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2017年度江苏地区南菁高级中学自主招生模拟考试数学试卷(带解析)

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【全国百强校】2017届江苏省南菁高级中学自主招生模拟考试数学试卷（带解析）

试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：84分钟；命题人：xxx 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题总一 二 三 号 分
得 分

注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）


评卷人

得分

一、单选题（题型注释）

1、四边形ABCD内部有1000个点，以顶点A、B、C、D、和这1000个点能把原四边形分割成n个 没有重叠的小三角形，则个数n的值为（ ） A. 2002 B. 2001 C. 2000 D. 1001

2、已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=5，xy+xy=6，则代数式 x+x y+ y的值为（ ）
2222A．1 B．7 C．1或7 D．11


3、已知三个关于x的一元二次方程ax+bx+c="0" ，bx+cx+a="0" ，cx+ax+b=0恰有222一个公共实数根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3



~

4、已知点P（1－2m，m－1），则不论m取什么值，该P点必不在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限


5、某种商品的平均价格在一月份上调了10%，二月份下降了10%，三月份又上调了10%，则这种商品从原价到三月底的价格上升了（ ）
A．10% B．9.9% C．8.5% D．8.9%


6、对于方程x－2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（ ）
2A．1 B．D．2.5

C．2


7、已知△ABC的周长是24，M为AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积为（ ） A．12 B．16 C．24 D．30


8、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，则BD ׃ DC等于（ ）

A． B． C．

D．


9、如图，已知AB∥DE ,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则∠BCD的值为（ ）

A．20° B．30° C．40° D．70°




~
10、关于x的不等式x－m＞0，恰有两个负整数解，则m的取值范围是（ ） A．-3＜m＜-2 B．-3≤m＜-2 C．-3≤m≤-2 D．-3＜m≤-2




~
第II卷（非选择题）


评卷人

得分
二、填空题（题型注释）

11、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则= ．


12、如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°，设AD、BC延长线交于E，则∠AEB=______．

13、如图，在矩形ABCD的边AB上有一点E，且，DA边上有一点F，且EF＝18，将矩形沿EF对折，A落在边BC上的点G，则AB= ________．

14、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=15，E、F分别为矩形外两点，DF="BE=" 4，AF=CE=3，则EF等于____．

15、如图，已知M（3，3），⊙M的半径为2，四边形ABCD是⊙M的内接正方形，E为AB中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，△OME的面积最大值为________．



~
16、如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在y轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数的图象过点B、E．则 AB的长为________．
22
17、分解因式9－6y－x+y=________．

18、当x=a或x=b（a≠b）时，代数式x－4x+2的值相等，则当x=a+b时，代数式x－4x+2的值为________．
22

评卷人

得分

三、解答题（题型注释）

19、如图，在直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B，平行四边形ABCD中，D（6，0），函数y=x+m图象过点E（4，0），与y轴交于G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发，同时，以P为圆心的圆，半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小，设运动时间为t． （1）若⊙P与直线EG相切，求⊙P的面积；
（2）以CD为边作等边三角形CDQ，若⊙P内存在Q点，求t的取值范围．


~

20、已知二次函数y=ax－4ax+a+2（a＜0）图像的顶点G在直线AB上，其中A（-，0）、B（0，3），
对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数y=ax－4ax+a+2的关系式；
（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；
2222（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜ x ≤时，抛物线y随x增大而增大，若存在，求出所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

21、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是AC上一点，过P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△EPD.（设AP=x） （1）若点E落在边BC上，求AP的长； （2）当AP为何值时，△EDB为等腰三角形．

22、据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点作横轴的垂线，梯形OABC在直线左侧部分的面积即为t（小时）内污染所经过的路程S（千米）． （1）当时，求的值；
（2）将随变化的规律用数学关系式表示出来（t≤30）；
（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地174 km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城，

~
如果会，在河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城？如果不会，请说明理由．

23、如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE. (1 求证：AG与⊙O相切；
(2若AC＝5，AB＝12，BE＝，求线段OE的长．

24、已知关于x的方程只有一个实数根，求实数a的值．

25、一个暗箱中有大小相同的1只黑球和n只白球（记为白1、白2、…、白n），每次从中取出一只球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2只球，而乙是从暗箱中一次性取出2只球．
（1）若n=2，分别求甲取得3分的概率和乙取得3分的概率；（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）
（2）若乙取得3分的概率小于，则白球至少有多少个？（请直接写出结果）

, 求m的值．
26、已知关于x的不等式≤的解是x≥


~
27、如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CN // AB，DN交AC于点M，MA = MC．求证：CD = AN．

28、（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中a =.



~
参考答案
1、A

2、C

3、D

4、A

5、D

6、C

7、C

8、D

9、C

10、B

11、－b

12、21°

13、5

14、

15、3


~

16、

17、(3-y+x(3-y-x

18、2

19、（1）⊙P的面积为π；
－1.
（2）t的取值范围是0＜t＜4(
20、（1）二次函数关系式为y=－x+4x+3；
2（2）P（，），
（3）m取－2、－1

21、（1）AP的长为； （2）当AP=、、时，△EDB为等腰三角形．

22、（1）s的值为6；
（2）综上可知s＝（3）河流污染发生28h后将侵袭到乙城.


23、（1）证明见解析；
（2）OE的长为.


~

24、当a=，1，5时原方程只有一个实数根

25、（1）树状图见解析，甲取得3分的概率（2）39 .
，乙取得3分的概率；

26、m=－

27、证明见解析.

28、（1）－5；（2）原式= ，当a=2时，原式=

【解析】
1、设内部有m个点，则能把原四边形分割成n个 没有重叠的小三角形（2m+2）个.故选A.

2、

故选C.


3、由题意得：


故选D.

4、若点P在第一象限，则
，无解.故选A.

~

5、设原价为a,则一月份价格为1.1a,二月份价格为0.99a，则三月份为 ，这种商品从原价到三月底的价格上升了.8.9%.故选D.

6、原方程可化为若 解得：

，则方程有四个实数根
方程必有一个实数根等于0


解得： ，故选C.

7、由题意得：则解得：两直角边为6和8 ,故选C. 为直角三角形.且

,

8、设CD=

故选D.





~
9、延长ED交BC于点E,
故选C.


10、解不等式得，
，恰有两个负整数解
，则 .故选B.

11、试题分析：首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．根据数轴可得：b＞0，a＜0，且﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b，
考点：实数与数轴；二次根式的性质与化简
＞，∴a﹣b＜0，则原式=
12、作 ，过D作BC的平行线交BC于点G,连接AG, 则四边形BCDG为平行四边形
为菱形
∠BCD=162°




13、作 ,设

得：
，
，易得：


~


在 中

得：


14、由题意得： 都是直角三角形. ,




15、当
时，


16、由题意得：
设
，则
则


17、

18、由题意得：
则x2－4x+2=2


，得
~

19、解：（1）函数y=x+m图像过点E（4，0），∴m=－3，G（0，－3）, ⊙P与直线EG相切，作⊥EG于H，则PH=6－t，P（0，2t）, 由Rt△PHG∽Rt△EOG可得：
，，∴ t=, ∴⊙P半径为6－=,

⊙P面积为（2）由y=π,
x+3图像与x轴、y轴分别交于A、B，
），C（9，3）, ∴A（－3，0），B（0，3∵ tanA==，∴∠A=60° 以CD为边作等边三角形CDQ，∠D=∠A=60°CD=AB=6， ∴Q1（3，3），Q2（12，0） 显然Q（0）不可能在⊙P内, 212，若Q1（3，3）在⊙P内，则可得：PQ1＜r（半径），

∵P（0，2t），r=6－t, 即：9+(2t－3＜(6－t , t－（4222－4）t＜0, －∵ t＞0，∴ t－（4－4）＜0 即t＜4(1,

∴t的取值范围为0＜t＜4(－1.

20、解（1）由A（－，0）、B（0，3），可设直线AB：y=kx+3，
从而得，k="2," ∴y=2x+3，

222抛物线y=ax－4ax+a+2的顶点G（2，a－4a+2）, 2点G在直线AB上，∴ a－4a+2=4+3，∴a=－1，a=5（舍去）, 2二次函数关系式为y=－x+4x+3. （2）∵AP平分四边形GAEP的面积， ∴2S△AEP=S四边形GAEP，


~
设P（t，－t+4t+3）， 2∴ 2×（2+）（－t+4t+3）=2×7×（2+）+×7×（t－2）
∴ 2t－6 t－3=0，∴t1=（3）抛物线与x轴交点C（2－2， t2=（舍去）∴P（，0）， ＜x≤2,
，），

，0），D（2+在x轴上方，抛物线y随x增大而减大，则2－又∵＜ x≤, ∴，得：4－3≤m≤－,

∵整数m为整数，∴m为－3，－2、－1．
又∵＜，m＞－．

∴m取－2、－1.

21、解：（1）由题意，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10 ∵ AP=DE=x，∴AD=PE=x，PD=x， 点E落在边BC上，PE∥AB，∴=，∴=
∴ x=

（2）∵△EDB为等腰三角形
①若DE=EB（如图）作EM⊥AB于M，则DM=DB=PE=AD=，
∴x=，∴ x=，∴AP=

②若BD=DE（如图）
x=10－x，解之x=，∴AP=。③若BE=BD（如图）
∵DE∥AC， ∴DE⊥BC，


~
又∵BE=BD ∴DN=DE=AP=x ∵Rt△ADP∽Rt△DNB ∴，∴，∴x=，∴AP=
综上，当AP=、、时，
△EDB为等腰三角形．

22、解：(1由图象可知；当t＝3时，v＝2×3＝6， 所以s＝×2×6＝6. (2当0≤t≤5时，s＝·t·2t＝t2；
当5＜t≤10时，s＝×5×10＋10(t－5＝10t－25； 当10＜t≤30时，s＝×5×10＋10×5＋(t－10×10－×(t－10×＝－t2＋15t－50.

综上可知s＝

(3当t∈[0，5]时，S2max＝5＝25＜174. 当t∈(5，10]时，Smax＝10×10－25＝75＜174.

当t∈(10，30]时，令－t2＋15t－50=174，
解得t1＝28，t2＝32，10＜t≤30，故t＝28， 所以河流污染发生28h后将侵袭到乙城.

23、解：(1 证明：如图



－10

(t
~
连接OA，∵OA＝OB，GA＝GE，
∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE.
∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠ABO＋∠BEF＝90°. 又∵∠BEF＝∠GEA，∴∠GAE＝∠BEF. ……………2分 ∴∠BAO＋∠GAE＝90°，∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切
(2解：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵AC＝5，AB＝12，∴BC＝13. ∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC， ∴△BEF∽△BCA.
∴＝＝，∴EF＝ ，BF＝4，
∴OF＝OB－BF＝－ 4＝ . ∴OE＝＝.

24、解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△="4（2a－1），" （1）当△=0，即a=时，显然x=是原方程的解．
（2）当△＞0，即a＞时，x1=（1+），x2=（1－），显然x1＞0，∴x1≠－1，x1≠0，它是原方程的解，
∴只需x2=0或－1时，x2为增根，此时原方程只有一个实数根，
∴当x2=0时，即（1－）=0，得：a=1；
当x2=－1时，即（1－）=－1，得：a=5.
综上，当a=，1，5时原方程只有一个实数根.

25、（1）得3分，即为黑球、白球各1个， 甲从暗箱中有放回地依次取出2只球， 第一次： 第二次： 取得3分的概率， 乙是从暗箱中一次性取出2只球. 第一次： 第二次：



甲
~
∴乙取得3分的概率， （2）（，n>38） 39 .

26、解: 原不等式可化为: 4m+2x≤12mx－3 即 (12m－2x≥4m+3

又因原不等式的解为x≥比较得: = , 即6x≥1, , 解得 m=－

27、证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，

∵在△AMD和△CMN中，，

∴△AMD≌△CMN（ASA）

∴AD=CN， 又∵AD∥CN， ∴四边形ADCN是平行四边形， ∴CD=AN

28、（1） 原式==－5 －1－4－2×

（2）原式=当a=2时，原式==





本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b5630360720abb68a98271fe910ef12d2af9a9af.html

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