浙江省宁波市慈溪市2019-2020年九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

一．选择题（共12小题）

1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（　　）

A．轴对称 B．平移

C．绕某点旋转 D．先平移再轴对称

2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°

3．下列事件中是随机事件的是（　　）

A．校运会上立定跳远成绩为10米

B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球

C．慈溪市明年五一节是晴天

D．在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水

4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（　　）

A．120° B．110° C．105° D．100°

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝

6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果

下面有三个推断：

①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．

其中合理的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①③

7．下列命题是真命题的是（　　）

A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

D．三角形外心是三条角平分线的交点

8．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2﹣2

C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2

9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1

12．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）

A．2 B．3 C． D．

二．填空题（共6小题）

13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式　 　．

14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　 　．

15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝　 　．

16．如图，某营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为　 　米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）

17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tanP＝　 　．

18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线Tn的函数表达式为　 　．

三．解答题（共8小题）

19．解下列两题：

（1）已知＝，求的值；

（2）已知α为锐角，且2sinα＝4cos30°﹣tan60°，求α的度数．

20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？

21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）

（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝　 　；

（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．

②在图3中只用直尺（没有刻度）画出△ABC的重心M．（保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M）

22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．

（1）求该二次函数的表达式及最小值．

（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．

①当m＝﹣4时，求n的值；

②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．

23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端档板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图3），求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？

25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．

（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？

①正方形是自相似菱形；

②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．

③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．

（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．

①求AE，DE的长；

②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．

26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．

（1）求证：△AED是等腰直角三角形；

（2）如图1，已知⊙O的半径为．

①求的长；

②若D为EB中点，求BC的长．

（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是（　　）

A．轴对称 B．平移

C．绕某点旋转 D．先平移再轴对称

【分析】根据平移变换、轴对称变换和旋转变换进行分析即可．

【解答】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，

故选：A．

2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°

【分析】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．

【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，

∴∠B＝42°，

∵△ABC∽△DEF，

∴∠B＝∠E．

∴∠E＝42°．

故选：C．

3．下列事件中是随机事件的是（　　）

A．校运会上立定跳远成绩为10米

B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球

C．慈溪市明年五一节是晴天

D．在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水

【分析】根据各个事件发生的可能性，逐个做出判断即可．

【解答】解：“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A不符合题意；

“在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B不符合题意；

“慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C符合题意；

“在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D不符合题意；

故选：C．

4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC＝130°，则∠BOC＝（　　）

A．120° B．110° C．105° D．100°

【分析】根据圆内接四边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的关系定理，可求得答案．

【解答】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形

∴∠A+∠BDC＝180°

∵∠BDC＝130°

∴∠A＝50°

∴∠BOC＝2∠A＝100°

故选：D．

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝

【分析】直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案．

【解答】解：如图所示：

∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，

∴BC＝4，

∴sinA＝，故A错误；

cosA＝，故B正确；

tanA＝；故C错误；

cosA＝，故D错误；

故选：B．

6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果

下面有三个推断：

①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．

其中合理的是（　　）

A．① B．② C．①② D．①③

【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．

【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；

③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．

故选：B．

7．下列命题是真命题的是（　　）

A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

D．三角形外心是三条角平分线的交点

【分析】直接利用圆的相关性质分析得出答案．

【解答】解：A、在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；

B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；

C、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；

D、三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；

故选：A．

8．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝2（x﹣1）2﹣2 B．y＝2（x+1）2﹣2

C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2

【分析】直接利用旋转的性质得出新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，再利用平移的性质得出答案．

【解答】解：∵把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，

∴新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，

∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，

∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．

故选：C．

9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，且EF∥BC，FD∥AB，则下列各式正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

【分析】证得四边形EBDF是平行四边形，得到BE＝DF，EF＝BD，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥BC得到＝，＝＝，则＝，可对以B、D进行判断；再由DF∥AB得＝，＝，则＝，于是可对A、C进行判断．

【解答】解：∵EF∥BC，FD∥AB，

∴四边形EBDF是平行四边形，

∴BE＝DF，EF＝BD，

∵EF∥BC，

∴＝，＝＝，

∴＝，故B错误，D正确；

∵DF∥AB，

∴＝，＝，

∴＝，故A错误；

∵＝，＝，故C错误；

故选：D．

10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　）

A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm

【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．

【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠D＝90°，

∴四边形CDMN是矩形，

∴MN＝CD＝4，

设OF＝x，则ON＝OF，

∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，

在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2

即：（4﹣x）2+22＝x2

解得：x＝2.5

故选：B．

11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，则m的值为（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1

【分析】根据当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，可知当x＝1时取得最小值，即﹣5m+1＝6，从而可以求得m的值．

【解答】解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝m（x﹣1）2﹣5m+1（m≠0，m为常数）有最小值6，

∴m＞0，当x＝1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1＝6，得m＝﹣1（舍去），

m＜0时，当x＝﹣1时，取得最小值，即m（﹣1﹣1）2﹣5m+1＝6，得m＝﹣5，

由上可得，m的值是﹣5，

故选：A．

12．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（　　）

A．2 B．3 C． D．

【分析】依据∠CPN＝∠CNM，∠C＝∠C，即可得到△CPN∽△CNM，再根据相似三角形的性质，即可得到CP＝4，进而得出PN的长．

【解答】解：∵MN＝MP，

∴∠MNP＝∠MPN，

∴∠CPN＝∠ONM，

由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，

∴∠CPN＝∠CNM，

又∵∠C＝∠C，

∴△CPN∽△CNM，

＝，即CN2＝CP×CM，

∴62＝CP×（CP+5），

解得CP＝4，

又∵＝，

∴＝，

∴PN＝，

故选：D．

二．填空题（共6小题）

13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式　y＝﹣2x2（答案不唯一）　．

【分析】直接利用二次函数顶点在原点得出一次项系数和常数项都为零，且开口向下则a＜0，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：y＝﹣2x2（答案不唯一）．

故答案为：y＝﹣2x2（答案不唯一）．

14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　4：9　．

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．

【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，

∴这两个相似三角形的相似比为2：3，

∴它们的面积比是4：9．

故答案为：4：9．

15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n＝　4　．

【分析】直接利用正多边形的性质得出sin∠AOD＝＝，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，

∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，

∴AD＝BD＝3，

∴sin∠AOD＝＝，

∴∠AOD＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∴n＝＝4．

故答案为：4．

16．如图，某营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度BC为　6.18　米．（参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601）

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin31°＝，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：sin31°＝＝＝0.515

则BC＝6.18（m）．

故答案为：6.18．

17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为上的任一点，则tanP＝　2　．

【分析】连接DF，如图，根据圆周角定理得到∠P＝∠BDF，∠BFD＝90°，再证明∠P＝∠BED，然后根据正切的定义得到tan∠BED＝2，从而得到tan∠P的值．

【解答】解：连接DF，如图，则∠P＝∠BDF，

∵BD为直径，

∴∠BFD＝90°，

∵∠DBF+∠BDF＝90°，∠EBD+∠BED＝90°，

∴∠BDF＝∠BED，

∴∠P＝∠BED，

∵tan∠BED＝＝2，

∴tan∠P＝2．

故答案为2．

18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线Tn的函数表达式为　　．

【分析】设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，根据一次函数的解析式求出∠B1OA1的度数，再等边三角形与等腰三角形的知识，求出B1点的坐标，进而用待定系数法求出T1的解析式，进而用同样的方法求出T2，T3的解析式，再根据规律求出最后结果．

【解答】解：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，如图所示：

∵△A1B1A2是等边三角形，

∴∠B1A1A2＝60°，

∵顶点都在直线y＝x上，设，

∴OC1＝m，，

∴，

∴∠B1OC1＝30°，

∴∠OB1A1＝30°，

∴OA1＝A1B1＝2＝A1B2，

∴A1C1＝A1B1•cos60°＝1，

，

∴OC1＝OA1+A1C1＝3，

∴，A2（4，0），

设T1的解析式为：，

则，

∴，

∴T1：，

同理，T2的解析式为：，

T3的解析式为：，

…

则Tn的解析式为：，

故答案为：．

三．解答题（共8小题）

19．解下列两题：

（1）已知＝，求的值；

（2）已知α为锐角，且2sinα＝4cos30°﹣tan60°，求α的度数．

【分析】（1）利用已知条件设a＝3k，b＝4k，然后把它们代入中计算分式的运算即可；

（2）根据特殊角的三角函数值得到2sinα＝，所以sinα＝，从而得到锐角α的度数．

【解答】解：（1）∵＝，

∴设a＝3k，b＝4k，

∴＝＝6；

（2）∵2sinα＝4cos30°﹣tan60°＝4×﹣＝，

∴sinα＝，

∴锐角α＝30°．

20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？

【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：列表如下：

以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果，

∴P（甲胜）＝，P（乙胜）＝，

∵P（甲胜）＞P（乙胜），

∴规则不公平．

21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）

（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝　　；

（2）①在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等），且图1，2中所画三角形也不全等）．

②在图3中只用直尺（没有刻度）画出△ABC的重心M．（保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M）

【分析】（1）直接利用勾股定理得出BC的长；

（2）①利用相似三角形的判定与性质将对应边扩大倍以及2倍进而得出答案；

②利用中线的交点得出重心位置．

【解答】解：（1）BC＝＝；

故答案为：；

（2）①如图1，2所示：△A′B′C′，△A″B″C″即为所求；

②如图3所示：M即为所求．

22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．

（1）求该二次函数的表达式及最小值．

（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．

①当m＝﹣4时，求n的值；

②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，即可求表达式；

（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；②点P到y轴的距离为|m|，则有﹣4≤m≤4，又因为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，

得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，

∴函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；

②点P到y轴的距离为|m|，

∴|m|≤4，

∴﹣4≤m≤4，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．

23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB＝8米，BC＝2米，前端档板高DE＝0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α＝37°（如图3），求此时档板最高点E离地面的高度．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，先求得Rt△ABF中，AF＝tan37°×AB＝6，进而得到Rt△EFH中，EH＝cos37°×EF＝6.8，依据底边AB离地面的距离为1.3米，即可得到点E离地面的高度．

【解答】解：如图3所示，延长DA交水平虚线于F，过E作EH⊥BF于H，

∵∠BAF＝90°，∠ABF＝37°，

∴Rt△ABF中，AF＝tan37°×AB≈0.75×8＝6（米），

∴EF＝AF+AD+DE＝8.5，

∵∠EHF＝90°＝∠BAF，∠BFA＝∠EFH，

∴∠E＝37°，

∴Rt△EFH中，EH＝cos37°×EF≈0.80×8.5＝6.8（米），

又∵底边AB离地面的距离为1.3米，

∴点E离地面的高度为6.8+1.3＝8.1（米）．

24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？

【分析】（1）根据总利润等于每件的利润乘以销售量，可列出y关于x的函数关系式；根据每件售价不能高于240元，可得关于x的不等式，求解即可；

（2）将（1）中的二次函数关系式写成顶点式，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）令y＝40000，可得关于x的一元二次方程，解得x值，并根据问题的实际意义作出取舍，再结合二次函数的性质，可得x的取值范围．

【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：

y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）

＝﹣2x2+400x+25000

∵每件售价不能高于240元

∴130+x≤240

∴x≤110

∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤110，且x为正整数．

（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000

＝﹣2（x﹣100）2+45000

∴当x＝100时，y有最大值45000元．

∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．

（3）令y＝40000，得：

﹣2x2+400x+25000＝40000

解得：x1＝50，x2＝150

∵0＜x≤110

∴x＝50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；

由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．

∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．

25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．

（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？

①正方形是自相似菱形；

②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．

③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．

（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．

①求AE，DE的长；

②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．

【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；

②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；

③由自相似菱形的性质即可得出结论；

（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出＝＝，求出AE＝2，DE＝4即可；

②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．

【解答】解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：

如图3所示：

∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，

∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，

在△ABE和△DCE中，，

∴△ABE≌△DCE（SAS），

∴△ABE∽△DCE，

∴正方形是自相似菱形；

②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：

如图4所示：

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，

∵∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，

∵点E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB＝∠DAE＝90°，

∴只能△AEB与△DAE相似，

∵AB∥CD，

∴只能∠B＝∠AED，

若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，

∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠CED＝∠CDE，

∴CD＝CE，不成立，

∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；

③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，

则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：

∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），

∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，

同理△AED与△EDC也不能相似，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB＝∠DAE，

当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，

∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，

则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；

（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，

∴BE＝2，AB＝AD＝4，

由（1）③得：△ABE∽△DEA，

∴＝＝，

∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，

∴AE＝2，DE＝＝＝4，

②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：

则四边形DMEN是矩形，

∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，

设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，

由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，

即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，

解得：x＝1，

∴AM＝1，EN＝DM＝5，

∴DN＝EM＝＝＝，

在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，

∴tan∠DBC＝＝．

26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC＝CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．

（1）求证：△AED是等腰直角三角形；

（2）如图1，已知⊙O的半径为．

①求的长；

②若D为EB中点，求BC的长．

（3）如图2，若AF：FD＝7：3，且BC＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）由已知可得△BCD是等腰直角三角形，所以∠CBD＝∠EAD＝45°，因为∠AEB＝90°，可证△AED是等腰直角三角形；

（2）①已知可得∠EAD＝45°，∠EOC＝90°，则△EOC是等腰直角三角形，所以CE的弧长＝×2×π×＝；②由已知可得ED＝BD，在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，所以AE＝2，AD＝2，

易证△AED∽△BCD，所以BC＝；

（3）由已知可得AF＝AD，过点E作EG⊥AD，EG＝AD，GF＝AD，tan∠EFG＝，＝＝，FO＝r，在Rt△COF中，FC＝r，EF＝r，在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，求出AD＝r，AF＝r，所以AC＝AF+FC＝r，AC＝4+AD＝4+r，可得r＝4+r，即可求r＝．

【解答】解：（1）∵BC＝CD，AB是直径，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠DBD＝45°，

∵∠CBD＝∠EAD＝45°，

∵∠AEB＝90°，

∴△AED是等腰直角三角形；

（2）①∵∠EAD＝45°，

∴∠EOC＝90°，

∴△EOC是等腰直角三角形，

∵⊙O的半径为，

∴CE的弧长＝×2×π×＝；

②∵D为EB中点，

∴ED＝BD，

∵AE＝ED，

在Rt△ABE中，（2）2＝AE2+（2AE）2，

∴AE＝2，

∴AD＝2，

∵ED＝AE，CD＝BC，∠AED＝∠BCD＝90°，

∴△AED∽△BCD，

∴BC＝；

（3）∵AF：FD＝7：3，

∴AF＝AD，

过点E作EG⊥AD，

∴EG＝AD，

∴GF＝AD，

∴tan∠EFG＝，

∴＝＝，

∴FO＝r，

在Rt△COF中，FC＝r，

∴EF＝r，

在Rr△EFG中，（r）2＝（AD）2+（AD）2，

∴AD＝r，

∴AF＝r，

∴AC＝AF+FC＝r，

∵CD＝BC＝4，

∴AC＝4+AD＝4+r，

∴r＝4+r，

∴r＝．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/be25750581c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b393.html