广东省潮州市松昌中学2016届高三第一次统测文科数学试卷

广东省潮州市松昌中学2016届高三第一次统测

文科数学试卷

参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．i为虚数单位，＝

A．－1 B．1 C． D．

2．设集合，，则等于

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则实数的值为

A． B． C． D．

4．双曲线的焦距为

A. B. C. D.

5．在等比数列中，，则=

A． B． C． D．

6．“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．为了得到函数的图象，可以把函数的图象上所有的点

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

8．已知实数、满足，则的最大值为

A． B． C． D．

9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．

根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程

现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为

A．67 B．68 C．68.3 D．70

A B C D

11．已知数列中，，设为数列的前项和，对于任意的都成立，则=

A． B． C． D．

12．对于实数a和b，定义运算“*”： *

设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的

实数根，，，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．若直线与圆＝1相切，则＝_***_.

14．如图是一个算法的程序框图,最后输出的= *** ．来源

15．已知，则_***_．来源

16．已知曲线（其中为自然对数的底数）在

处的切线的倾斜角为，则实数的值是__***__．

三、解答题：本大题共8小题，考生作答6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知的内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，求的面积．

18．（本小题满分12分）

某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中实数的值；

（2）若该校高一年级共有学生640人，

试估计该校高一年级期中考试数学成绩不

低于60分的人数；

（3）若从数学成绩在[40，50）与

[90，100]两个分数段内的学生中随机选

取两名学生，求这两名学生的数学成绩

之差的绝对值不大于10的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，四边形是正方形，△与△均

是以为直角顶点的等腰直角三角形，

点是的中点，点是边上的任意一点.

（1）求证：.

（2）若，求三棱锥的体积；

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的左右焦点分别为、，点在椭圆上，且与轴垂直。

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

21．（本小题满分12分）

已知.

（1）讨论的单调性；

（2）求在区间上的最大值.

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是∠BAC的

平分线，交圆O于D，过B作直线BE交AD延长线于E，

使BD平分∠EBC．

（1）求证：BE是圆O的切线；

（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.

坐标系与参数方程在直角坐标系中,圆的参数方程（为参数).以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求圆的极坐标方程；

(Ⅱ)求曲线与圆的交点的极坐标.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

松昌中学2016届高三年级第一次统测文科数学

参考答案与评分标准

一、 选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．

二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．

13． 14. 22 15、 16.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（1）由，及正弦定理得

……2分

又在中，，得

则 ……4分

又，所以 ……6分

（2）由余弦定理，得 ……7分

而

得，即 ……9分

因为，所以. ……10分

故ABC的面积为. ……12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，

所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．……1分

解得a=0.03． ……2分

（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为

1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．……3分

由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人．……5分

（3）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．……6分

成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．……7分

若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．……9分

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．……11分

所以，所求概率为．……12分

19．（本小题满分12分）

（1）证明：∵四边形是正方形 ∴ ………1分

∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形

　　　　 ∴，， ………2分

又∵ ∴

又∵平面，平面

∴平面 ………4分

又∵平面， ∴ ………5分

又∵点是的中点 ∴ ………6分

又， ∴平面

又平面， ∴ ………7分

（2）解：由（1）知，平面，

则平面，即平面 ………8分

又∵，，

∴

∴

又， ∴ ………10分

∴

即三棱锥的体积为. ………12分

20．（本小题满分12分）

解：（1）有已知：，，………1分

则，………3分

∴，， ………4分

故椭圆方程为 ………5分

（2）设直线：，………6分

把代入得 ………8分

故 ………10分

于是，直线OM的斜率，即

所以直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值. ………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）的定义域为， ………………1分

① 若，则，在上单调递增；………………2分

②若，由，得 ………………3分

则当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；………………5分

综上，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.………6分

（2）由（1）知

①若，在上单调递增，则；………7分

②若，即，在上单调递增，

则； ………………8分

③若，即，在上单调递增，在上单调递减，

则； ………………10分

④若，即，在上单调递减，

则； ………………11分

综上，在区间上的最大值为.……12分

22. （本小题满分10分）

（1）证明：连接BO并延长交圆O于G，连接GC，

∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，

∴∠EBC=∠BAC．

又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，………………2分

∵BG是圆O的直径，∴

∴∠GBC+∠BGC=90°， ………………3分

∴∠GBC+∠EBC=90°，即

∴OB⊥BE． ………………4分

又点B在圆O上

∴BE是圆O的切线． ………………5分

（2）由（1）知

则△BDE∽△ABE，………………6分

∴ ，………………7分

又AE=6，AB=4，BD=3，∴ ………………8分

由切割线定理得BE2=DE•AE，………………9分

∴．………………10分

23．（本小题满分10分）

解：(Ⅰ)圆C的普通方程是，………………………2分

又，

所以圆C的极坐标方程是 ………………………5分

(Ⅱ)因为曲线的普通方程为 ………………………7分

联立方程组

解得，所以交点的直角坐标为………………………9分

所以所求交点的极坐标为 ………………………10分

解法2：把代入得………………7分

解得，或

又，则 ………………………9分

所以所求交点的极坐标为 ………………………10分

24. （本小题满分10分）

解：（Ⅰ）当时， ……………………2分

则或或……………………4分

或或 ………5分

所以，所求不等式的解集为.

另解：当时， ……………………1分

由绝对值的几何意义知，对应点到对应点的距离之和为3，……3分

则不等式的解集为.……………………5分

（Ⅱ）不等式对任意恒成立…………………6分

∵ ……………………8分

∴，即或

所以实数的取值范围为. ……………………10分

松昌中学2016届高三第一次统测文科数学

客观题详解

1、C 解析：.

2、B 解析：，则.

3、A 解析： ，则，得.

4、C 解析：，则焦距为.

5、D 解析：由，得，则.

6、B 解析：由，得，而不能推出，

可推出，则“”是“”的必要不充分条件.

7、D 解析：，故可以把函数的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象.

8、C 解析：将不等式组表示平面区域的顶点（0，-1）、（0，2）、代入目标函数，可知.

9、B 解析：样本点的中心在回归直线上，可得.

10、C 解析：由俯视图、侧视图可知，该几何体是将长方体的右后上角挖去得到的.

11、B 解析：由当时，，得

即；又，则数列从第二项起是公差为2的等差数列；

故.

12、A 解析：由已知得，，

不妨设，三个互不相等的实数根，

则由得；由，及韦达定理得；

故，而由的图象，可知，所以，.

13、解析：由已知得，，解得.

14、解析：第1次执行循环体后，；第2次执行循环体后，；第3次执行循环体，得，即退出循环结构，得输出.

15、解析：由为锐角，得，又，得

，则

.

16、解析：，则，得.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b2e7d2556137ee06eef9187e.html