2018-2019 学年广东省惠州市惠城区九年级（上）期末数学模拟

试卷

一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+c＝0 的一个根为 1，则另一个根是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 3．函数 y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（ ）

A． B．

C． D．

4. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的面上的汉字是（ ）

A．数 B．学 C．活 D．的

5. 半径为 10 的⊙O 和直线 l 上一点 A，且 OA＝10，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90°得到△A′B′C′，A′C′交 AB 于点 E，若 AD＝BE，则△A′DE 的面积

是（ ）

A．3 B．5 C．11 D．6

7. 圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）

A．90° B．120° C．150° D．180°

8. 独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户 2014 年人均纯收入为

2620 元，经过帮扶到 2016 年人均纯收入为 3850 元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是（ ）

A．2620（1﹣x）2＝3850 B．2620（1+x）＝3850

C．2620（1+2x）＝3850 D．2620（1+x）2＝3850

9. 如图，点 A 在双曲线 y＝﹣上，过点 A 作 AB∥x 轴交双曲线 y＝﹣于点 B，点 C、D

都在 x 轴上，连接 AD、BC，若四边形 ABCD 是平行四边形，则▱ABCD 的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 10．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）

A. 函数有最小值

B. c＜0

C．当﹣1＜x＜2 时，y＞0

D．当 x＜时，y 随 x 的增大而减小

二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）

11. 设α，β是方程 x2﹣x﹣2019＝0 的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β的值为 ；

12. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（a，3），点 B 的坐标是（4，b），若点 A 与点 B

关于原点 O 对称，则 ab＝ ．

13. 将二次函数 y＝x2﹣1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 ．

14. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB

＝ °．

15. 有一人感染流感，经过两轮传播后共有 121 人患病，则第三轮感染后共有 患病．

16. 如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC

绕点 B 顺时针旋转一定角度后使 A 落在 y 轴上，与此同时顶点 C 恰好落在 y＝ 的图象上，则 k 的值为 ．

三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）

17. 已知关于 x 的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝0（m 为常数）．

（1） 求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2） 若该方程一个根为 3，求 m 的值．

18. 如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴．

（1） 求抛物线的函数关系式；

（2） 求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值．

19. 如图所示，正方形 ABCD，边长为 10 厘米，AB 为半圆的直径，求阴影部分的面积（结果保留π）

四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）

20. 某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行园林绿化工程．2016 年投资 2 000 万元，

之后投资逐年增加，预计 2018 年投资 2 420 万元．求这两年投资的年平均增长率．

21. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为 A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）请解答下列问题：

（1） 画出△ABC 关于原点 O 的中心对称图形△A1B1C1，并写出点 C 的对应点 C1 的坐标；

（2） 画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点 A 旋转至 A2

经过的路径长．

22. 在一个不透明的布袋里装有三个标号分别为 1，2，3 的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，然后将小球放回布袋，小敏再从布袋中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 A 的坐标为（x，y）．请用

列表或画树形图的方法，求点 A 在函数 图象上的概率．

五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）

23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝﹣x 与反比例函数 y＝ 的图象交于 A，B

两点（点 A 在点 B 左侧），已知 A 点的纵坐标是 2；

（1） 求反比例函数的表达式；

（2） 根据图象直接写出﹣ x＞ 的解集；

（3） 将直线 l1：y＝x 沿 y 向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y＝在第二象限内交于点

C，如果△ABC 的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式．

24. 如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且点 C 是的中点，过点 C 作 AD 的垂线 EF 交直线 AD 于点 E．

（1） 求证：EF 是⊙O 的切线；

（2） 连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO

＝3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过点 A、B、C．

（1） 求抛物线的解析式；

（2） 若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标．

参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B．

2. 【解答】解：设方程的另一个根为 m，则 1+m＝4，

∴m＝3， 故选：C．

3. 【解答】解：在函数 y＝ax2+ax+a（a≠0）中，

当 a＜0 时，则该函数开口向下，顶点在 y 轴左侧，抛物线与 y 轴的负半轴相交，故选项 D

错误；

当 a＞0 时，则该函数开口向上，顶点在 y 轴左侧，抛物线与 y 轴的正半轴相交，故选项 A、B 错误；故选项 C 正确；

故选：C．

4. 【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，

∴在此正方体上与“生”字相对的面上的汉字是“学”．故选：B．

5. 【解答】解：若 OA⊥l，则圆心 O 到直线 l 的距离就是 OA 的长，等于半径，所以直线 l

与⊙O 相切；

若 OA 与直线 l 不垂直，根据垂线段最短，圆心 O 到直线 l 的距离小于 5，即小于半径，所以直线 l 与⊙O 相交．

故选：D．

6. 【解答】解：Rt△ABC 中，AB＝＝10， 由旋转的性质，设 AD＝A′D＝BE＝x，则 DE＝10﹣2x，

∵△ABC 绕 AB 边上的点 D 顺时针旋转 90°得到△A′B′C′，

∴∠A′＝∠A，∠A′DE＝∠C＝90°，

∴△A′DE∽△ACB，

∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得 x＝3，

∴S△A′DE＝ DE×A′D＝ ×（10﹣2×3）×3＝6， 故选：D．

7. 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2πcm，

设圆心角的度数是 x 度．则＝2π， 解得：x＝120．

故选：B．

8. 【解答】解：如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，那么根据题意得：2620（1+x）2，

列出方程为：2620（1+x）2＝3850． 故选：D．

9. word/media/image38.gif【解答】解：∵点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB∥x 轴，

∴设 A（﹣，b），B（﹣，b），则 AB＝﹣+，▱ABCD 的 CD 边上高为 b，

∴S▱ABCD＝（﹣ + ）×b＝﹣4+6＝2． 故选：B．

10【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；

B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 的负半轴，可判断 c＜0，故正确； C、由抛物线可知当﹣1＜x＜2 时，y＜0，故错误；

D、由图象可知在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，故正确； 故选：C．

二．填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） 11．【解答】解：根据题意得：α+β＝1， α3﹣2021α﹣β

＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）

＝α（α2﹣2020）﹣1，

∵α2﹣α﹣2019＝0，

∴α2﹣2020＝α﹣1，

把α2﹣2020＝α﹣1 代入原式得： 原式＝α（α﹣1）﹣1

＝α2﹣α﹣1

＝2019﹣1

＝2018．

12【解答】解：∵点 A 的坐标为（a，3），点 B 的坐标是（4，b），点 A 与点 B 关于原点 O

对称，

∴a＝﹣4，b＝﹣3， 则 ab＝12．

故答案为：12．

13【解答】解：二次函数 y＝x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移 3

个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为 y＝x2+2．故答案为：y＝x2+2．

14【解答】解：∵OC∥AD，

∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝74°，

∵四边形 ABCD 内接于⊙O，

∴∠BCD＝180°﹣∠DAB＝120°，

∴∠OCB＝∠BCD﹣∠OCD＝46°， 故答案为：46．

15【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人则有：1+x+x（1+x）＝121

解这个方程，得 x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去） 所以平均一人传染了 10 个人

第三轮后共有 121+121×10＝1331（人） 即第三轮后共有 1331 人患病

故答案为：1331 人

16．【解答】解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），

∴AB＝5，BC＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，AB⊥x 轴，

∴△ABC 是等腰直角三角形，

过点 A′作 A′E⊥AB 于 E，过点 C′作 C′F⊥x 轴于 F，

则 A′E＝3，BE＝＝4，

∵△A′BC′是△ABC 旋转得到，

∴∠A′BE＝∠C′BF，

在△A′BE 和△C′BF 中， ，

∴△A′BE≌△C′BF（AAS），

∴BF＝BE＝4，C′F＝A′E＝3，

∴OF＝BF﹣OB＝4﹣3＝1，

∴点 C′的坐标为（1，﹣3），

把（1，﹣3）代入 y＝得， ＝﹣3， 解得 k＝﹣3．

故答案为：﹣3．

三．解答题（共 3 小题，满分 18 分，每小题 6 分）

17．【解答】（1）证明：原方程可化为 x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0，

∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，

∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）＝4＞0，

∴不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：将 x＝3 代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）＝0，解得：m1＝3，m2＝1．

∴m 的值为 3 或 1．

18．【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3），把 C（0，3）代入得 a•1•（﹣3）＝3，解得 a＝﹣1，

所以抛物线解析式为 y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

所以抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为：直线 x＝1，二次函数的最大值是 4．

19．【解答】解：设 AB 的中点为 O，连接 OE，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴∠CBD＝45°，

∵正方形 ABCD 边长为 10，

∴OB＝OE＝5，

∴∠BOE＝90°，

∴S 阴＝S 梯形 CDEO﹣S 扇形 COE＝（5+10）×5﹣ ＝ ﹣ π．

四．解答题（共 3 小题，满分 21 分，每小题 7 分）

20【解答】解：设这两年投资的年平均增长率为 x，根据题意得：

2000（1+x）2＝2420，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），答：这两年投资的平均年增长率为 10%．

21【解答】解：（1）△ABC 关于原点 O 的中心对称图形△A1B1C1 如图所示：

点 C1 的坐标为（1，﹣3）．

（2）△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到的△A2B2C2 如图所示：

∵OA＝ ＝ ，

∴点 A 经过的路径长为＝ π．

22【解答】解：

由表格可知，共有 9 种等可能出现的结果，其中点 A 在函数图象上（记为事件 A）的结果有两种，即（2，3），（3，2）

所以，．

五．解答题（共 3 小题，满分 27 分，每小题 9 分）

23【解答】解：（1）∵直线 l1：y＝﹣x 经过点 A，A 点的纵坐标是 2，

∴当 y＝2 时，x＝﹣4，

∴A（﹣4，2），

∵反比例函数 y＝的图象经过点 A，

∴k＝﹣4×2＝﹣8，

∴反比例函数的表达式为 y＝﹣；

（2） ∵直线 l1：y＝﹣x 与反比例函数 y＝的图象交于 A，B 两点，

∴B（4，﹣2），

∴不等式﹣ x＞ 的解集为 x＜﹣4 或 0＜x＜4；

（3） 如图，设平移后的直线 l2 与 x 轴交于点 D，连接 AD，BD，

∵CD∥AB，

∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，

∵△ABC 的面积为 30，

∴S△AOD+S△BOD＝30， 即 OD（|yA|+|yB|）＝30，

∴ ×OD×4＝30，

∴OD＝15，

∴D（15，0），

设平移后的直线 l2 的函数表达式为 y＝﹣x+b， 把 D（15，0）代入，可得 0＝﹣×15+b，

解得

∴平移后的直线 l2 的函数表达式为 y＝﹣x+ ．

24【解答】（1）证明：连接 OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠BAC，

∵点 C 是的中点，

∴∠EAC＝∠BAC，

∴∠EAC＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OC⊥EF，即 EF 是⊙O 的切线；

（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，

∴∠BCA＝90°，

∴AC＝ ＝4，

∵∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，

∴△AEC∽△ACB，

word/media/image69.gif

25【解答】解：（1）在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝ ＝3，

∴OB＝3OA＝3

∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．

∴A，B，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为

word/media/image71.gif，

抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3，

∴对称轴为 l＝﹣＝﹣1，

∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，

①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，

此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，

∴ ＝ ＝ ＝

∴MP＝3ME，

∵点 P 的横坐标为 t，

∴P（t，﹣t2﹣2t+3），

∵P 在第二象限，

∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，

∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），

解得 t1＝﹣2，t2＝3，（与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去），当 t＝﹣2 时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3

∴P（﹣2，3），

∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bdd53493df88d0d233d4b14e852458fb770b3814.html