提公因式法

提公因式法（其它教材）

一、 教材分析：
（一）教材所处的地位
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级下册第二章第二节《提公因式法》第一课时。学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用

⏹

（二）根据课程标准，本课的教学目标是：
A：知识目标：

1、 经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系.

2、 了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.

B：能力目标：

⏹ 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法

C：情感目标：

培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。

二、本课内容及重点、难点分析：

⏹ 根据《标准》的要求，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式 x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力.

本章在呈现形式上力求突出：通过因数分解与因式分解的类比，让学生体会、

理解、认识因式分解的意义；设置了对比整式的乘法来探索因式分解方法的相关活动，让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值；通过设置恰当的有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.

学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法（发现问题比解决一个问题更重要）.

本课的教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。

本课的教学难点：让学生识别多项式的公因式。
三、学生分析：

1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。

2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。

3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。

四、教法与学法分析：
教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择独立思考——合作交流法.

就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习.的方法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。

学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
五、 教学过程设计
（一）.创设问题情境，引入新课：

投影片（§2.2.1 A）

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png，bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png，b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png，宽都是93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png,求这块场地的面积.

解法一：S=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png + 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png + 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png =0580caa35cb38096c461dc12b333d6da.png+9df743fb4a026d67e85ab08111c4aedd.png+0d22222bb8de12f364c2851ca96ea265.png=2

解法二：S=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png + 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png + 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png = 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png（fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png +bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png+b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png）=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png×4=2

［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.

（二）.新课讲授

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.

［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.

ma+mb+mc=m（a+b+c）

从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？

［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.

［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：

（1）3x+6;

（2）7x2－21x;

（3）8a3b2－12ab3c+abc

（4）－24x3－12x2+28x.

分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.

［师］请大家互相交流.

［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;

（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;

（3）8a3b2－12ab3c+abc

=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c

=ab（8a2b－12b2c+c）

（4）－24x3－12x2+28x

=－4x（6x2+3x－7）

（三）归纳方法：
.议一议

［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.

［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4. 其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.

4.想一想

［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？

［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.

（四）.课堂练习

（一）随堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.

（1）ma+mb （m）

（2）4kx－8ky （4k）

（3）5y3+20y2 （5y2）

（4）a2b－2ab2+ab （ab）

2.把下列各式分解因式

（1）8x－72=8（x－9）

（2）a2b－5ab=ab（a－5）

（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）

（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）

（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）

（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）

（二）补充练习

投影片（§2.2.1 B）

把3x2－6xy+x分解因式

［生］解：3x2－6xy+x=x（3x－6y）

［师］大家同意他的做法吗？

［生］不同意.

改正：3x2－6xy+x=x（3x－6y+1）

［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.

在分解因式时应如何减少上述错误呢？

将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.

（五）课堂小结：

1.提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma+mb+mc=m（a+b+c）.

这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.

2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.

3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.

5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.

（六）布置作业：

44页习题第一题，二题。预习44－45页在书上完成做一做。检测与评价17页提公因式法（一）

六、 设计说明
1、课堂教学策略：本节课根据学生的知识结构，采用的教学流程是：提出问题—实际操作—归纳方法—课堂练习—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生进一步发展观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力，发展有条理思考及语言表达能力。

2、学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验与交流等数学活动，让学生看、说、讨论、总结，从而真正有效地理解和掌握知识。

3、辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、讨论和交流。

4、演示法：把做好的幻灯片演示给学生看，使学生直观、具体、形象有对比地经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，理解提公因式法分解因式与单项式乘以多项式的互逆关系，从而使学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.

5、实验法：让学生自主探索寻找公因式的方法，通过找公因式逆用乘法分配律因式分解，从而找到提公因式法分解因式。

6、讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。

7、练习法：精心设计随堂练习，使学生的知识水平得到恰当的发展

8、本课小结从内容，应用，数学思想方法，获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用知识的意识是有很大的促进的。

七、板书设计：

本节课制作了大量的多媒体课件，节约了板书抄题的时间，从而留给学生更多讨论交流的时间，同时黑板留给学生做练习板书，老师通过讲评学生板书的练习，提醒学生注意书写

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b8764b36f042336c1eb91a37f111f18583d00cf2.html