山东省青岛市2011年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1、（2011•青岛）﹣的倒数是（ ）
A、﹣ B、
C、﹣2 D、2
2、（2011•青岛）如图，空心圆柱的主视图是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、（2011•青岛）已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，O1O2=5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、外切 C、相交 D、内切
4、（2006•娄底）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A、 B、
C、
D、
5、（2011•青岛）某种鲸的体重约为1.36×105kg．关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A、精确到百分位，有3个有效数字 B、精确到个位，有6个有效数字
C、精确到千位，有6个有效数字 D、精确到千位，有3个有效数字
6、（2011•青岛）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（ ）
A、（﹣4，3） B、（4，3） C、（﹣2，6） D、（﹣2，3）
7、（2011•青岛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A、cm B、4cm C、
cm D、
cm
8、（2011•青岛）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A、x＜﹣1或0＜x＜3 B、﹣1＜x＜0或x＞3 C、﹣1＜x＜0 D、x＞3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9、（2011•青岛）已知甲、乙两支仪仗队各有10名队员，这两支仪仗队队员身高的平均数都是178cm，方差分别为0.6和1.2，则这两支仪仗队身高更整齐的是 _________ 仪仗队．
10、（2011•青岛）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=6cm，∠AOB=120°，则AB= _________ cm．
11、（2011•青岛）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为 _________ ．
12、（2011•青岛）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 _________ 只．
13、（2011•青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1= _________ ．
14、（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= _________ ．
三、作图题（本题满分12分）
15、（2011•青岛）如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
四、解答题（本大题共9小题，满分74分）
16、（2011•青岛）（1）解方程组：；
（2）化简：÷
．
17、（2011•青岛）图1是某城市三月份1至8日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图1将数据统计整理后制成了图2．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）将图2补充完整；
（2）这8天的日最高气温的中位数是 _________ °C；
（3）计算这8天的日最高气温的平均数．
18、（2011•青岛）小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得1分，否则小亮得1分．你认为游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．
19、（2011•青岛）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）
20、（2011•青岛）某企业为了改善污水处理条件，决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
经预算，企业最多支出57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490吨．
（1）企业有哪几种购买方案？
（2）哪种购买方案更省钱？
21、（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
22、（2011•青岛）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；
（2）写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
23、（2011•青岛）问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab．
∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．
∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0．
∴M﹣N＞0．
∴M＞N．
类别应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和
元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
24、（2011•青岛）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1、（2011•青岛）﹣的倒数是（ ）
A、﹣ B、
C、﹣2 D、2
考点：倒数。
专题：探究型。
分析：根据倒数的定义进行解答即可．
解答：解：∵（﹣2）×（﹣）=1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选C．
点评：本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．
2、（2011•青岛）如图，空心圆柱的主视图是（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面，看所得到的图形即可，注意所有的棱都应表现在主视图中．
解答：解：如图所示，空心圆柱体的主视图是圆环．
故选A．
点评：本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
3、（2011•青岛）已知⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，O1O2=5cm，则两圆的位置关系是（ ）
A、外离 B、外切 C、相交 D、内切
考点：圆与圆的位置关系。
分析：由⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，，即可求得⊙O1与⊙O2的半径，又由O1O2=5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的直径分别是4cm和6cm，
∴⊙O1与⊙O2的半径分别是2cm和3cm，
∵O1O2=5cm，2+3=5，
∴两圆的位置关系是外切．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
4、（2006•娄底）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A、 B、
C、
D、
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
5、（2011•青岛）某种鲸的体重约为1.36×105kg．关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A、精确到百分位，有3个有效数字 B、精确到个位，有6个有效数字
C、精确到千位，有6个有效数字 D、精确到千位，有3个有效数字
考点：近似数和有效数字。
专题：常规题型。
分析：有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解答：解：1.36×105kg最后一位的6表示6千，共有1、3、6三个有效数字．
故选D．
点评：此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，要注意10的n次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．
6、（2011•青岛）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（ ）
A、（﹣4，3） B、（4，3） C、（﹣2，6） D、（﹣2，3）
考点：坐标与图形性质。
专题：常规题型。
分析：先写出点A的坐标为（﹣4，6），横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．
解答：解：点A变化前的坐标为（﹣4，6），
将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（﹣4，3）．
故选A．
点评：本题考查了坐标与图形性质的知识，属于基础题，比较简单．
7、（2011•青岛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A、cm B、4cm C、
cm D、
cm
考点：圆锥的计算。
分析：利用已知得出底面圆的半径为：1，周长为2π，进而得出母线长，即可得出答案．
解答：解：∵半径为1cm的圆形，
∴底面圆的半径为：1，周长为2π，
扇形弧长为：2π=，
∴R=4，即母线为4，
∴圆锥的高为：=
．
故选：C．
点评：此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关键．
8、（2011•青岛）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A、x＜﹣1或0＜x＜3 B、﹣1＜x＜0或x＞3 C、﹣1＜x＜0 D、x＞3
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
解答：解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（﹣1，3），（3，﹣1），
∴当y1＜y2时，﹣1＜x＜0或x＞3；
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
9、（2011•青岛）已知甲、乙两支仪仗队各有10名队员，这两支仪仗队队员身高的平均数都是178cm，方差分别为0.6和1.2，则这两支仪仗队身高更整齐的是 甲 仪仗队．
考点：方差。
分析：根据方差的意义判断．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
解答：解：∵S甲2＜S乙2，
∴甲队整齐．
故填甲．
点评：本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
10、（2011•青岛）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=6cm，∠AOB=120°，则AB= 6cm．
考点：垂径定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：过O作OC⊥AB于C，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，根据含30度得直角三角形性质求出OC，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出即可．
解答：
解：过O作OC⊥AB于C，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∵∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=30°，
∴OC=OA=3，
由勾股定理得：AC==3
，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC=BC，
∴AB=2AC=6，
故答案为：6．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出OC、AC的长是解此题的关键．
11、（2011•青岛）某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用1小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为．
考点：由实际问题抽象出分式方程。
专题：应用题。
分析：由于某车间加工120个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，设采用新工艺前每小时加工x个零件，那么采用新工艺后每小时加工1.5x个零件，又同样多的零件就少用1小时，由此即可列出方程解决问题．
解答：解：依题意得
．
故答案为：．
点评：此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．
12、（2011•青岛）生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕捉500只，其中有标记的雀鸟有5只．请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约为 10000 只．
考点：用样本估计总体。
专题：计算题。
分析：由题意可知：重新捕获500只，其中带标记的有5只，可以知道，在样本中，有标记的占到．而在总体中，有标记的共有100只，根据比例即可解答．
解答：解：100=10000只．
故答案为：10000．
点评：本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
13、（2011•青岛）如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1=
．
考点：等腰直角三角形。
分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．
解答：解：设B1C=2x，
根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形，
则B1C边上的高为x，
∴×x×2x=2，解得x=
（舍去负值），
∴BB1=BC﹣B1C=．
故答案为．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求斜边长．
14、（2011•青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn=．
考点：相似多边形的性质；正方形的性质。
专题：规律型。
分析：由正方形ABCD的边长为1，根据正方形的性质，即可求得AO1，EO2的值，则可求得S2，S3，S4的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积Sn=．
解答：解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=1，AC=，
∴AE=AO1=，
则：AO2=AB=
，
∴S2=，S3=
，S4=
，
∴作的第n个正方形的面积Sn=．
故答案为：．
点评：此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积Sn=．
三、作图题（本题满分12分）
15、（2011•青岛）如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
考点：作图—复杂作图。
专题：作图题。
分析：先画BC=a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可．
解答：解：
点评：考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质．
四、解答题（本大题共9小题，满分74分）
16、（2011•青岛）（1）解方程组：；
（2）化简：÷
．
考点：分式的乘除法；解二元一次方程组。
分析：（1）由②得：x=4+2y代入①即可求得y的值，进而即可求得x的值；
（2）首先把除法转化为乘法，然后进行约分即可．
解答：解：，
由②得：x=4+2y…③
把③代入①得：4（4+2y）+3y=5，
解得：y=﹣1．
把y=﹣1代入③得；x=2．
∴原方程的解为：；
（2）原式=•
=
．
点评：本题主要考查了方程组的解法以及分式的除法，分式的除法计算中正确进行约分是解题关键．
17、（2011•青岛）图1是某城市三月份1至8日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图1将数据统计整理后制成了图2．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）将图2补充完整；
（2）这8天的日最高气温的中位数是 2.5 °C；
（3）计算这8天的日最高气温的平均数．
考点：折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数。
分析：（1）从（1）可看出3℃的有3天．
（2）中位数是数据从小到大排列在中间位置的数．
（3）求加权平均数数，8天的温度和÷8就为所求．
解答：解：（1）
（2）中位数应该是第4个数和第5个数的平均数：（2+3）÷2=2.5．
（3）（1×2+2×2+3×3+4×1）÷8=2.375℃．
8天气温的平均数是2.375．
点评：本题考查了折线统计图，条形统计图的特点，以及中位数的概念和加权平均数的知识点．
18、（2011•青岛）小明和小亮用图中的转盘做游戏：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得1分，否则小亮得1分．你认为游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法。
分析：首先画树状图，然后根据树状图求得小明得1分与小亮得1分的概率，再求得他们的得分情况，比较其得分，即可得出结论．
解答：解：画树状图得：
∴一共有16种等可能的结果，两次数字之差（大数减小数）大于或等于2的有6种情况，
∴P（小明得1分）==
，P（小亮得1分）=
=
，
∴小明得分：1×=
；小亮得分：1×
=
；
∵≠
．
∴游戏不公平．
游戏规则改为：分别转动转盘两次，若两次数字之差（大数减小数）大于或等于2，小明得5分，否则小亮得3分．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，然后根据概率求其得分，得分相等就公平，否则就不公平．
19、（2011•青岛）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
专题：应用题。
分析：根据原楼梯的倾斜角为40°，可先求出AD的长，继而在Rt△ACD中求出CD的长．
解答：解：在Rt△ABD中，sin40°==
，
∴AD=5sin40°=5×0.64=3.2，
在Rt△ACD中，tan35°=，
CD==4.6，
答：调整后的楼梯所占地面CD约为4.6米．
点评：本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．
20、（2011•青岛）某企业为了改善污水处理条件，决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
经预算，企业最多支出57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490吨．
（1）企业有哪几种购买方案？（2）哪种购买方案更省钱？
考点：一元一次不等式组的应用。
专题：应用题。
分析：（1）设购买A型号设备x台，则购买B型号设备（8﹣x）台，根据“企业最多支出57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490吨”列出不等式组，然后解出x的值即可．
（2）分别求出不同x值下的购买费用，比较即可得出答案．
解答：解：（1）设购买A型号设备x台，则购买B型号设备（8﹣x）台，
，
解得：，
∵x是正整数，
∴x=3，4．
答：有两种购买方案，买A型设备3台，B型设备5台；或买A型设备4台，B型设备4台．
（2）当x=3时，3×8+5×6=54（万元），
当x=4时，4×8+4×6=56（万元）．
答：买A型设备3台，B型设备5台更省钱．
点评：本题主要考查不等式组在现实生活中的应用，通过运用数学模型，可使求解过程变得简单．
21、（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质推出BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，求出BE=DF，根据SAS即可推出答案；
（2）证AE∥CF，AE=CF得到平行四边形AECF，根据等腰三角形的性质求出∠AEC=90°，根据矩形的判定即可推出答案．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF=AE=CF，
在△BEC和△DFA中，
BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，
∴△BEC≌△DFA．
（2）答：四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的判定等知识点的理解和掌握，能求出BE=DF和平行四边形AECF是解此题的关键．
22、（2011•青岛）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；
（2）写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
考点：二次函数的应用。
专题：应用题。
分析：（1）销售量y件为200件加增加的件数（80﹣x）×20；
（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x﹣60）（﹣20x+1800），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w=﹣20x2+3000x﹣108000的对称轴为x=﹣=75，而﹣20x+1800≥240，x≥76，得76≤x≤78，根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．
解答：解：（1）根据题意得，y=200+（80﹣x）×20
=﹣20x+1800，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800；
（2）W=（x﹣60）y
=（x﹣60）（﹣20x+1800）
=﹣20x2+3000x﹣108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式y=﹣20x2+3000x﹣108000；
（3）根据题意得，﹣20x+1800≥240，x≥76，
∴76≤x≤78，
w=﹣20x2+3000x﹣108000，
对称轴为x=﹣=75，
a=﹣20＜0，
∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，
∴x=76时，W有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二次函数的最值问题解决实际中的最大或最小值问题．
23、（2011•青岛）问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；若M﹣N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab．
∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．
∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0．
∴M﹣N＞0．
∴M＞N．
类别应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和
元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
考点：分式的混合运算；整式的混合运算。
分析：类比应用（1）首先得出﹣
=
，进而比较得出大小关系；
（2）由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可．
联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系．
解答：解：类比应用
（1）﹣
=
，
∵a、b是正数，且a≠b，
∴＞0，
∴＞
，
∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高；
（2）由图知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，
N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，
M1﹣N1=2a+4b+2c﹣（2a+2b+4c）=2（b﹣c），
∵b＞c，∴2（b﹣c）＞0，
即：M1﹣N1＞0，∴M1＞N1，
∴第一个矩形大于第二个矩形的周长．
联系拓广
设图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
设图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
设图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，
∵L1﹣L2=4a+4b+8c﹣（4a+4b+4c）=4c＞0，
∴L1＞L2，
∵L3﹣L2=6a+4b+6c﹣（4a+4b+4c）=2a+2c＞0，
∴L3﹣L1=6a+4b+6c﹣（4a+4b+8c）=2（a﹣c），
∵a＞c，
∴2（a﹣c）＞0，
∴L3＞L1．
∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长．
点评：此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键．
24、（2011•青岛）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
专题：综合题。
分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t，根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM=S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；
（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．
解答：解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP=AM，即10﹣t=2t，解得t=，
∴当t=s时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）过P作PE⊥AC，交AC与E，如图所示：
∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴=
，即
=
，解得BF=
t，
∴FD=BD﹣BF=8﹣t，又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，
∴y=（PQ+MC）•FD=
（t+10﹣2t）（8﹣
t）=
t2﹣8t+40；
（3）S△ABC=AC•BD=
×10×8=40，
当y=S△ABC=
×40=
时，即
t2﹣8t+40=
，
解得：t1=，t2=
；
（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB与H，
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴=
=
，又AD=
=6，
∴=
=
，∴HM=
t，AH=
t，
即HP=10﹣t﹣t=10﹣
t，
在直角三角形HMP中，MP2=+
=
t2﹣44t+100，
又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，
∵MP2=MC2，即t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，
解得：t1=，t2=0，
∴t=s时点M在线段PC的垂直平分线上．
点评：本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问和第四问都属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/b1743eda0708763231126edb6f1aff00bed57086.html
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