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数形结合思想在中学数学教学中的应用

发布时间：2012-09-26 17:29:58 来源：文档文库

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数形结合思想在中学数学教学中的应用

摘要：数形结合是中学数学中最重要的思想之一，它是连接数学中具体问题与抽象问题之间的纽带，它既充分体现了学生的解题思维能力，又为后续的深入的高层次的学习打下基础。本文主要介绍了数形结合方法在中学数学教学中中渗透的原因和作用，数形结合的方法与思想在中学教学中的重要性，以及如何应用数形结合方法解决学习与生活中遇到的问题。

关键词：数形结合数学教学实例应用

Combination of figure and chart in the middle school mathematics teaching application

Name: Yan Lin Student number: 200740510518 Advisor:Fang-da Cui

Abstract : Combination of figure and chart is one of the most important idea in the middle school mathematics. It links the specific problems and the abstract problems in mathematics.It reflects the ability in solving problems and lays the foundation for later,thorough,high-level's study. This article mainly introduces the cause and effect of the means of combination of figure and chart ,the importance of combination of figure and chart in the middle school mathematics and how to use the idea of combination of figure and chart to solve the study and life's problems.

Keywords: Combination of figure and chart Teaching of Mathematics The using of examples

学习过数学的人都知道，数与形是数学中最基础的部分。从小学开始，我们的数学课本就充斥着数字与图形。在平日里能够很好地结合抽象思维与形象思维，这不仅表现了一个学生的数学解题能力，同时也体现了其思维的发散性与跳跃性。数形结合思想不仅开拓了我们的解题思路，而且使很多数学题目变得简单易懂。数形结合思想在我们的数学学习生涯中占据着举足轻重的地位,值得我们的共同探讨与学习。

1.数形结合的作用与地位

对于广大学生而言，数形结合思想再熟悉不过。如何将抽象转化为具体，如何让原本复杂的内容变得浅显直观，这是数学研究中的重要内容，也是数形结合思想优势的体现。因此，数形结合方法成为了中学数学中最常用的方法。

中学数学的内容极易区分，一部分为代数知识，另一部分则为几何知识。如何把这两个部分找到一个合适的连接点，结合起来，就是数形结合中最为关键的部分。

在中学数学的教学中，教会学生解题，学会运用所学的数学知识在考试中取得高分，是教学目标的一部分；同时引导学生积极思考，培养学生发散性思维以及创造性思维，也是新型教学目标的体现。采用数形结合方法来解决问题，既可以开拓解题思路，帮助学生充分开发大脑智力，养成形象思维的习惯，也能够在日常解题及考试中找到简便方法，节约时间，可谓是一举两得。

2.数形结合在中学数学教学中的应用

2.1 关于有理数

有理数是中学数学中初中部分的内容，作为一种新概念的引入，数形结合的方法（数轴）在一定程度上帮助了学生理解负数、相反数等概念，有助于学生直观的比较出数的大小，为进一步的学习创造了有利条件。

（1）负数的概念：小于零的数称为负数，即正数前加上负号“”，在数轴上表示为原点左边的数。

图1

（2）相反数的概念：在数轴上,与原点距离相等的两个数称为相反数。零的相反数还是零。

图2

（3）绝对值的概念：在数轴上,一个数的绝对值表示这个数距离原点的长度。

图3

2.2 关于集合

2.2.1韦恩图的应用

图4

例1 已知，,，且，, ,求集合和．

分析：由题意知，

，则和在集合中，

，则和在集合之外，

，和在集合与的公共部分中，

综上所述，如图所示

,.

图5

2.2.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题

例2 已知集合, , 求,.

分析: 在数轴上表示出集合，由图知,.

图6

2.3 数形结合在函数、方程、不等式问题中的应用

2.3.1关于函数

例3 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，求的范围。

分析：为偶函数，则其关于轴对称，在上为增函数，则在为减函数，，作出图象，由图象可知，当，.

图7

例4 求函数的值域。

分析：分段函数，

作出函数图像，得出值域.

图8

2.3.2 关于一元二次方程、不等式以及二次函数

图9

例5 已知函数，当时，，求的取值范围。

分析：(情况一) 方程无根时，满足题意，如图10所示，此时函数完全在轴上方，即，解得.

图10

图11

（情况二）有根，根据函数图像11，应满足，解得.

综上所述，的取值范围为.

2.3.3关于不等式

例6 解不等式.

分析：不等式可化简为，

作出图像，

图12

可得不等式的解集为.

2.4 关于三角函数

2.4.1 三角函数的图像与性质

图13

2.4.2 实际应用

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

例7 （2005年上海高考题）函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是____________.

分析：根据正弦函数的图像与性质，

原函数可以化简为，

作出图像，

图14

由图可知，

当时，无交点；时，有一个交点；

当时，有四个交点；时，有三个交点；时无交点。

所以，的取值范围是.

例 8 求函数的定义域.

分析：要使函数有意义，必须使.

方法一如图所示，

图15

中，若，则等于或,又因为正余弦函数的周期均为,

所以定义域为.

方法二

如图为正弦线，为余弦线，

当,即时，

（在内）.

所以定义域为.

方法三由，

可知,

解得.

所以定义域为.

2.5 关于线性规划

例 9 已知变量满足条件，求的最大值和最小值．

分析：在平面直角坐标系中作出直线，，.图中阴影部分（包括边界部分)满足题目条件。由图象可以看出，原点不在阴影部分内，且当时，，即点在直线上。作一组平行于的直线：，，由图知，当在的右上方时，点满足题意，随直线往右而变大。

图17

由图象可知，

当直线经过点时，对应的最大，

当直线经过点时，对应的最小，

所以，，.

例10 已知且,求的取值范围。

分析：在平面直角坐标系中作出， , ,等直线,则图中阴影部分(包括边界)表示和所围成的范围 ,如图所示，原点不在阴影部分内，作直线，此直线过原点，并作若干条平行于直线的直线：，有图像可知，越往右移的值越大，则在点为最小值，在点为最大值。由此可得，.故的取值范围为.

图18

3 综述

数形结合思想既帮助学生找到了一种更加简便直观的解题方法，同时也锻炼了学生的创新发散思维能力。从小学开始，通过初中三年，高中又三年的锻炼，人们对于数形结合思想的研究也在不断加强，不断深入。形象思维与抽象思维的紧密结合造就了数形结合思想的独特魅力，值得我们回味。掌握好数形结合思想，必定能在今后的学习生活中获得更好的发展与进步。

主要参考文献

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