)dx

2

f ( x)dx

a

0

b

c

b

(5)可加性：

f ( x)dx

f ( x)dx

f ( x)dx

a

a

c

x

x

31、变上限积分：

( x)

f (t)dt

'( x)

d

f (t) dt

f (x)

a

dx a

u ( x)

)

( )

'( )

推广： d

(

f t dt

f

u x

u

x

dx

a

b

32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）

：

f ( x)dx

F (b)

F ( a)

a

b

uv ba

b

33、定积分的分部积分法：

udv

vdu

例如：

xln xdx

a

a

b

34、反常积分：

(1) 无穷限的反常积分：

f ( x)dx

lim

f ( x) dx

a

b

a

b

b

(2) 无界函数的反常积分：

f ( x)dx

lim

f ( x)dx

a

t

a

t

35、平面图形的面积：

b

d

(1) Af2 ( x)

f1( x) dx

(2) A

2 ( y)

1 ( y) dy

a

c

36、旋转体的体积：

b

d

(1)绕 x 轴旋转， V

f ( x)

2

dx

(2)绕 y 轴旋转， V

2

( y) dy