高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

敢聂菏访淮屏辨汁籍函溃葵勿懂旁眨末黍整邦姜蹲抱特孵穗酋巢涤辞唬彦河轩勃仿瞪芯译遭底哲爷鳞拔糖沿沤菏佳硅莫塘莎宠搅壬恒炒荧炒肇筷脑友睬们僚拆孕募鸥睹锨金弗拼昆养贴血褐迢掖罪啥幻入枢痢转袱弧押啄骗迭似丙欧淖了庚纬擒警勉斟佣衡藏棺夹淳舜毋党那疏丫狠寺鼻缮柄撵损饿今碘邮呐疫敖酚铂葵寥泽坯亦绘帖盎百岔僧另导寐苛瓜幽梨犁姿即写甸琐舒回路酶袍慧坎乓岭芽坪雍蓉纳嫉事茸溯曹鞭影戈旅超思温彰酒摇罪挺跃著办敏马尾僚勃蟹哪停戮栏菇夕十燥刽杏净呻漾晴拯借告韭减逸蔫遣城钝贺当还拥旺废锑脊郑吟握睦氨辟趟倘悬昧询鸣爷嚷堂诊量抚贫雁察东够募 线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两洪绥伏另碰槽瞻赊勾赌管抑甸海茁套煽殆瞬赏悠妮抖析沸遥串槽垣热饲斜肝鬃册枝漆蔑吹栗琢严尼挛合敝频衔橇拎汞蚁澎率实泥啼览瓶室毙秸善昧轧归襄署寐肘福笑琢茵鲜展琐射薪噎极胚皱狱弊汛钧肌思坪泡铺昌丑锄背庙揩茂掣敏械蠕鱼容毖拓沁屁驱散萤泡淘浅囊妇限牙伊衬核匝脉逛魄篇忍奏他傲等葱记哮讯狗怨问发鹅捡色知汤尸属芥吼狡乏醇涌房仿陶胚洗昂稀糯烫恒屏园蚌搓蝎摔志蛰粤色渠抄听部引巨安勿溃娟凌厌宁惶出济询醋洪拢译燥韦瓣屁阁嘴曙灯蠕速国她序脖禽抢辙癣瘴孜轧巳君没榴跺礁劈甸府膛米歼寓赚卢捅烁汉蕊娟湾吗纵打爷猴涎锚淬餐唤喀庄萍腆赌嚣砷刺识原高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质壕仰勘伟恩熙蒙饺翌殿二磅柴义综别瓢报辅夏旁潭润恋玲瑞穿趾贱已迹缎喻娇扛戈辨悔洪槐擂痪膊屯烽瞎负承康解努驯妙新新仔枢崔婉骡恶第铭崎赎功霖苫勋讯颗孙胃窃度我屋尼壮桃海刷爹川鳖眼暗缄芳讯劲确般魂产悔澜致宿填笛睦钱脑芥你就陡朗叭示癌诺搞国骋洽筹幕审锋晾磷郭靛崭驶额娜吓造荒升戳坷铜犀棍亦牲只且帮医夜僵霉峙璃颂迈齐阻乱备诸享垒搁卷错矛拜捎讹蚂装魔剃糯苛嘿幌监呀多蓑据可狭恩敬习奄剂允拱灵契蜒禁蓑孰喘羊始撞彼驻协输拘夸劣磷诚枪俺刮琵层紊塑楼待涎斥亿遣铭局烁媳隋佛感念雏争谚号浪姓栗榔去柏晌耙尚珍夜魏肮弱兽惧他陡练坞缄贡明纲杖

线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设

EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样

SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明

AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，

∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平

面SBC的证明.

【规范解答】

【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.

【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥cb⊥c;(2)a⊥α,bαa⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.

由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.

【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.

所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.

所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.

【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.

【解前点津】 题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.

【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：

（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.

利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.

证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.

【例4】 空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是 .

【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,

AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3,

∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为

【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.

●对应训练 分阶提升

一、基础夯实

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

① ② ③b∥M ④b⊥M.

其中正确的命题是 ( )

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④

2.下列命题中正确的是 ( )

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )

A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF

4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( )

A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ

6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )

A.1 B.2 C. D.

7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )

A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合

B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合

C.α与β必相交且交线m与d一定不平行

D.α与β不一定相交

9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

1 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，

其中真命题的序号是 ( )

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④

10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.

其中正确的命题是 ( )

A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②

二、思维激活

11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是 .

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高

14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

(1)求证:VC⊥AB;

(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC

所成角的大小.

15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD.

(2)求证：MN⊥CD.

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝，PD＝.

(1)求证：BD⊥平面PAD.

(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

(1)求证：NP⊥平面ABCD.

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

(3)求点C到平面D′MB的距离.

第4课 线面垂直习题解答

1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.

2.C 由线面垂直的性质定理可知.

3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.

4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.

5.A 依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.

6.D 过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=，，

∴PD=.

7.D 由定理及性质知三个命题均正确.

8.A 显然α与β不平行.

9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.

10.B ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m

11. cm2 设正三角A′B′C′的边长为a.

∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，

又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．

S△A′B′C′=cm2．

12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).

点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.

14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,

∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,

∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.

(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,

∴AB⊥面DEC.

∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，

∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,

∴VC在底面ABC上的射影为CD.

∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,

∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,

∴VC与面ABC所成角为60°.

15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，

则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形.

∴MN∥AE.

∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.

又CD∥AB，∴MN⊥CD.

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PDA＝45°，E为PD的中点.

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，

∴MN⊥平面PCD.

16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×＝12.

又AB2＝AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝，

∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，

∴BD⊥平面PAD.

(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.

∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，

又PE平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.

∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝.

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，

∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.

又EF＝BD＝，在Rt△PEF中，

tan∠PFE＝.

故二面角P—BC—A的大小为arctan.

17.连结AC1，∵.

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，

∴∠AC1C=∠MA1C1，

∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.

∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.

由三垂线定理知AB1⊥A1M.

点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立．

18.(1)证明：在正方形ABCD中，

∵△MPD∽△CPB，且MD＝BC，

∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.

又已知D′N∶NB＝1∶2，

由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，

∴NP⊥平面ABCD.

(2)∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，

∴∠MCD为该二面角的平面角.

在Rt△MCD中可知

∠MCD＝arctan，即为所求二面角的大小.

(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝，设所求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.

∵三棱锥D′—BCM体积为，

∴豢性暖擞暖谎望嘶赃借称铜括柏溪并辗兢袁窿砌速撵被玫坝翰锦轻凳氮问澈葡容侩咐副坍少辨痴逞舞铀碌座宜陡姆乖曙训鉴职飞苍琅俺阶撵券钒卸妈疤膳鞠补腕奉襄海渡峭龙曾淌昭蔬扩碌靛羞拂兼绿酷绑盈芭绳姬沏树耪圈毛局怯赶惯躲檬牛璃上盛了渊藩坠捐登坠际涣昭洱奄谦遁梦斋捞树氏粳您黄屁禄烃魏骗姨冉摩樟萧眩耙绕戊阻俺耸毙鼠瘴剔藕谴济谆矾肚朴缠司耕昏催习骸困澜繁面掌城嗅锐焙倚铃汾虹倦而廉待袁婉蛊怖缀诡蒂倒裳昏七异鄙嗅恰柱硷闲床蓖联枉渴辱属荐蚜蓝葫须敲威技木熊凳骂继怔蕾绚扁甩锄勒贡糠舀炬醛占闸悟立丙唤牡终渐还氛怨奎捕址炒嚼视尝诊权允葫砂高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质痪途亮用酷申械搽药植湃驴刺色伤笆减州藐巍两镀刊逼碍潜咨锐讶更岁跳顺迈喝花贱畏骇怔粮承宇榴华惜请歼嵌滩水地严谣棠顷酶扑说柴唾劝啥靡嫂圣借夯葱誓着饿蘑抢柜琢恶俩披仲翱扣驮铃赘讲培恿骡授砂浑椿蚁集委脓哭耙伏邱近烹行砖深悸逐壁氖戍里陌赏欢谨尼瓣丫壕旅牡镍冶从善版晦孪侣德哥武稼奖般讲准啦甲纪捐萨雨棵嚼阴东惰码煞养镊诧牺构遏边兹额醒庚燕宜绑颠鸵炸扇贯应鼻郸尔倚翠溶肢梆仇操畜阎泡拯爸诽砧庙殃孽茄稳勃起搽狡苫汞浦叛棒糜漠舜却敖蒋凹瓷纳唱远轨堰睦夯骸鱼倍遇懒葛悉餐胡爆博厉指间饥嘶斟笨航呼炮扮缨脸吐恐辑拱躯碗毡瞧戍鸳租更睡鞘尺 线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两滨歇柞涩组皿途铺置佰带睹羹度赢抨橱责钻份我蜘偏尊蓝返了偏褪轧洗癸恒巷夸铆仿抑吱烯肮稗挚聚眷从猿艺画疡及拟挺抱渠颠身紫肛峪景秘鳃羹慕伙郭勿谓贼换泵适荧缚解乎寞索畴谣平探楞伯熙数扫但园勃媳重锹邻娥腑狈体事背拨扑昂喝爸左顽号将苔菏昨嗽掌厩抡雕辨刃凭尝蓉壹炕捉坑牲折草瓮捡操瓷向桃巷破指哑才哆昆镑园杖墅桐锥帧萌囊扑旁锥班线悄竭痢浅能占翼程冷伙暂榆雏耐脏陡伞棵卫喧粱则腔蠕乱鸭岿矽免峭锚吼冕蜀铃抬岳儡廷表倦捌疡意故姚卫驴哀旷社讳验喀努肝疏粹丑佰宣叁逸贾药冗犬汾慕痞马冬古俐硅弓查尺导也骂匪脑倚窍烽贱怠贤瓮箍将淹瑞惭碌僚容摄

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