2020年达州市宣汉县中考数学模拟试卷（5月）含答案解析

2020年四川省达州市宣汉县中考数学模拟试卷（5月份）

一、细心填一填（本大题共10小题，每小题4分，共40分．直接把答案填在题中的横线上．）

1．﹣3的相反数是　　　　　　．

2．2009年莆田市参加初中毕业、升学考试的学生总人数约为43 000人，将43 000用科学记数法表示是　　　　　　人．

3．在组成单词“Probability”（概率）的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是　　　　　　．

4．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=　　　　　　m．

5．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为　　　　　　克．

6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　　　　　　，使得该菱形为正方形．

7．甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得S甲2＜S乙2，则成绩较稳定的同学是　　　　　　．

8．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是　　　　　　．

9．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6﹣x）个，则当x=　　　　　　元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．

10．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S5的值为　　　　　　．

二、精心选一选（本大题共6小题，每小题4分，共24分，每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，答对的得4分；答错、不答或答案超过一个的一律得0分）．

11．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥0 B．x＜0 C．x≠0 D．x＞0

12．下列各式运算正确的是（　　）

A．a2÷a2=a B．（ab2）2=a2b4 C．a2•a4=a8 D．5ab﹣5b=a

13．如图是一房子的示意图，则其左视图是（　　）

A． B． C． D．

14．某班5位同学参加“改革开放30周年”系列活动的次数依次为：1、2、3、3、3，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．2、2 B．2.4、3 C．3、2 D．3、3

15．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

16．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（　　）

A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处

三、耐心做一做（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．计算：|3﹣|﹣+（）0．

18．先化简，再求值：，其中x=1．

19．已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△　　　　　　≌△　　　　　　，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

20．（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母：（直接在图1中画图）

①以已知线段AB（图1）为直径画半圆O；

②在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接AC、BC；

③过点O画OD∥BC交半圆O于点D．

（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）

已知：∠AOB（图2）．

求作：∠AOB的平分线．

21．某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．

请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）该课题研究小组共抽查了　　　　　　名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b=　　　　　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校九年级共有400名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）约有　　　　　　名．

22．已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．

（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①　　　　　　，②　　　　　　，③　　　　　　，④　　　　　　（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

（2）∠A=30°，CD=，求⊙O的半径r．

23．面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40 000元、电视机总额为15 000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？

（1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格：

（2）列出方程（组）并解答．

24．已知：等边△ABC的边长为a．

探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；

探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．

①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；

②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

25．已知，如图1，过点E（0，﹣1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为﹣1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标；

（2）求证：CF⊥DF；

（3）点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年四川省达州市宣汉县中考数学模拟试卷（5月份）

参考答案与试题解析

一、细心填一填（本大题共10小题，每小题4分，共40分．直接把答案填在题中的横线上．）

1．﹣3的相反数是　3　．

【考点】相反数．

【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．

【解答】解：﹣（﹣3）=3，

故﹣3的相反数是3．

故答案为：3．

2．2009年莆田市参加初中毕业、升学考试的学生总人数约为43 000人，将43 000用科学记数法表示是　4.3×104　人．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中43 000有5位整数，n=5﹣1=4．

【解答】解：43 000=4.3×104人．

3．在组成单词“Probability”（概率）的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是　　．

【考点】概率公式．

【分析】让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．

【解答】解：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种，故其概率是．

4．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=　40　m．

【考点】三角形中位线定理．

【分析】根据题意直接利用三角形中位线定理，可求出AB．

【解答】解：∵E、F是AC，AB的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF=AB

∵EF=20m，

∴AB=40m．

故答案为40．

5．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为　2　克．

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】关键描述语是：蛋白质含量≥0.4%，求蛋白质的含量至少应为多少克，根据题意列出不等式即可．

【解答】解：设蛋白质的含量至少应为x克，依题意得：

≥0.4%，

解得x≥2，

则蛋白质的含量至少应为2克．

6．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：　AC=BD或AB⊥BC　，使得该菱形为正方形．

【考点】正方形的判定；菱形的性质．

【分析】根据正方形判定定理进行分析．

【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；

根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；

故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．

7．甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得S甲2＜S乙2，则成绩较稳定的同学是　甲　．

【考点】方差．

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

【解答】解：由于S甲2＜S乙2，则成绩较稳定的同学是甲．

故填甲．

8．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是　相交　．

【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】本题可根据方程解出两个半径的值，将两个半径的和或差与圆心距比较，若d＞R+r则两圆相离，若d=R+r则两圆外切，若d=R﹣r则两圆内切，若R﹣r＜d＜R+r则两圆相交．本题可把半径的值代入，看符合哪一种情况．

【解答】解：解方程（x﹣1）（x﹣2）=0，得x1=1，x2=2，

∵2﹣1=1＜2＜2+1=3，

所以两圆相交．

故答案为：相交．

9．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6﹣x）个，则当x=　3　元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．

【考点】二次函数的应用．

【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可．

【解答】解：由题意可得函数式y=（6﹣x）x，

即y=﹣x2+6x，

当x=﹣=﹣=3时，y有最大值，

即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．

10．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S5的值为　　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】根据反比例函数中k的几何意义再结合图象即可解答．

【解答】解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=|k|．

∴S1=1，S△OA2P2=1，

∵OA1=A1A2，

∴S△OA2P2=，

同理可得，S2=S1=，S3=S1=，S4=S1=，S5=S1=．

二、精心选一选（本大题共6小题，每小题4分，共24分，每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，答对的得4分；答错、不答或答案超过一个的一律得0分）．

11．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥0 B．x＜0 C．x≠0 D．x＞0

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接解答．

【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，

可知：x≥0时，二次根式有意义．故选A．

12．下列各式运算正确的是（　　）

A．a2÷a2=a B．（ab2）2=a2b4 C．a2•a4=a8 D．5ab﹣5b=a

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．

【分析】根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．

【解答】解：A、根据同底数幂的除法，底数不变指数相减得，a2÷a2=a0=1，故本选项错误；

B、（ab2）2=a2b4，正确；

C、根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加得，a2•a4=a6，故本选项错误；

D、5ab与5b不是同类项，不能合并，故本选项错误．

故选B．

13．如图是一房子的示意图，则其左视图是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】先细心观察原立体图形的位置，从左边看，是大矩形中间有一个小矩形．

【解答】解：从左边看，是大矩形中间有一个小矩形，故选C．

14．某班5位同学参加“改革开放30周年”系列活动的次数依次为：1、2、3、3、3，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．2、2 B．2.4、3 C．3、2 D．3、3

【考点】众数；中位数．

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；处于这组数据中间位置的那个数是3，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是3．

【解答】解：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；

处于这组数据中间位置的那个数是3，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是3．

故选D．

15．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】先解不等式组得到﹣1＜x＜2，然后根据在数轴上表示不等式的解集即可得到答案．

【解答】解：解不等式2x＜4得，x＜2；

解不等式x+1＞0得，x＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．

故选A．

16．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（　　）

A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．

【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；

到Q点以后，面积y开始减小；

故当x=9时，点R应运动到Q处．

故选C．

三、耐心做一做（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．计算：|3﹣|﹣+（）0．

【考点】零指数幂；绝对值；算术平方根．

【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、算术平方根．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．注：；； =1．

【解答】解：原式==．故答案为﹣．

18．先化简，再求值：，其中x=1．

【考点】分式的化简求值．

【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．

【解答】解：原式=

=1﹣x，

当x=1时，原式=1﹣1=0．

19．已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．

（1）观察图形并找出一对全等三角形：△　　≌△　　，请加以证明；

（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．

【分析】（1）本题要证明如△ODE≌△BOF，已知四边形ABCD是平行四边形，具备了同位角、内错角相等，又因为OD=OB，可根据AAS能判定△DOE≌△BOF；本题还可证明①△BOM≌△DON；②△ABD≌△CDB；

（2）平行四边形是中心对称图形，这三对全等三角形中的一个都是以其中另一个三角形绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．

【解答】解：（1）△DOE≌△BOF；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．

又∵OD=OB，

∴△DOE≌△BOF（AAS）．

①△BOM≌△DON．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∴∠MBO=∠NDO，∠BMO=∠DNO．

又∵BO=DO，

∴△BOM≌△DON（AAS）．

②△ABD≌△CDB．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=CB，AB=CD．

又∵BD=DB，

∴△ABD≌△CDB（SSS）．

（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．

20．（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母：（直接在图1中画图）

①以已知线段AB（图1）为直径画半圆O；

②在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接AC、BC；

③过点O画OD∥BC交半圆O于点D．

（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）

已知：∠AOB（图2）．

求作：∠AOB的平分线．

【考点】作图—基本作图．

【分析】（1）找出AB的中点，以其为圆心0.5AB长为半径画圆即可；在半圆O上取不同于点A、B的一点C，连接线段AC、BC；利用同位角相等，两直线平行即可作出BC的平行线OD；

（2）利用基本作图中的“作一个角等于已知角”即可．

【解答】解：（1）正确完成步骤①、②、③，各得，字母标注完整得，满分；

（2）说明：①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于两点C、D；

②分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；

③作射线OE．

21．某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．

请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）该课题研究小组共抽查了　80　名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b=　40%　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校九年级共有400名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）约有　380　名．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．

【分析】（1）由总人数=某级人数÷所占比例计算总人数及某级人数所占比例；

（2）用样本估计总体首先根据样本求得达标率，然后乘以总人数400即可求得．

【解答】解：读图可知：

（1）A级有20人，占25%，则共抽查了：20÷25%=80（人）；

B级占1﹣25%﹣30%﹣5%=40%；

（2）C级占30%，有80×30%=24（人）．如图：

（3）80人中，有20+37+24=76（人）达标，据此可推测九年级共有400名同学，应有400×=380（人）达标．

22．已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．

（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①　　，②　　，③　　，④　　（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

（2）∠A=30°，CD=，求⊙O的半径r．

【考点】切线的性质；直角三角形全等的判定；圆周角定理．

【分析】（1）由BC是⊙O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；

（2）当∠A=30°时BD=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中tan60°可求得r=2．

【解答】解：（1）BC⊥AB，AD⊥BD，DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF=∠BEF，∠A=∠E，DE∥BC等；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵∠A=30°，

∴BD=ABsinA=ABsin30°=AB=r；

又∵BC是⊙O的切线，

∴∠CBA=90°，

∴∠C=60°；

在Rt△BCD中，

CD=，

∴=tan60°，

∴r=2．

23．面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40 000元、电视机总额为15 000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？

（1）设购买电视机x台，依题意填充下列表格：

（2）列出方程（组）并解答．

【考点】分式方程的应用．

【分析】（1）每台的补贴返还总额=原价每台的购买金额×13%，补贴返还总额=每台的返还额×购买数量；

（2）由（1）分析的等量关系已经关键语“每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元”就可得出方程．

【解答】解：（1）

（2）解：依题意得﹣，

解得x=10，

经检验x=10是原分式方程的解，

∴购买冰箱量为2x=20台．

答：冰箱、电视机分别购买20台、10台．

24．已知：等边△ABC的边长为a．

探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；

探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．

①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；

②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

【考点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形．

【分析】（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；

（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；

判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．

【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°．

∵BC⊥MN，BA⊥MG，

∴∠CBM=∠BAM=90°．

∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．

∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．

同理：∠N=∠G=60°．

∴△MNG为等边三角形．

在Rt△ABM中，BM=a，

在Rt△BCN中，BN=a，

∴MN=BM+BN=a．

（2）②：结论1成立．

证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，

∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，

∴△AGH是等边三角形，

∴GH=AH．

∵OE⊥BC，

∴OE∥HM，

∴四边形OEMH是矩形，

∴HM=OE．

在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG，

在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH，

在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC，

∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH

=（GH+HC）=AC=a．

（2）②：结论2成立．

证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：

BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，

CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，

AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，

①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，

∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD•a+AD2+a2﹣2BE•a+BE2+a2﹣2CF•a+CF2

整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．

25．已知，如图1，过点E（0，﹣1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为﹣1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标；

（2）求证：CF⊥DF；

（3）点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）有两种方法，方法一是传统的点的待定系数法，方法二，通过作辅助线，构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标．

（2）也有两种方法，方法一，在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF；方法二利用几何关系求出∠CFD=90°；

（3）求存在性问题，先假设存在，看是否找到符合条件的点P的坐标，此题分两种情况；（1）Rt△QPO∽Rt△CFD；（2）Rt△OPQ∽Rt△CFD，根据比例求出P点坐标．

【解答】解：

（1）方法一：如图1，当x=﹣1时，y=；当x=4时，y=4

∴A（﹣1，）

B（4，4）

设直线AB的解析式为y=kx+b

则

解得

∴直线AB的解析式为y=x+1

当x=0时，y=1∴F（0，1）

方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x

∵△BGF∽△BHA

∴

∴

解得x=1

∴F（0，1）

（2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，

根据勾股定理得：CF2=CE2+EF2=12+22=5，

∴CF=

在Rt△DEF中，DE=4，EF=2

∴DF2=DE2+EF2=42+22=20

∴DF=2

由（1）得C（﹣1，﹣1），D（4，﹣1）

∴CD=5

∴CD2=52=25

∴CF2+DF2=CD2

∴∠CFD=90°

∴CF⊥DF

方法二：由（1）知AF=，AC=

∴AF=AC

同理：BF=BD

∴∠ACF=∠AFC

∵AC∥EF

∴∠ACF=∠CFO

∴∠AFC=∠CFO

同理：∠BFD=∠OFD

∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°

即CF⊥DF

（3）存在．

解：如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M

又∵PQ⊥OP

∴Rt△OPM∽Rt△OQP

∴∴

设P（x， x2）（x＞0），

则PM=x2，OM=x

①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，

∴

解得x=2∴P1（2，1）

②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时， =2

∴=2

解得x=8

∴P2（8，16）

综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．

2020年8月1日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b4d89a3c0875f46527d3240c844769eae109a34f.html