种群增长模型

楚雄师范学院

2013年首届“雁峰杯”数学建模竞赛论文

题 目 种群增长规律模型

2013 年 5月26日

种群增长规律模型

摘要：某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称种群）生存时，人们常用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程。而且一个种群就不存在相互竞争、相互依存或是弱肉强食的关系。本文在Logistic模型基础上，根据种群数量的统计数据，建立种群指数增长模型，并利用Matlab这一数学软件对所统计的数据进行拟合，最后对模型进行分析和评价。

关键词：Logistic模型 生物种群 指数增长 Matlab软件

一、问题重述

在某个地区生长着一个种群（一类生物群落），主要依靠自然资源存活并繁殖，假设该种群单位时间的增长量与其数量成正比。一个动物学家在2012年对该种群进行了追踪研究，每月观察一次，并通过科学的方法获得了如下数据

请通过一定的简化假设建立该种群增长的数学模型，并预测2013年3月该种群的数量。假设该地区最多只能容纳该种群2000只，请计算出该种群达到最大容量的大概时间。

二、问题分析

种群的数量随时间变化而变化，根据统计数据绘出曲线图如图1。

图表 1种群数量的动态变化

由图表1所绘曲线图可知种群的数量变化趋势大致成指数曲线增长，类似于其他生物种群数量的动态变化趋势。对于生物种群的这种指数曲线的动态变化趋势，往往用Logistic模型来描述，并且根据种群的统计数据利用Matlab软件处理。利用所得的模型对以往种群的数量进行推算预测，可检验模型的精确度，以便对模型进行改进。

三、模型假设

1、假设环境环境条件允许生物种群数量有一个最大值，即环境容纳量N，当种群数量达到环境最大容纳量时，种群数量不再增长；

2、种群数量的增长简单利用固有增长率r来描述；

3、种群中每个个体处于同一水平，在种群增长的过程中隔天到差异如年龄结构等个不予考虑；

4、在所研究地区只考虑区域内部的种群数量，不考虑种群在区域间的迁入与迁出；

5、种群总数是随时间连续变化的。

四.符号说明

t :时间；

：种群在t时的数量；

r :种群的固有增长率；

N ：种群的最大数量；

五.模型的建立与求解

根据模型的假设，在最大容量为2000只，种群生长不受其他任何条件的限制，也就是说食物等能充分满足种群需求的情况下，种群就能充分发挥其增长能力，数量迅速增加，呈现指数增长规律，也称为“J”型增长，这种增长变化的曲线如图表2所示

图表 2种群数量散点图

种群在有限环境中的增长不是“J”型，而是“S”型，但因为在较大的空间容量，以及不考虑其它因素的情况下，种群在有限环境中的增长也可以看做是“J”型增长，即符合“S”型增长曲线的logistic模型是同等的。

对于logistic数学模型：

（1）

用分离变量法可以求解得：

（2）

为了能用最小二乘求拟合c和r的值，对（2）式进行变化得：

（3）

其中，假设

即（3）式变为 （4）

计算出t、、的关系列表，以便用最小二乘求拟合c和r的值：

根据以上数据点，利用最小二乘求拟合，首先求解E（r,c）的最小值：

E(r,c)=

使用matlab中的fmins命令求解最小化E（r,c）后的r和c的近似值。在matlab中定义E（r,c）为一个M文件。

function z=E(u)

r=u(1);

c=u(2);

z=(c.*exp(-r)-75.923).^2+(c.*exp(-2*r)-61.5).^2+(c.*exp(-3*r)-49).^2+(c.*exp(-4*r)-40.667).^2+(c.*exp(-5*r)-32.898).^2+(c.*exp(-6*r)-26.397).^2+(c.*exp(-7*r)-21.472).^2+(c.*exp(-8*r)-17.519).^2+(c.*exp(-9*r)-14.038).^2+(c.*exp(-10*r)-11.27).^2+(c.*exp(-11*r)-9.101).^2+(c.*exp(-12*r)-7.264).^2;

使用fmins命令和初始值r=1.0和c=1.0，可得

>> fmins('E',[1,1])

ans = 0.2108 93.6122

即拟合后的r=0.2108, 即拟合后的c=93.6122,故可以得到种群在t时刻的数量模型为： （5）

为了验证我们最终计算式的准确性，我们采用对比的方式分别把前12个月的时间t带入到最终计算式（5）中，得到与实际值的比较。

由表可以看出，12个月内的计算值和真实值之间的误差都在2%以内，说明我们做的这个模型是比较精确的计算值值得接受。

现在计算t=15，也就是2013年3月的时候该种群的数量，代入（5）式计算得402.9，即估计该种群到了2013年3月的时候种群的数量为403只。计算当的时候t的值，也就是该地区最多只能容纳该种群2000只的大概时间。代入（5）式计算得t=72，即到了2017年12月的时候，该地区达到最大容量。

为了更方便的研究该种群数量随时间变化的情况，我们计算得数量随时间t变化的统计表。

六、模型的结果分析和检验

现在我们对模型的正确性进行分析，由上述模型求解的12个月的计算值和真实值的比较，误差在2%以内，所以我们做的这个模型是比较精确的计算值值得接受。模型所求得的在2017年12月的时候，种群的数量几乎要达到环境所容许的最大数量N，也就是说到了2017年12月的时候种群的数量增长已经严重的受到了环境的影响。

该模型因为没有考虑种群的出生率和死亡率，所以种群的固有增长率在模型数量比较多的时候会有误差。从种群数量随时间t变化的统计表中可以看出，在2016年1月到2017年12月期间，种群数量增长缓慢。

七、模型评价与推广

一）模型评价

1.模型的优点：用Logistic模型来描述生物种群数量的动态变化曲线，是目前研究此类问题最常用的方法。本文在Logistic模型基础上，根据种群数量的统计数据，建立种群指数增长模型，运用了最小二乘拟合，并利用Matlab这一数学软件对所统计的数据进行求解，使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。分别对所涉及到的重要参数进行了全面的分析，为推算多年后种群的数量及何时种群数量何时能达到最大值提供了非常有价值的参考数据。

2.模型的缺点及改进：从上表可以看出从2016年10月到2017年12月种群的增长非常缓慢，即种群的增长可能受到一些因素的影响。即用该模型来描述生物种群数量的生长曲线，有着明显的缺陷。首先，它没有考虑到种群在不同环境条件下生长状况的差异，一般种群生长与环境的关系是很密切的，环境条件影响着种群的生长与发展，在本模型中，我们没有考虑种群的出生率、死亡率、种内斗争与种外竞争以及捕食与被捕食等因素。因而种群具体生长环境是各种因素相互作用的综合体，他们为种群的生长提供了必要的条件。因此，我们在描述种群增长规律时，必须要考虑环境条件。其次，该模型不能反映出环境条件变化对种群生长的影响。事实上，种群的生长环境是随时间在不断变化的，这是由自然因素和人为因素共同作用而至。这种环境的变化必然会对种群增长造成一定的影响。为了使该模型更贴近实际情况，我们应该考虑种群的出生率、死亡率、种内斗争与种外竞争以及捕食与被捕食等因素，使得模型更加完美、实用。

（二）模型推广

根据对模型的评价，我们可以知道此模型比较适合于种群受外界环境影响比较小的情况，当种群的生存空间足够大时此模型与现实情况就很吻合。当有了一定的生存空间限制时则就要考虑一些影响种群数量增长的因素。在满足这些条件时，此模型也可运用到其他生物种群的变化上。比如大规模的山地形野兔养殖，大规模的山地形野鸡养殖等。该模型能较好的给养殖者提供种群的数量随时间变化的相关数据，以便获得更大利润。

八、参考文献

[1]姜启源，数学建模（第三版），北京:高等教育出版社，2003年

[2]茆诗松，概率论与数理统计教程（第二版），北京:高等教育出版社,2011年

[3]何晓群，应用回归分析（第三版），北京：中国人民大学出版社，2011年

[4]易丹辉，数据分析与EViews应用，北京：中国人民大学出版社，2011年

[5]寿纪麟，数学建模--方法与范例，西安：西安交通大学出版社，1993年

[6]王向东，数学实验，北京：高等教育出版社，2010年

[7] 祁建勋，一个单种群增长模型，内蒙古大学学报(自然科学版)，第1-3期：1-15,1993年

[8] 刘明，Logistic模型预测的新思路，统计与决策，第10期：1-16,2012年

附录：

（一） eviews导入数据

（二） eviews运行结果

（三） matlab代码（1）

function z=E(u)

r=u(1);

c=u(2);

z=(c.*exp(-r)-75.923).^2+(c.*exp(-2*r)-61.5).^2+(c.*exp(-3*r)-49).^2+(c.*exp(-4*r)-40.667).^2+(c.*exp(-5*r)-32.898).^2+(c.*exp(-6*r)-26.397).^2+(c.*exp(-7*r)-21.472).^2+(c.*exp(-8*r)-17.519).^2+(c.*exp(-9*r)-14.038).^2+(c.*exp(-10*r)-11.27).^2+(c.*exp(-11*r)-9.101).^2+(c.*exp(-12*r)-7.264).^2;

>> fmins('E',[1,1])

ans = 0.2108 93.6122

（四） matlab代码（1）

>> t=1:1:75;

>> y=2000./(1+93.6122*exp(-0.2108*t))

y =

1.0e+003 *

Columns 1 through 6

0.0260 0.0320 0.0394 0.0484 0.0595 0.0729

Columns 7 through 12

0.0893 0.1091 0.1330 0.1617 0.1959 0.2364

Columns 13 through 18

0.2840 0.3393 0.4029 0.4750 0.5555 0.6439

Columns 19 through 24

0.7392 0.8398 0.9439 1.0492 1.1534 1.2543

Columns 25 through 30

1.3500 1.4389 1.5199 1.5926 1.6567 1.7126

Columns 31 through 36

1.7607 1.8017 1.8363 1.8653 1.8895 1.9095

Columns 37 through 42

1.9261 1.9397 1.9509 1.9600 1.9675 1.9736

Columns 43 through 48

1.9786 1.9826 1.9859 1.9886 1.9907 1.9925

Columns 49 through 54

1.9939 1.9951 1.9960 1.9968 1.9974 1.9979

Columns 55 through 60

1.9983 1.9986 1.9989 1.9991 1.9993 1.9994

Columns 61 through 66

1.9995 1.9996 1.9997 1.9997 1.9998 1.9998

Columns 67 through 72

1.9999 1.9999 1.9999 1.9999 1.9999 2.0000

Columns 73 through 75

2.0000 2.0000 2.0000

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c2dbb97727d3240c8447efc4.html