四川省绵阳市2018-2019学年高考数学二诊试卷（文科） Word版含解析

2018-2019学年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，最温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

只有一个是符合题目要求的.

1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（　　）

A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，+∞）

3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（　　）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（　　）

A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1

5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（　　）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（　　）

A．[0，1] B．[，] C．[0，] D．[1，）

7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．8

8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（　　）

A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]

9．已知正项等比数列{an}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（　　）

A．32 B．10+10 C．20 D．28

10．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（　　）

A． B．5 C．6 D．8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．计算：lg25﹣2lg=　　．

12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是　　．

13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为　　元．

14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是　　．

15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是　　．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．

17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．

（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；

（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．

18．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，数列{bn}的前n项和Tn满足：Tn=bn﹣（n∈N*）．

（1）求Sn与bn；

（2）比较Snbn与Tnan的大小，并说明理由．

19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．

（I）求m的取值范围；

（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=xlnx﹣mx2．

（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若＞1对任意的x∈[，e2]恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．（参考数据：e=2.71828…）

2018-2019学年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.

1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【考点】直线的倾斜角．

【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．

【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．

∴tanθ=．

∴θ=60°．

故选：B．

2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（　　）

A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．

【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．

【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，

集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），

则A∩B=[0，+∞）．

故选C

3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（　　）

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半

【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到

故选B．

4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（　　）

A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．

【解答】解：a∈R，复数z=（a﹣1）+（a+1）i对应的点（a﹣1，a+1）位于第三象限的充要条件是，解得a＜﹣1．

故选：D．

5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出 =，再利用离心率e==计算．

【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，

∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，

∴=，

则离心率e=====．

故选：B

6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（　　）

A．[0，1] B．[，] C．[0，] D．[1，）

【考点】程序框图．

【分析】该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．

【解答】解：执行程序框图，有

输入的t∈[﹣1，2]，

S=，

输出S的值，

由﹣1时，S=2t∈[，）；

时，S=2t﹣t2=1﹣（t﹣1）2∈[0，1]，

此分段函数在t∈[﹣1，2]时，输出的s属于[0，]．

故选：C．

7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON的面积的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．8

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），则S=|OF|•|x1﹣x2|，直线l方程为y=kx+1代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，由此能求出△OAB的面积．

【解答】解：抛物线焦点为（0，1），直线l方程为y=kx+1，

代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∴|x1﹣x2|=≥4，

∴S=|OF|•|x1﹣x2|≥2，

∴△MON的面积的最小值为2．

故选：A．

8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（　　）

A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．

【解答】解：如图所示，

由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．

可设点M（x，y）

A（0，0），B（2，0）．

∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，

由∈[0，2]，

∴•∈[﹣1，3]，

故选：C．

9．已知正项等比数列{an}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（　　）

A．32 B．10+10 C．20 D．28

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞1，由于a5+a4﹣a3﹣a2=5，可得（q2﹣1）（a3+a2）=5．因此a6+a7=q4（a3+a2）==，再利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞1，

∵a5+a4﹣a3﹣a2=5，

∴（q2﹣1）（a3+a2）=5．

则a6+a7=q4（a3+a2）===≥+10=20，当且仅当q2=2，即q=时取等号．

故选：C．

10．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则f（x）在集合M上的最大值为（　　）

A． B．5 C．6 D．8

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．

【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，

（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），

∴f（2）=2++c=g（2）=1，

∴c=﹣1﹣，

∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，

∴f′（x）=x﹣=，

∵f（x）在x=2处有最小值，

∴f′（2）=0，

即b=8，故c=﹣5，

故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，

故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，

而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，

故f（x）的最大值为5，

故选：B．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．计算：lg25﹣2lg=　2　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．

【解答】解：lg25﹣2lg=lg25+lg4=lg100=2．

故答案为：2．

12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是　127　．

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．

【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，

所以中位数是=127．

故答案为：127．

13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为　2.3　元．

【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．

【分析】根据邮资标准进行求解即可．

【解答】解：邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420﹣100=320，

每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，

则需要付0.4×4=1.6元，

则共付费0.7+1.6=2.3元，

故答案为：2.3

14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是　5﹣　．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．

【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），

d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u﹣t），

∴它的最小值=5﹣．

故答案为：5﹣．

15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是　[﹣2，﹣1）　．

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．

【分析】利用定义比较的大小，从而化简f（x）的解析式，作其图象，结合图象解得．

【解答】解：∵x2﹣2x﹣（x+3）﹣1=x2﹣3x﹣4=（x﹣4）（x+1），

∴f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3）=，

作函数y=f（x）的图象如下，

结合图象可知，

当﹣1＜﹣k≤2时，函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，

故答案为：[﹣2，﹣1）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；

（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；

（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．

（II）由频率分布直方图求出不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．

（III）所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段，有2人是在[50，60）年龄段，由此利用列举法能求出从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．

【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：

1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，

∴随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人． …

（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，

100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，

∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人． …

（III）由（II）知，所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段中取得，记为A1，A2，A3；

有2人是在[50，60）年龄段中取得，记为B1，B2，

∴从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），

（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共10种，

其中[50，60）年龄段仅1人获奖的情况有 （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）共 6种，

∴[50，60）年龄段仅1人获奖的概率为P=． …

17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．

（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；

（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．

（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．

【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x

=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x

=（cos2x﹣sin2x）

=cos（2x+），

∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．

∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，

∴x=或．

（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，

∴cos（2x+）∈[﹣1，]，

∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．

∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．

18．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，数列{bn}的前n项和Tn满足：Tn=bn﹣（n∈N*）．

（1）求Sn与bn；

（2）比较Snbn与Tnan的大小，并说明理由．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出差数列{an}的前n项和Sn；由，能求出数列{bn}的通项公式．

（2）推导出Snbn=（n2+n）•3n﹣1，Tnan=n•（3n﹣1），利用作差法能比较Snbn与Tnan的大小．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

∵差数列{an}的前n项和Sn满足：S5=30，S10=110，

∴，解得，

∴an=2+（n﹣1）×2=2n，

Sn==n2+n．…

∵数列{bn}的前n项和Tn满足：Tn=bn﹣（n∈N*），

∴，解得b1=1，

又，n∈N*，

∴Tn+1﹣Tn==，n∈N*，

即，n∈N*，

整理得bn+1=3bn，即=3（常数），

∴数列{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴bn=3n﹣1． …

（2）∵Tn=bn﹣=，

∴Snbn=（n2+n）•3n﹣1，Tnan=n•（3n﹣1），

于是Snbn﹣Tnan=（n2+n）•3n﹣1﹣n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣2）+1]，…

当n=1时，Snbn﹣Tnan=0，即Snbn=Tnan；

当n≥2（n∈N*）时，Snbn﹣Tnan＞0，即Snbn＞Tnan．

∴综上，当n=1时，Snbn=Tnan；当n≥2（n∈N*）时，Snbn＞Tnan．…

19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．

（I）求m的取值范围；

（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；

（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．

【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；

令f（x）=x2+4x+m=0，

由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0

解得：m＜4且m≠0；

（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；

令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，

∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．

∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0

∴，

∴或，

∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，与椭圆联立，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质能求出m的方程．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F（c，0），

则由题意有e==， =，

即a=，c=1，b=1，

∴椭圆C的方程为．…

（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，

于是，消去x，可得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，

令M（x1，y1），N（x2，y2），

于是y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=﹣，…

∴MN的中点A的坐标为（﹣，）．

∵PQ⊥l，

∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），

令y=0，解得x=﹣，即P（﹣，0）． …

∵P、Q关于A点对称，设Q（x0，y0），

∴﹣=（ x0﹣），=（ y0+0），

解得x0=﹣，y0=，即Q（﹣，）．…

∵点Q在椭圆上，

∴（﹣）2+2（）2=2，

解得k2=，于是，即，

∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣． …

21．已知函数f（x）=xlnx﹣mx2．

（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若＞1对任意的x∈[，e2]恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．（参考数据：e=2.71828…）

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）m=0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）问题整理得＜m＜，令g（x）=，令h（x）=，根据函数的单调性求出m的范围即可；

（Ⅲ）根据基本不等式的解法即可证明不等式．

【解答】解：（I）当m=0时，f（x）=xlnx，x＞0，得f′（x）=lnx+1，

由lnx+1＞0，解得x＞，即f（x）在（，+∞）上单调递增；

由lnx+1＜0，解得0＜x＜，即f（x）在（0，）上单调递减．

∴综上，f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．…

（II）已知x∈[，e2]，于是＞1变形为＞1，

从而＞，即0＜lnx﹣mx＜x﹣1，

整理得＜m＜…

令g（x）=，则g′（x）=＜0，即g（x）在[，e2]上是减函数，

∴g（x）max=g（）=﹣1，

令h（x）=，则h′（x）=，

当＜x＜e时，h′（x）＞0，即此时h（x）单调递增；

当e＜x＜e2时，h′（x）＜0，即此时h（x）单调递减，

而h（）=＞h（e2）=，

∴h（x）min=

∴﹣1＜m＜…

（III）由（I）知当m=0时，f（x）=xlnx在（，+∞）上是增函数，

∵＜x1＜x1+x2＜1，

∴f（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞f（x1）=x1lnx1，

即lnx1＜ln（x1+x2），同理lnx2＜ln（x1+x2），

所以lnx1+lnx2＜（+）ln（x1+x2）=（2++）ln（x1+x2），

又因为）2++≥4，当且仅当x1=x2时，取等号．

又x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，ln（x1+x2），

∴（2++）ln（x1+x2）≤4，

∴lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2），

∴x1x2＜（x1+x2）4．…

2018-2019学年10月16日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/be6128ef970590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed4ce.html