2018 - 2019版高中数学第一章解三角形1.1.3习题课 - 正弦定理和余弦定理的综合应用练习新人教A版必修5

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习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用

课后篇巩固探究

A组

1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为(　　)

A. B.- C. D.-

∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),

则cos C=.

A

2.(2017·江西南昌二中测试)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(a+c),即a2+c2-b2=-ac.由余弦定理,得cos B=-.

又B为△ABC的内角,∴B=150°.故选D.

D

3.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(+1)∶2,则最大角为(　　)

A.45° B.60° C.75° D.90°

依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以,解得tan A=1,所以A=45°,C=75°.

C

4.在△ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则△ABC是(　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

由a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,得sin2Asin 2B+sin2 Bsin 2A=2sin Asin B,即sin2A·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,

所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,故△ABC是直角三角形.

B

5.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理,得,∴sin C=sin A.∵A∈(0,π),∴0<sin A≤1,∴sin C∈.结合函数y=sin x的图象可得C∈.∵a>c,∴角C是锐角,∴C∈.故选D.

D

6.(2017·江苏南通中学)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.

由3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=a,c=a.由余弦定理,得cos C==-,故C=120°.

120°

7.(2017·山西运城中学月考)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,c=3b,则=　　　　　. 

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=+c2-2×c×c×c2,所以.

8.在△ABC中,a,b,c分别为三内角A,B,C所对的边,若B=2A,则的取值范围是　　　　　　. 

=cos A.因为A+B+C=π,所以0,故=cos A∈.

9.导学号04994007在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.

(1)求cos B的值;

(2)若=2,且b=2,求a和c的值.

(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆半径,

则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A≠0,因此cos B=.

(2)由=2,得accos B=2.由(1)知cos B=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.

B组

1.在△ABC中,若角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan B=5,bsin A=4,则a等于(　　)

A. B.

C.5 D.

由已知,得.

由正弦定理,得,所以cos B=,从而sin B=,tan B=,代入atan B=5可得a=.

D

2.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为(　　)

A. B.5

C. D.5

在△ADC中,由余弦定理,得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,则∠ADB=60°.在△ABD中,由正弦定理,得AB=.

C

3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=(b+c)cos C,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.锐角三角形

由已知及正弦定理,得sin A=(sin B+sin C)cos C,

即sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,

所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos C,

所以cos Bsin C=sin Ccos C.因为sin C≠0,所以cos B=cos C,故必有B=C,从而△ABC是等腰三角形.

A

4.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2C=1-,则角B等于(　　)

A. B. C. D.

由cos 2C=1-结合正弦定理,得1-2sin2C=1-,于是sin2B=,从而sin B=.因为△ABC是锐角三角形,所以B=.

A

5.(2017·云南昆明一中月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°,c=,则=　　　. 

由正弦定理,得,即a=2sin A,

则

=

==4.

4

6.(2017·天津一中模拟)在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若sin A=2cos2 ,bcos C=3ccos B,则=　　　. 

由sin A=2cos2 ,得2sin cos =2cos2 ,即tan,所以A=.由bcos C=3ccos B,得b·=3c·,整理,得a2=2b2-2c2.又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,所以2b2-2c2=b2+c2+bc,所以-3=0,解得(舍去),所以.

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a2-4bc=0.

(1)当a=2,m=时,求b,c的值;

(2)若角A为锐角,求m的取值范围.

由题意并结合正弦定理,得b+c=ma,a2-4bc=0.

(1)当a=2,m=时,b+c=,bc=1.

解得

(2)∵cos A==2m2-3∈(0,1),∴2<2.

由b+c=ma,得m>0,故.

8.导学号04994008设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsin A.

(1)求B的大小;

(2)求cos A+sin C的取值范围.

(1)∵a=2bsin A,根据正弦定理,得sin A=2sin Bsin A,∴sin B=.又△ABC为锐角三角形,∴B=.

(2)∵B=,∴cos A+sin C=cos A+sin=cos A+sin=cos A+cos A+sin A=sin.由△ABC为锐角三角形,得A+B>,∴,∴,∴<sin,∴sin,∴cos A+sin C的取值范围为.

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