《勾股定理的逆定理》教学设计
预习目标
1.会阐述直角三角形的判定条件(勾股定理的逆定理).
2.会运用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.
3.经历探索一个三角形是直角三角形的判定条件的过程,发展合情推理能力,体会“形”与“数”的内在联系.
教材导读
阅读教材P83~P84内容,回答下列问题:
1.勾股定理的逆定理
(1)操作:①以6 cm、8 cm、10 cm为三边的长画一个三角形,再以6 cm、8 cm为两直角边的长画一个直角三角形;②把你所画的边长为6 cm、8 cm、10 cm的三角形和直角边长为6 cm、8 cm的直角三角形分别剪下来;③将所剪下来的两个三角形叠合在一起.
(2)观察、猜想:叠合后的两个三角形存在_______关系.
(3)归纳总结:如果三角形的三边长分别为a、b、c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是_______三角形.
2.勾股数
(1)满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c、称为勾股数.
(2)常见的勾股数:①3,4,5;②5,1 2,_______ ;③6,_______,10;④7,24_______;⑤8_______,17;⑥9,40,41.
3.勾股数的倍数仍是勾股数
已知a、b、c是一组勾股数,且满足a2+b2=c2,如果将这三个数分别扩大n倍,所得的3个数为na、nb、nc,那么(na)2+(nb)2=_______=n2(_______)=,(nc)2=_______,因此可得(na)2+(nb)2=(nc)2,即na、nb、nc还是一组勾股数.
例题精讲
例1 判断由下列线段a、b、c组成的三角形是否是直角三角形.
(1)a=,b=1,c=. (2)a=40,b=50,c=60. (3)a=35,b=12,c=37.
提示:(1)三个数同时乘4,得a=5,b=4,c=3,显然是勾股数.(2)三个数同时除以10,得a=4,b=5,c=6,显然a2+b2≠c2,不是勾股数.(3) c2-a2=372-352=(37-1-35)×(37-35)=72×2=144=b2,是勾股数,
解答:(1)是直角三角形. (2)不是直角三角形. (3)是直角三角形.
点评:本题的实质是判断三个数是不是勾股数,选取两条较短的边计算其平方和,再与最长的边的平方比较,若相等,则由这三条线段组成的三角形是直角三角形,否则就不是直角三角形,若能理解“教材导读”3中的技巧,则可以加快解题的速度.
例2 (1)已知△ABC的三边长a、b、c满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.
提示:利用因式分解、平方差公式和完全平方公式解题.
点评:解本题的关键是灵活运用乘法公式,根据三角形三边关系判断三角形的形状.在(1)的解答中,要注意不能两边同时除以a2-b2,否则会丢失a2-b2=0的情况,使答案不全面.
例3 如图,在四边形ABCD中,AB=3 cm,AD=4 cm,BC=
13 cm,CD=12 cm,∠A=90°,求四边形ABCD的面积.
提示:把不规则四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积和.
点评:计算不规则图形的面积时,通常把不规则图形分割成几个规则的图形,如直角三角形,在解题过程中,发现某个三角形的三边长为常见的勾股数时,要能迅速地判断出这是一个直角三角形.
热身练习
1.已知下列4个三角形的边长:①a=5,b=12,c=13;②a=2,b=3,c=4;③a=2.5,b=6,c=6.5;④a=21,b=20,c=29.其中.直角三角形的个数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若△ABC的三边长a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
3.如图,每个小正方形的边长都为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 ( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
4.写出三个连续的自然数,使它们恰好组成一组勾股数,这三个数分别是 ( )
5.测得一个三角形花坛的三边长分别为6m、8m、10 m,则这个花坛的面积是_______、_______、_______.
6.判断下列各组数是否是勾股数.
(1)12,16,18. (2)7,24,25. (3)10,24926. (4)12,35,38. (5)4,5,7.
7.如图,在△ABC中,AB=17,BC=30,BC边上的中线AD=8,∠B与∠C相等吗?为什么?
8.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,AD=9,BD=1,CD=3,△ABC是直角三角形吗?为什么?
9.如图是一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,AD上DC,AB=13 m,BC=12 m,求这块地的面积.
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.3 4 5 5.24 m2 6. (1)不是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)不是 7.∠B与∠C相等 8.是 9.24m2
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