教学案例分析

案例1 面对学生的奇思妙想

刚上中学的初一学生也有奇思妙想？先看一段课堂记录：

师：解方程0.5x=1时，先两边同除以0.5，把左边变为1·x，即x，这时右边为1÷0.5=1×2=2，所以x=2。

A：老师，我只要两边同时乘以2，马上就得到x=2，蛮简单。（生A兴趣很浓，高兴地向老师宣布他的新“发现”。）

师：你的结果是对的。但以后要注意，刚学新知识时，记住一定要按课本上的格式和要求来解，这样才能打好基础。（生A兴冲冲地等待表扬，但听了老师“语重心长”的教训后，灰溜溜地坐下，以后的三十多分钟里一言不发，下课后仍是满不服气的样子。）

还是这一节课，讲方程：时，“安静”了一会的学生中再一次出现了不和谐的音符：

B：老师，我还没有开始计算，就已看出来了，x=1！（B有点“情不自禁”了，还得意地环视周围的同学。）

师：光看不行，要按要求算出来才算对。（老师示意该学生坐下算，并请另一名学生回答，这名同学按课本上的要求解完了此题，老师表扬了这名同学。）

C（课代表）：我还可以只移项不合并。按乘法分配律可得：

……

（感觉到老师并不喜欢这一方法，学生C迟疑了，老师请该生坐下）。

看到自己心爱的弟子也不守“规矩”，老师只好亲自板演示范，并特别提醒学生一定要养成按规定格式解题的习惯。

下课后，我找到学生C，问他怎样想到上述思路的，现在解出来了吗？他说：“我听了学生B的发言后，看出可以把x与1，与放到一起，将x－1看成一个字母。可老师说这个方法不好，我就没有解下去了。”

以上是发生在初一“一元一次方程”的一节习题课上的事情。听课时，我几次为学生的奇思妙想而激动，学生们小小年纪竟蕴藏着这么大的创新潜能！他们凭直觉可猜出结果，能看透题目的实质。相比之下，我为老师感到遗憾，学生偶尔闪现的创造性思维火花不仅没有得到呵护，反而被老师几句不经意的评价而扑灭。殊不知，这时正是形成教学高潮的最佳时机，只要引导得法，不仅可以“打好基础”，而且可以大大激发学生的探索欲望，培养学生的创新意识和能力。

社会正在呼吁学校要加强培养学生的创新意识和能力，可有时我们却在无情地扼杀学生的创新萌芽，这种现象值得我们反思。我认为：

1．教师要转变教学观念，让学生主动学习

现代认知心理学认为，学习过程是学习主体对学习客体主动探索，不断改进已有认识和经验，建构自己认知结构的过程，而不是通过静听、静观、死练来接受现有知识的过程。所以，教学中要以学生主动探索发现和解决问题为立足点，让学生对学习对象主动操作、亲身体验，改造已有认知结构。

2．教师要创设民主的教育环境。

一个班级几十名学生，学生的个性、爱好各异，教师应以一种平等、宽容、引导的心态来对待每个学生，使学生的身心得以自由地表现和发展。教学中，老师要允许学生发表与自己不同的意见，即使学生的想法错了也应保护和鼓励他们探索的积极性。民主的教育氛围是挖掘学生创新潜能的必要环境，而奇思妙想甚至错误的观点往往可能成为创新的催化剂。

3．教师要把“通法”教活，不可使“通法”变成“笨法”

数学教学强调“通法”和训练扎实的基本功是必要的。在技能形成的初级阶段，让学生套用程式，模仿练习，以熟悉技能也是应该的。但要达到熟练水平，不是每一个学生都需要完成同样多的基础训练，熟练也不一定就能生巧，关键还是在于领会“通法”的实质，灵活运用。解方程0.5x=1，两边是同乘以2还是同除以0.5只是手段而已，目的在使x的系数变为1。所以学生A和C的解法都是“通法”的活用。一味强调机械套用“通法”，那么，“通法”可能会成为“笨法”。

4．教师要适当教一些奇思妙解

教学应以教“通法”为主，但在掌握“通法”的基础上，为了培养学生思维的灵活性，引导学生追求数学美，可以精选少量奇思妙解的习题穿插于教学之中，通过分析和讲评，渗透创新意识，激发学生兴趣，形成学生主动参与、探索的教学氛围。当然，这类问题要在常规中隐含特殊，于“通法”中引出巧解，切不可片面为追求新奇而放弃本质的东西。

案例2 公开课上的多媒体包袱

现在，教师在教学中运用多媒体已经和上课讲普通话一样几乎成为参加教学评比的必要条件了。也许评审专家的初衷是要推动和鼓励新技术在教学实践中的应用，但千篇一律结合多媒体的做法实在令许多教师感到是一种包袱。下面是我参加一次公开课评比活动的经历，愿与大家一起分享。

经过抽签，我公开课的课题是初一年级的“不等式的性质——对称性”：

a－b ＞0 a＞b

a－b=0 a =b

a－b＜0 a＜b

根据以往的要求，我经历一夜的奋战，用PowerPoint、Word、Authorware等软件精心设计了一个多媒体课件，教学过程如下：

其中的实验部分我为每个学生预先准备了10颗珠子和一架天平。

第二天上课，看到桌上摆放着的珠子和天平，学生们非常兴奋，但纪律显得有些乱。我用多媒体演示了课题之后就进入了实验部分。

T：请同学们做一个实验，在天平的一边放8颗珠子，另一边放2颗珠子，说出你们的实验结论。

S（学生立即动手，并很快得出结论）：8＞2

T：现在两边同时取掉两颗珠子，请写出你们的实验结论。

S：8－2=6＞0=2-2（有的写成：6＞0，8－2＞0，等等。）

T：请同学们用同样的方法再得出一些类似的式子，想一想，这些式子的共同规律是什么？

（学生们很活跃，得出了很多类似的式子。听课的老师和评委们走近学生，看他们做实验）

S（有的学生可能预习过，很快就得出了结论）：共同规律是

a－b＞0 a＞b

我继续引导，学生们很快得出了另外两个结论：

a－b=0 a=b

和 a－b＜0 a＜b

到此，原定计划是利用多媒体课件证明不等式的对称性，我看学生对实验这么感兴趣，就灵机一动，临时改变一点计划，把学生分成几组，要求通过实验得出一个问题，考考其他组的同学。很快形成了小组之间的竞争局面……

第三组：请第二组回答x+5与5谁大？

第二组齐答：x+5＞5。

听课老师脸色大变，议论纷纷，领导和评委也窃窃私语……真没想到，这点小小的发挥让我乱了方寸，我的第一反应是：设计好的多媒体课件无法派上用场了。

我只得问第三组：“你们刚才出的题中，你们自己的答案也是x+5＞5吗？”他们毫不迟疑地答道：“那还有错！”多么坚定的回答。我不得不正本清源，暂时放弃继续使用多媒体课件的念头。

T：那你们是怎么设计出这个题目的呢？

S：我们在设计a=b的实验时，每边放了5颗珠子，一个同学无意中将笔头掉了下去，我们就想到了这个题。

T：笔头有重量吗？

S：当然有！

T：那好，x+5中的x一定代表一个有重量的东西吗？

S：……

T：你们现在知道怎么一回事了吗？

S：……当x＞0时，有x+5＞5。……

S：……当x＜0时，有x+5＜5。……

S：……当x=0时，有x+5=5。……

我表扬了第三组，他们非常得意，真让我难忘。但我还是惦记着原先准备好的多媒体课件，我知道，如果再不用它就没有时间了。可第一组的同学还在迫不及待地举手要求发问。一个念头一闪而过：这下真乱套了，我的公开课很难得奖了。但覆水难收，我也只好豁出去了。

第一组：请问第四组，x与x+5谁大？

S1：当x＞0时，有x+5＞x。

S2：当x＜0时，有x+5＜x。

S3：当x＝0时，有x+5=x。

这样的回答自然又引起听课老师们的议论……

显然，第四组同学根本没有动脑筋，盲目套用上面的结论，好在许多学生很快就发现了问题。

S4：不对！无论x＞0、x＜0还是x=0，结果都是x+5＞x。

我顺势而为，问道：为什么结论用不着比较x的正负？

这一问，引起了学生的讨论和争论……

T：如果我们用a－b＞0 a＞b，即（x+5）－x=5＞0，我们发现什么？

S：它们的大小真与x的取值无关！

学生终于明白了其中的道理。但是公开课上未能充分运用多媒体的遗憾已是无法弥补了。

……

下课后，我看见评委们在激烈地议论，心理懊恼透了。然而，两天后公布的结果却出人意料，我竟然得了一等奖！

在颁奖大会上，评委们充分肯定了这节课，认为是“不拘形式，教师善于应变，非常自然，引出了学生探索真理的欲望……”

事后我才知道，评委们对这节课的争议还很大。有的评委认为，这节课未能充分发挥多媒体的作用，是失败的，根据运用现代教学技术的评比要求，不能作为一节优质课的典范。但也有评委认为，多媒体只是教学的辅助手段，虽然这节课没有充分应用多媒体，但教师应变力强，不拘形式，大胆自然，引出了学生探索真理的欲望，效果良好，也是我们应该倡导的。

我虽然很幸运地获了奖，但这堂课激起我许多思考，评价一堂课成功与否的标准应当是什么？现代教育技术在中学教学中的作用应当如何肯定？

案例3 提高复习课教学效率的实践案例

作为每一名教育工作者，我们要反思我们的教学：我们在复习课上讲练了那么多题目，效率到底如何？在复习课上，讲练的题目是否在于数量上的多多益善与难度上的越难越好？如果只是试图让学生见多识广，不触及学生的积极思维，那么这样的教学是低效的甚至是负效的。

几年来，我们一直在探索着如何提高复习课的教学效率？比如在一堂函数复习课上，我们从一道习题入手，课上引领着学生去思考，如何研究问题、解决问题。

复习题为：函数f (x) = ax2+bx+c（a＞b＞c），A（m1，f (m1)）、B（m2，f（m2））是该函数图像上两点，且满足，f（1）=0，a2+[f（m1）+f（m2）]·a+f（m1）·f（m2）=0。

[I] 求证：b≥0。

[II] 能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论。

一种教学方式是：先让学生思考题目，问一问同学们是怎么解的，教师讲解后，就转入下一题，这样一节课下来似乎讲了许多内容，但效果却不佳。近日，我们另辟蹊径，不是让学生模仿各种解题方法，而是通过选择思想方法深刻的典型题目，调动学生的思维，唤起学生积极主动的思考，让学生将学习数学的关注点放在思路上，而不是停留在解法上。课堂教学过程如下：

师：解决数学综合题，关键是找准解题的突破口和解题思路，往往从题目条件入手，分析题目所给的每一个条件都说明了什么问题？从哪一条件找到解决问题的突破口？由这些条件得到的结果与题目要求的结论有何关系？请同学们分析本题的已知条件，考虑从那一条件突破？

生1：由条件：a2+[f（m1）+f（m2）]·a+f（m1）·f（m2）=0。

因式分解得：[a+f（m1）]·[a+f（m2）]=0,得出：a=－f（m1）或a=－f（m2）

即－a = +bm1+c 或－a=+bm2+c，

师：很好！生1找到了解题的入口。得到的这两个式子能说明什么问题呢？

生2：即方程ax2+bx+c=－a必有实数根m1和m2。

师：对吗？确切的说是方程ax2+bx+c=－a必有实数根m1或m2，请同学们注意这一字之差的区别。

生2继续回答：∵ 方程ax2 ＋bx＋c =－a有实根，∴△=b2－4a（c+a）≥0。

即. b2≥4a（c＋a）。

师：这与我们要证明的“b≥0”的结论只差一步了，考虑还有哪个条件可用？

生3：∵ f（1）=a＋b＋c=0，a ＞b＞c，∴ a＞0，c＜0， b= －（a＋c）。

故，b2≥4a（－b），即b（3a－c）≥0。∵ 3a－ c＞0，∴ b≥0。

师：很好！这里我们利用题目所给的条件，利用一元二次方程根的判别式使问题I得以解决，下面我们来考虑如何解决问题II？

（沉默）……

（这时教师需适时点拨）

师：条件“f（1）=0”除了可以得到a＋b＋c=0外，还说明什么问题？

生4：方程f（x）=ax2＋bx+c = 0的一根为x = 1。

师：那么方程f（x）=ax2+bx+c=0的另一根是什么呢？能否用方程的系数a,b,c来表示。

生5：由韦达定理，x1x2=，知方程的两根为1，.

师：当已知两根时二次函数f（x）=ax2+bx+c的另一种表达方式是什么？

一些学生齐答：f（x）=a（x－1）（x－）。

师：请同学们继续往下思考，看能否找到问题II的解决办法？

生6：由问题I，若f（m1）= －a，则a（m1－1）（m1－）=－a＜0，那么＜m1＜1。

∵ a＋b＋c = 0，a＞b＞c， ∴ a ＞－a－c＞c，得到－2＜＜－。

∴ m1＞2，m1＋3＞1。

师：这一结论对于我们完成问题II是很有帮助的，

由于f（1）=0，要说明f（m1+3）＞f（1）=0，只需

判断出什么？

众生：函数f（x）的单调性！

生7：由于二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0）

f（1）=0，两根为，1，且＜1，如图，

则f（x）在[1，+]上单调递增，得f（m1+3）＞f（1）=0。

师：同理，当f（m2）=－a时，有f（m2+3）＞0，所以f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数。

至此，问题似乎得以圆满解决，但为了让每一个学生真正体会到问题解决的过程及思考问题的方法，接下来教师继续引领着学生进行解题后的回顾与反思。

师：请同学们回顾整个解题过程，反思本题解题的关键及切入点，谈自己的解题体会，还可以考虑是否还有其它方法？

………………………………

例8：本题的切入点是从方程a2 ＋ [f（m1）+f（m2）]·a+f（m1）·f（m2）=0入手，通过因式分解，构造关于x的方程，由根的判别式得出：

生9：本题利用条件a ＞b＞c及a＋b＋c=0得出a＞0，c＜0及－2＜＜，也是关键一步。

生10：由于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），f（1）=0，两根为，1且＜1，则f（x）在[1，+）上单调递增，可利用函数的单调性比较大小，关键是找出m1+3与1的大小关系。

生11：“A（m1，f（m1）、B（m2，f（m2））”这一条件实际上已经隐含地给出了A、B两点在函数y=f（x）的图像上的条件，所以题目中“A、B两点是该函数图像上的两点”的条件是多余的。

生12：看到第（II）问，我只想到了反证法，但一直没有证出来，通过这道题我学会了可以利用函数单调性来比较大小。

……

师：同学们以上的发言都很有见解，不仅找到了问题的关键及解决问题的切入点，而且他们的思维方式也非常动人。现在我们对于问题已经有了较深刻的认识，本题研究的是二次函数与二次方程根及不等式的问题，我们还可以从不同的角度去研究一元二次方程的根与二次函数的关系，请同学们继续思考，本题是否还有其它解法？

生13：要保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数，只需证出f（m1+3）+f（m2+3）＞0。

师：（补充）这是一个充分不必要条件。

生13：（继续）∵ a=－f（m1）或a=－f（m2），得方程ax2+bx+c=－a的两根为m1和m2，（笔者注：错解！）

由韦达定理得：m1+m2=，

而f（m1+3）=a（m1+3）2+b（m1+3）+c= +bm1+c+6am1+9a+3b

=－a+6am1+9a+3b=6am1+8a+3b，

同理：f（m2+3）=6am2+8a+3b。

则f（m1+3）+f（m2+3）=6a（m1+m2）+16a+6b=6a（）+16a +6b=16a＞0。

部分同学：（掌声）

生14：我还有方法：由于方程ax2+bx+c=－a的两根为m1和m2，

所以m1,2=。（笔者注：错解！）

易知两根中至少有一个为非负数，不妨设m1＞0，则m1+3≥3＞1，由函数的单调性知f（m1+3）＞f（1）=0。

部分同学：（掌声）

师：这两种解法都是错误的！

众生：（惊讶！沉默、思考……）

生15：由本题的条件得m1或m2是方程ax2+bx+c=－a的根，而不是m1且m2是方程ax2+bx+c=－a的根。因此不能用韦达定理或求根公式得到：m1+m2=或m1,2=。

众生：（恍然大悟……）

师：对！一定要搞清楚逻辑关系，“或”、“且”一字之差，但其内涵根本不同。两位同学大胆思考、勇于发表意见，帮助我们明晰了一个基本关系，应该学习他们、感谢他们。

众生：（点头、微笑）

师：我们沿着这条思路，利用“m1或m2是方程ax2+bx+c=－a的根”这一条件能得到什么？

生16：∵ m1或m2是方程ax2+bx+c=－a的根，

∴ m1或m2应不小于方程ax2+bx+c=－a的最小根，

若a=－f（m1），则m1＞，

f（m1+3）=6am1+8a+3b≥6a·+8a+3b=8a－3，

∵ b= －a－c，－2＜＜，

∴ b2+4ab=（a+c）2－4a（a＋c）=a2＜[(－2)2－2( －2)－3]a2=5a2。

∴f（m1+3）＞8a－3·a=（8－3）a＞0。

同理若f（m2）= －a时，有f（m2+3）＞0。

生17：设方程f（x）=ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，

则|x1－x2|=

＜3，

∵ f（m1）= －a＜0，f（1）=0 （如图），

∴ x1＜m1＜x2=1。

∴ m1+3＞1。

由函数的单调性知f（m1+3）＞f（1）=0。

同理若f（m2）=－a时，有f（m2+3）＞0。

笔者注：该方法已经弱化了问题的条件，实际上推广了所给问题，但教师未指出该解法的妙处所在。

生18：设函数f（x）=ax2+bx+c的对称轴方程为x=，

∵＜＜且 b= －a－c，

∴＞。

方程f（x）=ax2+bx+c=0的一根为1，另一根设为x1，则x1+1=2x＞－1，

即x1＞－2，设m为m1或m2中的任意一个，则m＞x1＞－2，m+3＞1，

得f（m+3）＞0。所以f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数。

师：同学们解题后的议论实在精彩，不仅找到了解决问题的切入点，并自觉运用函数与方程的数学思想解决方程与不等式的问题，而且在解题思路上有了很大的飞跃，创造性地得出了这么多出人意料的、值得回味的解法，实在可贵。生16将“m1或m2是方程ax2+bx+c=－a的根”这一条件转化为“m1或m2不小于方程ax2+bx+c=－a的最小根”，使问题得以解决；生17得出“该抛物线的弦长小于3”，这一重要结论，也使问题顺利解决；生18则考虑的是二次函数的对称轴，得到＞－，仍可使问题迎刃而解。同一条件，从不同的角度出发都能使问题得到解决，因此，同学们在平时的学习中不能只局限于听懂老师讲的方法或看懂书上的参考答案，而要善于独立思考，找出问题的实质，形成解题思路，这样日积月累解题能力必将得到提高，才能真正做到以不变应万变。请同学们课下继续思考与鉴别，你最欣赏哪种解法？哪种解法最简捷？哪种思考方式最能体现数学思维本质？

下课了，从同学们脸上看到的是兴奋和自信，许多同学跑到讲台上围着老师继续谈论着自己的观点，与以往那种讲过一些难题后同学们脸上紧锁着的双眉相比形成了鲜明的反差，教师也收获了无限的快乐。虽然这堂课只研究了一道题，但同学们的收获远远不是会解这一道题，他们学会了如何去思考、如何研究问题与解决问题。在传统的教学中学生只是被动地听，机械地模仿，课上部分同学经常走神，不能高度集中注意力听讲，课上很难看到精神、意识和能力层面的等教学效果的影子。

本节课上学生求识欲强烈，回答问题踊跃，学生的眼神告诉我们他们在积极思考，课本作业正确率高，但本节课的高效仅是一种经验性的认识，例题的剖析过程还需要进一步挖掘思想、方法等问题是以后我们的研究需要加以注意的。

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