五年级高斯奥数之比较与估算含答案

第9讲 比较与估算

内容概述

与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之闻酌比较．需兽进行估算酌计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算酌关键是进行恰当的放缩．

典型问题

兴趣篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：

2．有8个数，是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

3．在不等式的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．

4．在大于且小于的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？

5．请将A、B、C、D、E按从小到大的顺序排列起来．

6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？

7．计算结果保留三位小数．

8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？

9．求下述算式计算结果的整数部分：

10．算式的计算结果的整数部分是多少？

拓展篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：

2．现有7个数，其中5个是如果将这7个数按照从小到大排列，第三个数是．请问：位于中间的数是多少？

3．在下面9个分数算式中：

第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？

4．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．

5．在不等式的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少种不同的填法？

6．这30个数的整数部分之和是多少？

7．算式计算结果的整数部分是多少？

8．算式计算结果的整数部分是多少？

9．(1)算式33.333×33.333计算结果的整数部分是多少？

(2)算式333.33×333.33计算结果的整数部分是多少？

10．将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？

11．有一道题目要求17个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是11. 28，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？

12．有一 个算式算式左边的方框各代表一个一位数，右边的结果为四舍五入到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？

超越篇

1．算式计算结果的整数部分是多少？

2．算式5. 285714×4.9×3. 857142计算结果的整数部分是多少？

3．在算式中，方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是多少？并说明理由．

4．两个小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5这两个数都只有一位小数，且整数部分都是4．请问：这两个数的乘积四舍五人前是多少？

5．老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：l，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，计算剩下数的平均数保留两位小数后是12.52老师擦掉的数是多少？

6．某天中午，3个老师买盒饭吃．如果买4盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．此时又来了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果再多买几盒盒饭后，不多不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了多少位老师？

7．请比较的大小

8．小姚计算27个正整数的平均数，保留六位小数后为8. 329610，老师说结果中某些数字肯定是错的，那么小姚至少算错了几个数字？此时正确的平均数是多少？

第9讲 比较与估算

内容概述

与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之间的比较．需要进行估算的计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算的关键是进行恰当的放缩．

典型问题

兴趣篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：

答案：

分析：分数与小数互化。

2．有8个数，是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列，第4个数是，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

答案：第4个数是．

分析：＝，＝，≈0.5106，＝0.52，

显然有0.5106＜＜＜0.52＜＜，即＜＜＜＜＜，8个数从小到大排列第4个是，所以有□＜□＜＜＜＜＜＜．(“□”表示未知的那2个数)

所以，这8个数从大到小排列第4个数是．

3．在不等式的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．

答案：7.

分析：由投球法易得出，□可以填7.

4．在大于且小于的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？

答案：12个。

分析：分子为1时，分母可取6、5、4共三个；

分子为2时，分母可取9、11、13共三个；

分子为3时，分母可取13、14、16、17、19、20共六个；

所以共12个。

5．请将A、B、C、D、E按从小到大的顺序排列起来．

答案：C＜B＜A＜D＜E.

分析：通分相加后，分子都为40.分母越大，分数越小。

6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？

答案：4个算式中，③最大．

分析：＝2+，＝2+，＝2+，＝2+．

于是只用比较，，，的大小．

因为＞，＞，所以＞，即③＞④，

又因为＝+，而＜，＜，所以＜，即③＞①，

而＝+，而＜，＜，所以＜，即③＞②．

所以4个算式中，③最大．

7．计算结果保留三位小数．

答案：0.546.

分析：法一：直接计算，结果保留三位小数；法二：循环小数化分数计算。

8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？

答案：总分是1110. 平均分四舍五入到百分位为85.38分。

分析：平均数的范围是在85.35~85.45之间的数。这13个同学的总分最小为13×85.35=1109.55分，最大为13×85.45=1110.85分，每个同学的得分是整数，那么总分也一定是个整数，所以这13个同学的总分为1110分，则他们的平均分四舍五入到百分位为85.38分。

9．求下述算式计算结果的整数部分：

答案：517.

分析：（1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13）×385

=1/2×385+1/3×385+1/5×385+1/7×385+1/13×385=1/2×385+1/3×385+77+55+35+1/13×385

=167+385×（1/2+1/3+1/13）=167+385×71/78

385×71/78≈385×0.9103=350.4655

167+385×71/78=167+350.4655=517.4655

计算结果的整数部分是517。

10．算式的计算结果的整数部分是多少？

答案：67.

分析：整数部分为66，分数部分通过放缩可得

1111

即１1.1

在1和1.1之间。所以计算结果的整数部分为67.

拓展篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：

答案：

分析：分数化小数。

2．现有7个数，其中5个是如果将这7个数按照从小到大排列，第三个数是．请问：位于中间的数是多少？

答案：

分析：分数化小数。已知的五个数中，最小，所以从小到大的前两个数未知，第四个数为。

3．在下面9个分数算式中：

第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？

答案：第④个算式结果最小。

分析：①－②＝－＝＞0，即①＞②；

②－③＝－＝＞0，即②＞③；

③－④＝－＝＞0，即③＞④；

④－⑤＝－＝＜0，即④＜⑤；

⑤－⑥，⑥－⑦，⑦－⑧，⑧－⑨所得的差依次为，，均小于0，所以⑤＜⑥，⑥＜⑦，⑦＜⑧，⑧＜⑨，那么这些中最小的为④，有④为＝．

4．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．

答案：最接近0.618．

分析：我们将分母为1～9的分数中最接近0.618的分数列出为：，，，，，，，，，将它们化成小数与0.618作差，依次为0.392，0.118，0.049，0.018，0.049，0.047，0.007，0.049．在计算其中的循环小数时小数点后保留三位数字．

又0.007最小，也就是说最接近0.618．

即在所有分母为10的真分数中，最接近0.618．

5．在不等式的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少种不同的填法？

答案：4种。

分析：通分子。方框可取98、99、100、101.共四种。

6．这30个数的整数部分之和是多少？

答案：49.

分析：关键是判断从哪个数开始整数部分是2,

因为2-1.65=0.35,我们就知,

故先看,=,这说明“分界点”是,所以前11个数整数部分是1,后19个数整数部分为2,其和为.

7．算式计算结果的整数部分是多少？

答案：1.

分析：我们可以先算出这10个分数的值，然后用所得的结果去除1，所得的商的整数部分即为所求．

现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出的值．

因为＜＝；

而＞＝；

即在～，那么它的倒数在～之间，显然所求的数的整数部分为1．

评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，我们可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．

8．算式计算结果的整数部分是多少？

答案：3.

分析：

＝3

＜4

计算结果整数部分为3.

9．(1)算式33.333×33.333计算结果的整数部分是多少？

(2)算式333.33×333.33计算结果的整数部分是多少？

答案：（1）1111 （2）111108.

分析：

33.3332≈＝≈1111.1

333.33*333.33=333.33*3*111.11=999.99*111.11=1000*111.11-0.01*111.11=111110-1.1111=111108.8889因此，整数部分是111108。

10．将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？

答案：17种

分析：从55到71

6.5×8.5=55.25

7.5×9.5=71.25

所以55.25<=两个小数乘积<71.25。

11．有一道题目要求17个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是11. 28，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？

答案：11.24或11.29.

分析：只有百分位错，即平均数介于11.2和11.3之间。

11.2×17=190.4

11.3×17=192.1

故17个数的和只能是191或192

191/17=11.24

192/17=11.29

故答案为11.24或11.29

12．有一个算式算式左边的方框各代表一个一位数，右边的结果为四舍五入到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？

答案：三个数字分别为3，5，8.

分析：1/2=0.5 1/3=0.333… 1/4=0.25 1/5=0.2 1/6=0.1666… 1/7=0.142857… 1/8=0.125 不难看出0.658=0.333+0.2+0.125

超越篇

1．算式计算结果的整数部分是多少？

答案：0.

分析：对于两个不相等的正数a,b，容易知道(a+b)^2>4ab，于是(a+b)/ab>4/(a+b),

即1/a+1/b>4/(a+b).

从而1/10+1/11+...+1/29

=(1/10+1/29)+(1/11+1/28)+...+(1/19+1/20)

>4/39+4/39+...+4/39=40/39

另一方面1/10+1/11+...+1/29 < 20/10=2,

记1/(1/10+1/11+1/12+1/13+...+1/28+1/29)=A,于是有：

1/2 < A < 39/40

因此A的整数部分为0，即为所求。

2．算式5. 285714×4.9×3. 857142计算结果的整数部分是多少？

答案：99.

分析：约化分数后分别为、、，通分计算。

3．在算式中，方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是多少？并说明理由．

答案：

分析：先看左边第二项分子是4所以分母大于等于5，所以4/5是最大的；4/5+1/（）<1

所以（）中分母应该大于5应该填6

即 1/6+4/5<1

左边最大是29/30.

4．两个小数相乘，乘积四舍五入以后是22.5这两个数都只有一位小数，且整数部分都是4．请问：这两个数的乘积四舍五入前是多少？

答案：22.54.

分析：四舍五入是22.5，两个数都有一位小数，就是说明四舍五入前是：22.46-22.54之间

个位数都是4，一位小数最大的是4.9

22.46/4.9=4.58

22.54/4.9=4.6，即最小的都要为4.6

就是在4.6到4.9之间的数

22.46开平方约为：4.739

22.54开平方约为：4.747

两个数的平均数应该为4.743附近

4.6*4.9=22.54约为22.5

5．老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：l，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，计算剩下数的平均数保留两位小数后是12.52老师擦掉的数是多少？

答案：12.

分析：此题应围绕平均数为 12.5 展开讨论：

1+2+3+ ... ... + 23 + 24 = 300

300/24 = 12.5

因为，12.52 > 12.5 ，所以擦掉的数应小于 13，

当从求和式中擦掉 12 后，

平均数 = (300 - 12) / 23 ≈ 12.52

所以，擦掉的那个数是 12 。

6．某天中午，3个老师买盒饭吃．如果买4盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．此时又来了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果再多买几盒盒饭后，不多不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了多少位老师？

答案：3位。

分析：设每个老师食量是x个饭盒。则

3x<4,

4x>5.

联立有

5/4

题目要求一个最小的正整数n（老师个数，大于等于5）使得nx（饭盒数）是整数。

因为nx是整数，所以x一定形如m/n。

所以题目即找一个最小的n，使得存在整数m，且x=m/n是(1)的一个解。

很容易验证(1)没有形如m/6的解。当n=7，有解x=9/7。

所以，至少再来3位老师。

7．请比较的大小

答案：＞

分析：？

8．小姚计算27个正整数的平均数，保留六位小数后为8. 329610，老师说结果中某些数字肯定是错的，那么小姚至少算错了几个数字？此时正确的平均数是多少？

答案：至少算错了2个；平均数为8.629629629.....

分析：除了27的倍数，其他整数除以27，结果都是无限循环小数。

因为 17÷27 = 0.629629629 ....... 与题目给出的结果想关。

因为依据不足，没法判断结果的个位 8 是否正确，

如果正确的结果是 8.629629629.....≈ 8.629630

那么小姚至少错了2个数字，即十分位的3应为6，十万分位的1应为3，

此时正确的平均数是 8.629630。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/bc4bcb9ac0c708a1284ac850ad02de80d4d8062b.html