例1 如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．
分析：如图2，由这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出，观察图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2+6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值．
解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+6．
依题意，得B（10，0）．
所以a×102＋6＝0．
解得a=-0.06．即y=-0.06x2+6．
当y=4.5时，-0.06x2+6=4.5，解得x=±5．
所以DF＝5，EF＝10．
即水面宽度为10米．
例2 如图3所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．
分析：函数图象的对称轴为y轴，故设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0，k≠0）．
解：设函数关系式为y=ax2+k（a≠0），
由题意可知，A、B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．
则解得a=-0.2，
所以抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2+3.5．
二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x的关系式
例3 如图4，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
（1）设CP＝x，BE＝y，试写出y关于x的函数关系式．
（2）当点P在什么位置时，线段BE最长？
析解：在几何图形中，求函数关系式时，通常把两个变量放入两个图形，利用两个图形相似，或者在一个图形中利用面积建立它们之间的数量关系．本题要求y与x之间的关系式，通过观察可以发现y、x分别是△BPE、△CDP的边，而且由∠EPB＋∠DPC＝90°，∠DPC＋∠PDC＝90°，可得∠EPB＝∠PDC，又由∠B＝∠C＝90°，容易得到△BPE∽△CDP．
所以有．即
．
故y关于x的函数关系式为．
当时，y有最大值，y最大
．
即当点P距点C为6时，线段BE最长．
例4 某班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们设计了三种铝合金框架，图案如图5（1）、5（2）、5（3），请你根据以下图案回答下列问题：（题中的铝合金材料总长度均各指图11中所有黑线的长度和）
（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度为6m，当AB为1m时，长方形框架ABCD的面积是_____m2；
（2）图案（2）中，如果铝合金总长度为6m，设AB为xm，长方形框架ABCD的面积为Sm2，那么S＝_______（用含x的代数式表示）；当AB＝______m时，长方形框架ABCD的面积S最大，在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为lm，当AB＝______m时，长方形框架ABCD的面积S最大．
（3）在经过这三种情况的试验后，他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律．探索：如图（4），如果铝合金材料长度为lm，共有n条竖档，那么当竖档AB长为多少时，长方形框架ABCD的面积S最大．
分析：解此类问题通常是建立面积与线段长的函数关系式，然后利用二次函数的图象或性质求最大值（或最小值），在这类问题中常用到下列图形的面积公式：三角形、矩形、正方形、平行四边形、梯形和圆等．
解：（1）；
（2），1，
；
（3）设AB长为xcm，那么AD为，
．当
时，S最大．
注：关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．
25.
（1）当时，
，
点坐标为
当时，
，
,
点坐标为
………………………… 1分
（2）抛物线
经过
，
,
对称轴
， ∴
.①
当时，代入
得
，∴
点坐标为
.
点
在抛物线
上，
.②
联立①、②解得.
该抛物线的函数关系式为
.……………………………………………3分
（3）与
相切，理由如下：
联结，
，
.
.
.
又
与
相切。 …………………………………………………………………………4分
（4）存在这样的点，使得
.
设点坐标为
.
,
而，
…………………………………5分
当点在
轴上方时，
， ∴
.
∵点在抛物线
上，
∴. 解得：
，
（不合题意，舍去）.
.………………………………………………………………6分
当点在
轴下方时，
， ∴
.
∵点在抛物线
上，
∴. 解得：
，
（不合题意，舍去）.
.
∴点坐标为
或
.……
12.(XC) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分
别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四
边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出
的取值范围.
12. 解：（1）点C的坐标为.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ 点A、B的坐标分别为，
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
将代入抛物线的解析式，得
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分
∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为
.- - - - - - - - - - - - -3分
（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为
，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为.- - - - - - - - - - 4分
设点P的坐标为.
解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，
连结AP，作PM⊥x轴于点M.
∵ OP∥AD，
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
∴，即
.
解得. 经检验
是原方程的解.
此时点P的坐标为. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5分
但此时，OM＜GA.
∵
∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.
可得△PEN≌△DEG ．
由，可得E点的坐标为
.
NE=EG=， ON=OE－NE=
，NP=DG=
.
∴ 点P的坐标为. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
∵ x=时，
，
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分
（3）的取值范围是
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分
说明：如图10，由对称性可知QO=QH，
.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，
取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，
取得最小值0.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/aefc0ddedd88d0d233d46a64.html
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