备战2018年高考数学 回扣突破练 第25练 极坐标与参数方程 文

第25练 极坐标与参数方程【文】

一.题型考点对对练

1．（极坐标化为普通方程）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线：

经过点，曲线：.

（Ⅰ）求直线和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，且点到直线的距离表示为，求的最小值.

（Ⅱ）设，则点到直线的距离，

当时，.

2.（与圆的相关的极坐标方程解决方法）在直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.

（1）求的极坐标方程；

（2）射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求.

【解析】（1）将代入曲线的方程：，可得曲线的极坐标方程为，

曲线的普通方程为，将代入，得到的极坐标方程为

（2）射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为

射线与曲线的交点的极径满足，解得

所以

3.（参数方程与极坐标方程互化）已知曲线：（为参数）和直线：（为参数）．

（1）将曲线的方程化为普通方程；

（2）设直线与曲线交于两点，且为弦的中点，求弦所在的直线方程．

（2）将代入，

整理得．由为的中点，则．

∴，即，故，即，所以所求的直线方程为．

4.（直线的参数方程中t的几何意义应用）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围．

【解析】（Ⅰ）；

（Ⅱ）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程联立，得，整理得

，则.

5.（极坐标与参数方程的综合应用）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.

（1）求曲线的参数方程；

（2）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.

（2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，点到的距离，∴点到的距离的最小值为.

二.易错问题纠错练

6.（圆的极坐标方程应用不当至错）在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若射线分别交于两点， 求的最大值.

【解析】（1）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ．

（2）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，则ρ1＝，ρ2＝2cosα，

＝＝×2cosα(cosα＋sinα)＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]，

当α＝时，取得最大值(＋1)．

【注意问题】根据转化即可．

7.（不明确直线的参数方程中的几何意义至错）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线与曲线的普通方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，设，求的值.

（Ⅱ）设对应的参数为，将代入得，∴，∵直线的参数方程为可化为，∴， ∴.

【注意问题】直线l的参数方程为 ， ，整理可得，利用参数的几何意义，求的值．

三.新题好题好好练

8.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）若直线与圆相切，求的值；

（Ⅱ）若直线与曲线：（为参数）交于，两点，点，求.

（Ⅱ）曲线的普通方程为：，点在直线上，所以直线的参数方程还可以写为：（为参数）.将上式代入得，设，对应的参数分别为，，所以，，所以.

9.在极坐标系中，曲线，曲线，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求的直角坐标方程；

（2）与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值．

（2）不妨设四点在上的排列顺次至上而下为，它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.

10.已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．

（1）求圆心的直角坐标；

（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．

【解析】（1）∵，∴，

∴圆的直角坐标方程为，即，∴圆心的直角坐标为.

（2）直线上的点向圆引切线，则切线长为

，

∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.

11.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（Ⅰ）求出圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知圆与轴相交于，两点，直线：关于点对称的直线为.若直线上存在点使得，求实数的最大值.

12.已知直线（为参数），曲线（为参数）.

（1）设与相交于两点，求；

（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.

【解析】（I）的普通方程为，的普通方程为联立方程组 解得与的交点为,,则.

（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最大值,且最大值为.

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