4.1 有界线性算子

第4章 线性算子与线性泛函

4.1 有界线性算子

4.1.1 线性算子与线性泛函

算子概念起源于运算。例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平面上的向量绕坐标原点旋转一个角度等等。在泛函分析中，通常把映射称为算子，而取值于实数域或复数域的算子也称为泛函数，简称为泛函。本章着重考察赋范线性空间上的线性算子，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

定义4.1.1 设是实数域或复数域，是上的两个线性空间，是的线性子空间，是一个映射.

对，记经映射后的象为 或. 若对及数, 有

（或） (4.1.1)

则称是线性算子.

称是的定义域，记为;

称集（或）为的值域（或象域），记为.

取值为实数或复数的线性算子（即：,或）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。

注 今后所讨论的算子（泛函）都是线性算子（线性泛函）。

例4.1.1 设(上有界函数全体)，定义

,

则是到的线性算子。

例4.1.2 设，是上的二元连续函数，定义

,

则是到的线性算子。

例4.1.3 设，定义

,

则是上的线性泛函。

定义4.1.2 设是到的线性算子，它们的定义域分别是.

(1) 对任一数, 定义算子：它以为定义域，而对任何,

. (4.1.2)

(2) 定义算子:它以为定义域，而对任何,

. (4.1.3)

(3) 设是以为定义域的Y到Z的线性算子, 定义算子(也记作): 它以为定义域，而对任何,

. (4.1.4)

注 易知(称T1的倍), (称T1与T2的和), (称T3与T1的积)仍是线性算子。

定义4.1.3 设是以为定义域的到的线性算子. 若从()可推出, 即T是单射, 则T有逆映射

. (4.1.5)

是一个以为定义域的线性算子， 称为T的逆算子。

设T是到的线性算子. 如果对任何, 有

, (4.1.6)

则称T是的单位算子, 或恒等算子, 常用表示, 或简记为.

注 为T的逆算子当且仅当

(4.1.7)

4.1.2 线性算子的有界性和连续性

定理4.1.1 设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子。若在某一点连续，则在上处处连续。

证 (自证！)

注 要验证线性算子是连续的，只要验证在点连续就可以了。

定义4.1.4 若算子将其定义域中的每个有界集都映射成一个有界集，则称是有界算子。不是有界的算子就称为无界算子。

注 通常我们说一个线性算子是到的算子是指.

定理4.1.2 设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子，则是有界算子的充要条件是：存在常数，使得对一切，有

. (4.1.8)

证 “”设是有界线性算子，则把单位球面

映射成中的一个有界集。

因此存在常数，对一切，都有.

当时，(4.1.8)自然成立。

当时，作，则由得：

即 .

因而(4.1.8)对一切都成立。

“” 若(4.1.8)成立。

设是一个有界集，则存在常数，使得当时，.

因此，由(4.1.8)得：对一切，有，即是有界集。证毕！

注 如无特殊说明，有界线性算子的定义域总假定是全空间，即. 因此，对赋范线性空间上的线性算子，以后可以用(4.1.8)作为有界性的定义。

定义4.1.5 设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子，称

(4.1.9)

为算子T的范数。

注 由定理4.1.6立得：有界线性算子的范数是有限的。

命题4.1.1 对有界线性算子，有

(1); (4.1.10)

(2). (4.1.11)

证 (1) 因为是有界线性算子，所以由定理4.1.1得：存在常数，使得对一切，有, 于是.

再考虑到，得，即.

(2) 一方面，显然.

另一方面，对，因为，所以，故

，即：.

于是

.

证毕！

注 当（单位算子）时，.

称为在方向的伸张系数，的几何意义是一切方向伸张系数的上确界。

一般说来，求出具体算子的范数的值并不容易。

例4.1.4 设赋范线性空间上的范数分别记为

,

定义到的算子：对，

, (4.1.12)

则.

证 ，使. 因为

即.

另一方面，取，则又有

即. 综上所述，有.

定理4.1.3 设是赋范线性空间，是线性算子，则是有界的充要条件是是连续的。

证 (自证！)

4.1.3 有界线性算子

定义4.1.6 设和是两个线性空间，表示由到的线性算子的全体,即

.

当，是数时，对，规定

, (4.1.13)

并称为算子与的和；为数与算子的积.按上述线性运算构成一个线性空间。

定理4.1.4 设和是两个赋范线性空间，表示由到的有界线性算子的全体, 即

.

若，则

，

且按线性运算(4.1.13)构成一个线性空间。

若以(4.1.9)定义的算子范数作为范数

, (4.1.14)

则是一个赋范线性空间。

定义4.1.7 设是赋范线性空间，上的连续线性范函全体记做, 即

，

它按通常的线性运算：当，是数时，对，规定

; (4.1.15)

及泛函的范数

, (4.1.16)

成为一个赋范线性空间，称为的共轭空间。

注 由定理4.1.4知：若，则一定有界；

于是, 其中或.

4.1.4 算子序列的收敛性

在经典分析中，一列函数的收敛性常常用到的是处处收敛和一致收敛的概念。由于所考察的问题的需要，不同场合采用不同的收敛概念。对于算子序列类似于函数列的一致收敛和处处收敛，也常常用到下面几种形式的收敛性。

定义4.1.8 设和都是赋范线性空间，若，且

, (4.1.17)

则称序列按算子范数收敛于，或一致收敛于.

若对每个，都有

(4.1.18)

则称序列强收敛于，记作

或 或 .

若对每个以及，都有

(4.1.19)

则称序列弱收敛于，记作

或 或 .

注 若序列一致收敛于，则必强收敛于；

若序列强收敛于，则必弱收敛于；

下面的例子说明：它们的逆命题一般不正确。

例4.1.5（强收敛而不一致收敛的算子序列） 在中，作“左移”算子如下：当时，

.

则是到上的有界线性算子。

In fact,是到上的线性算子是显然的。

因为

,

所以是到上的有界算子.

而算子序列强收敛于零算子; 但不一致收敛于零算子.

In fact, 对，. 而

，

因为，所以，即序列强收敛于零算子.

但是，序列在并不一致收敛于零算子.

In fact, 令（除第个坐标为1外，其余坐标均为0），显然. 因为

,

所以序列在并不一致收敛于零算子.

注 .

取（除第2个坐标为1外，其余坐标均为0），则, 且

, 于是.

例4.1.6（弱收敛而不强收敛的算子序列） 在中，作算子序列如下：当时，

,

其中（除第个坐标为1外，其余坐标均为0）。

显然，是有界线性算子，且

.

故当时，序列不是强收敛的。

然而，对上任意连续线性泛函（必属于(见4.2)），即,且对，有

.

因为，所以，于是

.

这说明弱收敛于零。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/c220548b84868762caaed558.html