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2016年高考上海理科数学试题及答案（word解析版）

发布时间：2018-01-23 02:42:35 来源：文档文库

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2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分．

（1）【2016年上海，理1，4分】设word/media/image1.gif，则不等式word/media/image2.gif的解集为．

【答案】word/media/image3.gif

【解析】由题意得：word/media/image4.gif，解得word/media/image5.gif．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．

（2）【2016年上海，理2，4分】设word/media/image6.gif，期中word/media/image7.gif为虚数单位，则word/media/image8.gif ．

【答案】word/media/image9.gif

【解析】word/media/image10.gif．

【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．

（3）【2016年上海，理3，4分】已知平行直线word/media/image11.gif，则word/media/image12.gif的距离．

【答案】word/media/image13.gif

【解析】利用两平行线间距离公式得word/media/image14.gif．

【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．

（4）【2016年上海，理4，4分】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为word/media/image15.gif，word/media/image16.gif，word/media/image17.gif，word/media/image18.gif，word/media/image19.gif，

word/media/image20.gif则这组数据的中位数是（米）．

【答案】word/media/image21.gif

【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：word/media/image19.gif，word/media/image15.gif，word/media/image17.gif，word/media/image20.gif，word/media/image16.gif，word/media/image18.gif，这六个数的中位数

是word/media/image17.gif与word/media/image20.gif的平均数，显然为word/media/image21.gif．

【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．

（5）【2016年上海，理5，4分】已知点word/media/image22.gif在函数word/media/image23.gif的图像上，则word/media/image24.gif的反函数word/media/image25.gif ．

【答案】word/media/image26.gif

【解析】将点word/media/image22.gif带入函数word/media/image27.gif的解析式得word/media/image28.gif，所以word/media/image29.gif，用word/media/image30.gif表示word/media/image31.gif得word/media/image32.gif，所以word/media/image33.gif．

【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（6）【2016年上海，理6，4分】如图，在正四棱柱word/media/image35.gif中，底面word/media/image36.gif的边长为3，word/media/image37.gif与底面所成角的大小为word/media/image38.gif，则该正四棱柱的高等于．

【答案】word/media/image39.gif

【解析】由题意得word/media/image40.gif．

【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．

（7）【2016年上海，理7，4分】方程word/media/image41.gif在区间word/media/image42.gif上的解为．

【答案】word/media/image43.gif

【解析】化简word/media/image44.gif得：word/media/image45.gif，所以word/media/image46.gif，解得word/media/image47.gif或word/media/image48.gif（舍

去），所以在区间word/media/image42.gif上的解为word/media/image43.gif．

【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．

（8）【2016年上海，理8，4分】在word/media/image49.gif的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于．

【答案】112

【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为word/media/image50.gif，由题意得word/media/image51.gif，所以word/media/image52.gif，二项式的通项为word/media/image53.gif，求常数项则令word/media/image54.gif，所以word/media/image55.gif，所以word/media/image56.gif．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

（9）【2016年上海，理9，4分】已知word/media/image57.gif的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．

【答案】word/media/image58.gif

【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为word/media/image59.gif，所以此角的正弦值为word/media/image60.gif，由正弦定理得word/media/image61.gif，所以word/media/image62.gif．

【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．

（10）【2016年上海，理10，4分】设word/media/image63.gif，若关于word/media/image64.gif的方程组word/media/image65.gif无解，则word/media/image66.gif的取值范围是．

【答案】word/media/image67.gif

【解析】解法1：将方程组中的（1）式化简得word/media/image68.gif，代入（2）式整理得word/media/image69.gif，方程组无解应该

满足word/media/image70.gif且word/media/image71.gif，所以word/media/image72.gif且word/media/image73.gif，所以由基本不等式得word/media/image74.gif．

解法2：∵关于word/media/image31.gif，word/media/image30.gif的方程word/media/image75.gif组无解，∴直线word/media/image76.gif与word/media/image77.gif平行，∵word/media/image78.gif，word/media/image79.gif，

∴word/media/image80.gif，即word/media/image81.gif，word/media/image82.gif，且word/media/image83.gif，则word/media/image84.gif，则word/media/image85.gif，则设word/media/image86.gif，

则函数的导数word/media/image87.gif，当word/media/image88.gif时，word/media/image89.gif，此时函数为减函数，此时

word/media/image90.gif，当word/media/image91.gif时，word/media/image92.gif，此时函数为增函数，word/media/image90.gif，综上word/media/image93.gif，

即word/media/image94.gif的取值范围是word/media/image67.gif．

【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．

（11）【2016年上海，理11，4分】无穷数列word/media/image95.gif由word/media/image96.gif个不同的数组成，word/media/image97.gif为word/media/image95.gif的前word/media/image98.gif项和．若对任意word/media/image99.gif，word/media/image100.gif，则word/media/image96.gif的最大值为．

【答案】4

【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为word/media/image101.gif，所以最多由4个不同的数组成．

解法2：对任意word/media/image102.gif，word/media/image103.gif，可得当word/media/image104.gif时，word/media/image105.gif或word/media/image106.gif；若word/media/image107.gif，由word/media/image108.gif，可得数

列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，word/media/image109.gif；若word/media/image110.gif，由word/media/image111.gif，可得数列的前三项为2，0，

0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，word/media/image109.gif；或3，0，0；或3，0，word/media/image109.gif；或3，1，0；或3，1，word/media/image109.gif；

若word/media/image112.gif，由word/media/image113.gif，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，

1，word/media/image109.gif；或2，1，0，0；或2，1，0，word/media/image109.gif；或2，1，word/media/image109.gif，0；或2，1，word/media/image109.gif，1；或3，0，0，0；或3，

0，0，word/media/image109.gif；或3，0，word/media/image109.gif，0；或3，0，word/media/image109.gif，1；或3，word/media/image109.gif，0，0；或3，word/media/image109.gif，0，1；或3，word/media/image109.gif，1，

0；或3，word/media/image109.gif，1，word/media/image109.gif；…即有word/media/image114.gif后一项都为0或1或word/media/image109.gif，则word/media/image96.gif的最大个数为4，不同的四个数均为

2，0，1，word/media/image109.gif，或3，0，1，word/media/image109.gif．故答案为：4．

【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．

（12）【2016年上海，理12，4分】在平面直角坐标系中，已知word/media/image115.gif，word/media/image116.gif，word/media/image117.gif是曲线word/media/image118.gif上一个动点，则word/media/image119.gif的取值范围是．

【答案】word/media/image120.gif

【解析】由题意得知word/media/image118.gif表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设word/media/image121.gif，word/media/image122.gif，word/media/image123.gif，

word/media/image124.gif，所以word/media/image125.gif．

【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．

（13）【2016年上海，理13，4分】设word/media/image126.gif，若对任意实数word/media/image31.gif都有word/media/image127.gif，则满足条件的有序实数组word/media/image129.gif的组数为．

【答案】4

【解析】解法1：word/media/image130.gif，当word/media/image131.gif确定时，word/media/image132.gif唯一，故有4种组合．

解法2：∵对于任意实数word/media/image31.gif都有word/media/image127.gif，∴必有word/media/image133.gif，若word/media/image28.gif，则方程等价为

word/media/image134.gif，则函数的周期相同，若word/media/image135.gif，此时word/media/image136.gif，若word/media/image137.gif，则word/media/image138.gif，若word/media/image139.gif，

则方程等价为word/media/image140.gif，若word/media/image137.gif，则word/media/image141.gif，若word/media/image135.gif，则word/media/image142.gif，

综上满足条件的有序实数组word/media/image143.gif为word/media/image144.gif，word/media/image145.gif，word/media/image146.gif，word/media/image147.gif，共有4组．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．

（14）【2016年上海，理14，4分】如图，在平面直角坐标系word/media/image149.gif中，word/media/image150.gif为正八边形word/media/image151.gif的中心，word/media/image152.gif．任取不同的两点word/media/image153.gif，点P满足word/media/image154.gif，则点word/media/image117.gif落在第一象限的概率是．

【答案】word/media/image155.gif

【解析】共有word/media/image156.gif种基本事件，其中使点word/media/image117.gif落在第一象限共有word/media/image157.gif种基本事件，故概

率为word/media/image155.gif．

【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．

（15）【2016年上海，理15，5分】设word/media/image158.gif，则“word/media/image159.gif”是“word/media/image160.gif”的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】word/media/image161.gif，所以是充分非必要条件，故选A．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．

（16）【2016年上海，理16，5分】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）

（A）word/media/image163.gif （B）word/media/image164.gif （C）word/media/image165.gif （D）word/media/image166.gif

【答案】D

【解析】依次取word/media/image167.gif，结合图形可知只有word/media/image166.gif满足，故选D．

【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

（17）【2016年上海，理17，5分】已知无穷等比数列word/media/image95.gif的公比为word/media/image168.gif，前word/media/image98.gif项和为word/media/image97.gif，且word/media/image169.gif．下列条件中，使得word/media/image170.gif恒成立的是（）

（A）word/media/image171.gif（B）word/media/image172.gif（C）word/media/image172.gif（D）word/media/image173.gif

【答案】B

【解析】解法1：由题意得：word/media/image175.gif对一切正整数恒成立，当word/media/image176.gif时word/media/image177.gif不恒成立，舍去；当word/media/image178.gif时word/media/image179.gif，故选B．

解法2：∵word/media/image180.gif，word/media/image181.gif，word/media/image182.gif，word/media/image183.gif，∴word/media/image184.gif，

若word/media/image185.gif，则word/media/image186.gif，故A与C不可能成立；若word/media/image187.gif，则word/media/image188.gif，故B成立，D不成立．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

（18）【2016年上海，理18，5分】设word/media/image24.gif、word/media/image189.gif、word/media/image190.gif是定义域为word/media/image191.gif的三个函数，对于命题：word/media/image192.gif若word/media/image193.gif、word/media/image194.gif、word/media/image195.gif均为增函数，则word/media/image24.gif、word/media/image189.gif、word/media/image190.gif中至少有一个增函数；word/media/image196.gif若word/media/image193.gif、word/media/image194.gif、word/media/image195.gif均是以word/media/image197.gif为周期的函数，则word/media/image24.gif、word/media/image189.gif、word/media/image190.gif均是以word/media/image197.gif为周期的函数，下列判断正确的是（）

（A）word/media/image192.gif和word/media/image196.gif均为真命题（B）word/media/image192.gif和word/media/image196.gif均为假命题

（C）word/media/image192.gif为真命题，word/media/image196.gif为假命题（D）word/media/image192.gif为假命题，word/media/image196.gif为真命题

【答案】D

【解析】解法1：因为word/media/image198.gif必为周期为word/media/image199.gif的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定，故选D．

解法2：①不成立．可举反例：word/media/image200.gif．word/media/image201.gif，word/media/image202.gif．

②∵word/media/image203.gif，word/media/image204.gif

word/media/image205.gif，前两式作差可得：word/media/image206.gif，结合第三式可

得：word/media/image207.gif，word/media/image208.gif，同理可得：word/media/image209.gif，因此②正确．

【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

（19）【2016年上海，理19，12分】将边长为1的正方形word/media/image211.gif（及其内部）绕的word/media/image212.gif旋转一周形

成圆柱，如图，word/media/image213.gif长为word/media/image214.gif，word/media/image215.gif长为word/media/image216.gif，其中word/media/image217.gif与word/media/image218.gif在平面word/media/image211.gif的同侧．

（1）求三棱锥word/media/image219.gif的体积；

（2）求异面直线word/media/image220.gif与word/media/image221.gif所成的角的大小．

解：（1）由题意可知，圆柱的高word/media/image222.gif，底面半径word/media/image223.gif．由word/media/image224.gif的长为word/media/image225.gif，可知word/media/image226.gif．

word/media/image227.gif，word/media/image228.gif．

（2）设过点word/media/image217.gif的母线与下底面交于点word/media/image229.gif，则word/media/image230.gif，所以word/media/image231.gif或其补角为直线word/media/image220.gif与word/media/image221.gif所成的角．

由word/media/image213.gif长为word/media/image233.gif，可知word/media/image234.gif，又word/media/image235.gif，所以word/media/image236.gif，

从而word/media/image237.gif为等边三角形，得word/media/image238.gif．因为word/media/image239.gif平面word/media/image240.gif，所以word/media/image241.gif．

在word/media/image242.gif中，因为word/media/image243.gif，word/media/image238.gif，word/media/image244.gif，所以word/media/image245.gif，

从而直线word/media/image246.gif与word/media/image221.gif所成的角的大小为word/media/image247.gif．

【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

（20）【2016年上海，理20，14分】有一块正方形菜地word/media/image249.gif，word/media/image250.gif所在直线是一条小河，收货的

蔬菜可送到word/media/image251.gif点或河边运走。于是，菜地分为两个区域word/media/image252.gif和word/media/image253.gif，其中word/media/image252.gif中的蔬菜运到河边

较近，word/media/image253.gif中的蔬菜运到word/media/image251.gif点较近，而菜地内word/media/image252.gif和word/media/image253.gif的分界线word/media/image254.gif上的点到河边与到word/media/image251.gif点的距

离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点word/media/image150.gif为word/media/image255.gif的中点，点word/media/image251.gif的坐标为word/media/image256.gif，如图．

（1）求菜地内的分界线word/media/image254.gif的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出word/media/image252.gif面积是word/media/image257.gif面积的两倍，由此得到word/media/image252.gif面积的“经验值”为word/media/image258.gif。设word/media/image259.gif

是word/media/image218.gif上纵坐标为1的点，请计算以word/media/image250.gif为一边、另一边过点word/media/image259.gif的矩形的面积，及五边形word/media/image260.gif的面

积，并判断哪一个更接近于word/media/image252.gif面积的经验值．

解：（1）设分界线上任一点为word/media/image263.gif，依题意word/media/image264.gif，可得word/media/image265.gif．

（2）设word/media/image266.gif，则word/media/image267.gif，∴word/media/image268.gif，∴设所表述的矩形面积为word/media/image269.gif，则word/media/image270.gif，

设五边形word/media/image271.gif面积为word/media/image272.gif，则word/media/image273.gif，

word/media/image274.gif，word/media/image275.gif，∴五边形word/media/image276.gif的面积更接近word/media/image252.gif的面积．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．

（21）【2016年上海，理21，14分】双曲线word/media/image277.gif的左、右焦点分别为word/media/image278.gif，直线word/media/image279.gif过word/media/image280.gif且与双曲线交于word/media/image281.gif两点．

（1）若word/media/image279.gif的倾斜角为word/media/image282.gif，word/media/image283.gif是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设word/media/image284.gif，若word/media/image279.gif的斜率存在，且word/media/image285.gif，求word/media/image279.gif的斜率．

解：（1）设word/media/image286.gif．由题意，word/media/image287.gif，word/media/image288.gif，word/media/image289.gif，因为word/media/image283.gif是等边三角形，

所以word/media/image290.gif，即word/media/image291.gif，解得word/media/image292.gif．故双曲线的渐近线方程为word/media/image293.gif．

（2）由已知，word/media/image294.gif，word/media/image295.gif．设word/media/image296.gif，word/media/image297.gif，直线word/media/image298.gifword/media/image299.gif．显然word/media/image300.gif．

由word/media/image301.gif，得word/media/image302.gif．因为word/media/image303.gif与双曲线交于两点，所以word/media/image304.gif，

且word/media/image305.gif．设word/media/image306.gif的中点为word/media/image307.gif．由word/media/image308.gif即word/media/image309.gif，

知word/media/image310.gif，故word/media/image311.gif．而word/media/image312.gif，word/media/image313.gif，word/media/image314.gif，

所以word/media/image315.gif，得word/media/image316.gif，故word/media/image303.gif的斜率为word/media/image317.gif．

【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．

（22）【2016年上海，理22，16分】已知word/media/image158.gif，函数word/media/image318.gif．

（1）当word/media/image319.gif时，解不等式word/media/image320.gif；

（2）若关于word/media/image321.gif的方程word/media/image322.gif的解集中恰好有一个元素，求word/media/image323.gif的取值范围；

（3）设word/media/image324.gif，若对任意word/media/image325.gif，函数word/media/image326.gif在区间word/media/image327.gif上的最大值与最小值的差不超过1，求word/media/image323.gif的取值

范围．

解：（1）由word/media/image328.gif，得word/media/image329.gif，解得word/media/image330.gif． ……4分

（2）word/media/image331.gif，word/media/image332.gif，当word/media/image333.gif时，word/media/image334.gif，经检验，满足题意．

当word/media/image335.gif时，word/media/image336.gif，经检验，满足题意．当word/media/image337.gif且word/media/image338.gif时，word/media/image339.gif，word/media/image340.gif，word/media/image341.gif．

word/media/image342.gif是原方程的解当且仅当word/media/image343.gif，即word/media/image344.gif；word/media/image345.gif是原方程的解当且仅当word/media/image346.gif，即word/media/image91.gif．

于是满足题意的word/media/image347.gif．综上，word/media/image348.gif的取值范围为word/media/image349.gif． ……10分

（3）当word/media/image350.gif时，word/media/image351.gif，word/media/image352.gif，所以word/media/image353.gif在word/media/image354.gif上单调递减．

函数word/media/image353.gif在区间word/media/image355.gif上的最大值与最小值分别为word/media/image356.gif，word/media/image357.gif．

word/media/image358.gif即word/media/image359.gif，对任意word/media/image360.gif成立．

因为word/media/image78.gif，所以函数word/media/image361.gif在区间word/media/image362.gif上单调递增，word/media/image363.gif时，word/media/image30.gif有最小值word/media/image364.gif，

由word/media/image365.gif，得word/media/image366.gif．故word/media/image348.gif的取值范围为word/media/image367.gif． ……16分

【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

（23）【2016年上海，理23，18分】若无穷数列word/media/image368.gif满足：只要word/media/image369.gif，必有word/media/image370.gif，则称word/media/image371.gif具有性质word/media/image372.gif．

（1）若word/media/image373.gif具有性质word/media/image372.gif，且word/media/image374.gif，word/media/image375.gif，求word/media/image376.gif；

（2）若无穷数列word/media/image377.gif是等差数列，无穷数列word/media/image378.gif是公比为正数的等比数列，word/media/image379.gif，word/media/image380.gif，word/media/image381.gif判断word/media/image371.gif是否具有性质word/media/image372.gif，并说明理由；

（3）设word/media/image377.gif是无穷数列，已知word/media/image382.gif．求证：“对任意word/media/image383.gif都具有性质word/media/image372.gif”的充要条件为“word/media/image377.gif是常数列”．

解：（1）因为word/media/image384.gif，所以word/media/image385.gif，word/media/image386.gif，word/media/image387.gif．于是word/media/image388.gif，又因为word/media/image375.gif，

解得word/media/image389.gif． ……4分

（2）word/media/image390.gif的公差为word/media/image391.gif，word/media/image392.gif的公比为word/media/image393.gif，所以word/media/image394.gif，word/media/image395.gif．

word/media/image396.gif．word/media/image397.gif，word/media/image398.gif，word/media/image399.gif，word/media/image400.gif，word/media/image95.gif不具有性质word/media/image401.gif．……10分

（3）充分性：

当word/media/image390.gif为常数列时，word/media/image402.gif．对任意给定的word/media/image403.gif，只要word/media/image404.gif，则由word/media/image405.gif，

必有word/media/image370.gif．充分性得证．

必要性：

用反证法证明．假设word/media/image390.gif不是常数列，则存在word/media/image406.gif，使得word/media/image407.gif，而word/media/image408.gif．

下面证明存在满足word/media/image409.gif的word/media/image95.gif，使得word/media/image410.gif，但word/media/image411.gif．

设word/media/image412.gif，取word/media/image413.gif，使得word/media/image414.gif，则word/media/image415.gif，word/media/image416.gif，

故存在word/media/image132.gif使得word/media/image417.gif．取word/media/image418.gif，因为word/media/image419.gif（word/media/image420.gif），所以word/media/image421.gif，

依此类推，得word/media/image422.gif．但word/media/image423.gif，即word/media/image411.gif．

所以word/media/image95.gif不具有性质word/media/image401.gif，矛盾．必要性得证．

综上，“对任意word/media/image403.gif，word/media/image95.gif都具有性质word/media/image401.gif”的充要条件为“word/media/image390.gif是常数列”． ……18分