第一册（必修）第七章机械能综合复习（一）功和能；动能、动能定理；重力势能

发布时间：2013-06-06 21:30:14 来源：文档文库

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【本讲教育信息】

一. 教学内容：

机械能部分复习（一）

二. 知识要点：

（一）有关动能定理专题复习

1. 动能定理的文字表述：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。

2. 动能定理的数学表达式。

3. 对动能定理的理解及应用时应注意的问题：

（1）等式的左边为物体所受的各力对物体做功的代数和，即+……在应用时一定要注意判定各力做功的正、负情况，正功代入正值，负功代入负值。如果物体所受的各力为恒力，则其合力也为恒力，故总功也可按如下方法求解，即。

（2）等式的右边为物体动能的变化，指的是物体运动过程的末态动能与初态动能之差。应用时一定要搞清研究对象所发生的运动过程的初态和末态，求初态和末态动能时，还应注意应该用该时刻物体运动的合速度大小。

说明：做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“=”的意义是一种因果关系的数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能的增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”，“动能变化的多少用总功来量度”。

（3）动能定理是在牛顿第二定律的基础上推导出来，因牛顿第二定律适用于惯性参照系，所以动能定理也是在惯性参照系下才成立的。在中学物理中一般取地球为参照系。这样，当我们在应用动能定理时一定要注意，求功时用到的位移和求动能时用到的速度必须是对地的位移和对地的速度。

4. 动能定理的适用情况及注意的问题介绍

（1）适用于单个物体或者可以看成单一物体的物体系（要注意：必须分清内力和外力，内力做功不在动能定理的考虑之列）；

（2）适用于直线运动，也适用于曲线运动；

（3）适用于恒力做功，也适用于变力做功（对于恒力做功可用做功公式表达，对于变力做功，列动能定理表达式时要用功的符号W加脚标的形式表达，不能用做功公式表达）；

（4）若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，则应用动能定理时，可以分过程考虑，也可全过程整体处理（要注意：有些力在选定的物体运动的过程中，并不是始终存在，这样必须搞清各过程各力做功情况，和物体的初、末动能）。

5. 动能定理的优选策略

动能定理反映了力对空间的累积效应，涉及到的物理量有F、、、、W、等，因此在题目涉及到上述物理量，而不涉及物体运动的加速度和时间的问题时，一般优先考虑使用动能定理求解。使用时，只需从力在所选定的物理过程中做的功和该过程初、末两状态动能变化去考察，无需注意其中运动状态变化的细节。

6. 应用动能定理解题的基本思路

（1）选取研究对象，明确它的运动过程。

（2）分析研究对象在选定的研究过程中的受力情况及各力做功情况：受哪些力？这些力是否做功？做正功还是做负功？是恒力做功还是变力做功？做多少功？最后求出各力做功的代数和（注意恒力做功和变力做功的表达方式）。

（3）明确物体在选定过程的初、末状态的动能和。

（4）列出动能定理的方程，及其它必要的解题方程，进行求解。

7. 应用

（1）应用动能定理求变力做功

例1：如图1所示，质量为的物体置于光滑的水平面上，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F的作用下，以恒定速率竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角的过程，求绳中张力对物体做的功。

图1

解析：当绳与水平方向夹角时，物体的速度为。

选物体为研究对象，研究物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角过程，根据动能定理可知，绳中张力对物体做的功等于物体动能的增加量，即

思维亮点：本题所述物体的运动过程中，绳对物体的张力为变力，其所做的功不能用计算。但可以用物体动能的增量等效替代张力所做的功，这是求变力做功的常用方法之一。这种方法的优点是不考虑做功过程的细节，只考虑变力做功的整体效果，即物体动能的增量，巧妙应用动能定理，从而简化解题过程。

解答该题的难点在于求当绳与水平方向夹角时物体运动的速度为突破该难点，我们必须明确物体运动的速度为合运动的速度，是的一个分速度，另一个分速度与垂直，且指向右下方。

（2）动能定理在图象中的应用

例2：汽车从静止开始做匀加速直线运动，到最大速度时刻立即关闭发动机，滑行一段后停止，总共经历，其速度——时间图象如图2所示，若汽车所受牵引力为F，摩擦阻力为，在这一过程中，汽车所受的牵引力做功为W1，摩擦力所做的功为W2，则（）

A. B.

C. D.

图2

解析：从速度——时间图象可知，汽车在这个过程的初态速度和末态速度都是零，加速段位移和总位移之比为，对全过程应用动能定理得

，即

设加速过程的位移为，则全过程的位移为，有，即

故，

因此，选项B、D是正确的。

（3）应用动能定理解决曲线运动问题

例3：一个质量为的小球，拴在细绳的一端，另一端作用一大小为的拉力，使小球在光滑的水平面上做半径为的匀速圆周运动（如图3所示）。今将力的大小改为，使小球仍在水平面上做半径为R2的匀速圆周运动，求小球运动半径由变为的过程中拉力对小球做的功多大？

图3

解析：本题中，绳的拉力为变力，在所求过程中小球的运动轨迹为曲线，从受力和运动过程看，比较复杂，但我们可以应用动能定理来求解。

设半径为和时，小球做圆周运动的线速度大小分别为和，由向心力公式得

①

②

由动能定理有③

解①②③式得

（4）应用动能定理解连接体问题

例4：质量为M的机车，牵引质量为的车厢在水平轨道上匀速前进，某时刻车厢与机车脱钩，机车在行驶路程后，司机才发现车厢脱钩，便立即关闭发动机自然滑行，该机车与车厢运动中所受阻力都是其重的倍，且恒定不变，试求当机车和车厢都停止运动时，机车和车厢的距离。

解析：设从脱钩开始到机车停止运动为止，机车发生的位移为，从脱钩开始到车厢停止运动止，车厢发生的位移为，如图4所示。

图4

对机车脱钩后的全过程应用动能定理得

①

对车厢②

因列车原来匀速运动，故有③

当机车和车厢都停止运动时，机车和车厢的距离为，由图4可知④

解①②③④得。

点评：对于物理过程较复杂的题目，要注意在审题时先画出一个明确的草图，弄清物理过程之间的联系。当有多个研究对象存在时，列方程时要指明对象，指明过程。若物体运动有几个过程，应注意对全过程应用动能定理。

（5）求耗散力作用下物体通过的路程

例5：如图5所示，斜面的倾角为，质量为的滑块距挡板P的距离为，以初速度沿斜面上滑。滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块所受摩擦力小于滑块重力沿斜面向下的分力。若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失。求滑块经过的路程有多大？

图5

解析：由于滑块重力沿斜面向下的分力大于滑块所受摩擦力，所以可以断定滑块最终将停靠在挡板处。从以向上滑动至最终停下来，设滑块经过的路程为，此过程中重力对滑块做功，，滑动摩擦力做功。对滑块由动能定理得。

解得

简评：凡做功与路径有关的力称之为耗散力。除滑动摩擦力外，各种媒质阻力也属于耗散力，常见的如空气阻力。

（6）应用动能定理和动量定理共同解题

动能定理中涉及到的物理量是力、速度和位移，所以求物体的位移应使用动能定理。动量定理中涉及到的物理量是力、速度和时间，所以求物体的运动时间应使用动量定理。根据动能的定义和动量的定义，可以导出动能和动量的关系，。

例6：有两个物体和，其质量分别为和，且。它们的初动量相同，若、受到不变阻力和作用，经过相同的位移停下来，它们用的时间分别为和。则（）

A.， B.，

C.， D.，

解析：题目中给出的条件是初动量相同和位移相同，因此须将动量关系转化为动能关系。

根据得，

又根据动能定理

得，

由于，所以

根据动量定理，得，。由于，所以。正确选项为D。

（7）应注意“动能定理无分量形式”

例7：一个原来静止的质量为的物体放在光滑的水平面上，在互成角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为，在两个力的方向上的分速度分别为和如图6所示，那么在这段时间内，其中一个力做的功为（）

A. B. C. D.

图6

错解：依题意物体在两个分力方向上，均做初速度为零的匀加速直线运动，且两个分运动的速度相等，则应有，且，即。

在一个分运动方向上，由动能定理可得一个力做的功为，由此得到A选项正确。

错解原因：在物体运动的分方向上应用了动能定理。

正解：依题意两个力做的功相同设为W，则两力做的总功为2W，物体动能的改变量为。根据动能定理有，则可得一个力做的功为。

（二）有关功能关系专题复习

能的转化和守恒定律是自然界最基本的定律之一，而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。功是一个过程量，它和一段位移相对应；而能是一个状态量，它和一个时刻相对应，尽管两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。功和能的关系应为：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。值得注意的是对物体做功的力的性质不同，则引起能量转化的方向也就不同。下面从几个方面来阐述功能关系及应用，供同学们复习参考。

1. 物体动能的增量由外力做的总功来量度即

合外力对物体做的功等于该物体动能的增量，即，这个规律就是动能定理。若合外力对物体做正功，物体动能的增量为正值；合外力对物体做负功，物体动能的增量为负值。注意这时所说的外力可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是任何其他力。

例1：某大型客机，满载乘客后总质量为，从静止起在跑道上加速滑行准备起飞，在这过程中飞机发动机的总推力为N，滑行时受到的平均阻力是飞机自重的倍，在跑道上滑行了1100m之后起飞，求飞机起飞时的速度。（）

解析：飞机在滑行时受四个力的作用：重力G，推力F、支持力和阻力。从做功的角度来分析，推力F与位移方向一致，做正功；阻力与位移方向相反，做负功；重力和支持力则不做功。设飞机满载乘客后总质量为，末速度为。从能量的角度来分析，从静止到飞机起飞时动能的增量为，所以运用动能定理有

代入数据可解得，即这架客机起飞时的速度为。

2. 物体重力势能的增量由重力做的功来量度即

物体重力势能的大小与参考平面（零势能）的选取有关，但势能的变化与零势能的选取无关。重力势能的增量等于重力做功的负值，即（或）。值得注意的是重力做功中的“”和重力势能中的“”是不同的，前者是始末位置的高度差，后者是物体相对参考面的高度。

例2：如图1所示，桌面距地面0.8m，一物体质量为，放在距桌面0.4m的支架上。（1）以地面为零势能位置，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中，势能变化多少？（2）以桌面为零势能位置时，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到桌面过程中势能变化多少？

图1

解析：（1）以地面为零势能位置，物体的高度，因而物体的重力势能为

物体落至桌面时重力势能的变化等于重力做的功，则有

即物体重力势能减少。

（2）以桌面为零势能位置时，物体的高度，故物体的重力势能为

物体落至桌面时重力势能的变化仍等于重力做的功。

例3：面积很大的水池，水深为，水面上浮着一正方体木块，木块边长为，密度为水的，质量为。开始时，木块静止，有一半没入水中，如图2所示。现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦，求：

（1）从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量；

（2）从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功。

图2

解析：

（1）在图3中木块从1移到2处，相当于使同体积的水从2移到1处，所以池水势能的改变量等于这部分水从位置2到位置1重力做的功。又因为木块的质量为m，所以与木块同体积的水的质量为2m。故池水势能的改变量为。

图3

（2）因为池面积很大，所以可忽略因木块压入水中所引起的水深变化。木块刚好完全没入水中时，图3中原来处于阴影区域的水被排开，效果等效于使这部分水平铺于水面，由题设条件可知这部分水的质量为，其势能的改变量为

而木块势能的改变量为

所以由功能关系得力F所做的功为

联立三式可解得。

3. 物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度即

除系统内部的重力（也包括弹簧的弹力）以外，其他外力的功决定了机械能的变化情况，即。当时，，这表明机械能增加；当时，，这表明机械能减少。

例4：一质量为的小球，用长为的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F的作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点，如图4所示，则力F所做的功为（）

A. B. C. D.

图4

解析：小球从平衡位置P点很缓慢地移到Q点的过程中，拉力做正功，速度趋向于零，动能不变，而小球的重心逐渐升高，重力势能增加。因此可知拉力做的功等于小球机械能的增加（即重力势能的增加），故有

且由图4可知

所以可得，故选项B正确。

4. 当时，说明只有重力做功，则系统的机械能守恒

如果除系统内部的重力（或弹簧的弹力）以外，其他外力做功为零，表明系统内只发生动能和势能的相互转化，则机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。

例5：如图5所示，两个质量为的小球，用长为的不可伸长的轻线相连，现将轻线水平拉直，并让两球由静止开始自由下落，当二球下落高度后，线的中点碰到水平位置的钉子O，如果该线能承受的最大拉力的，要使线断掉，则最初线与钉子O的距离至少为多大？

图5

解析：开始时两小球自由下落，当线的中心碰到钉子后，两小球均绕O点做圆周运动。在小球运动过程中，只有重力做功，线的拉力不做功，系统机械能守恒。

设小球在最低点时的速度为，根据机械能守恒定律得

由牛顿第二定律得

由以上两式可解得

5. 一对相互作用的滑动摩擦力做的总功可用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，即

一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对位移的乘积，即，所以系统因摩擦而损失的机械能等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积。

例6：如图6所示，一质量为M的小车，静止在光滑水平面上，一质量为的木块以水平速度滑上小车。由于木块和小车间有摩擦力，使得木块在小车上滑动一段距离后就跟小车一起以相同速度运动。试求：（1）摩擦力对两物体做功的代数和；（2）木块在小车上滑动过程中系统机械能的损失。

图6

解析：（1）设木块与小车间的摩擦因数为，则木块在小车上滑动过程中，在摩擦力作用下，小车做匀加速运动，木块做匀减速运动直至取得共同速度为止。以木块和小车为研究对象，由动量守恒定律可得

在这一过程中，小车的位移为

木块的位移为

摩擦力对小车做正功

对木块做负功得

则摩擦力对两物体做功的代数和为

①

上式即表明：一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积。

（2）整个过程中小车动能的增量为

木块动能的增量为

系统机械能的总增量为

②

（“—”表示减少）上述①、②表明：系统机械能的减少刚好与一对滑动摩擦力做功的代数和的绝对值相同。

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

1. 下列物体的运动过程中，物体的机械能守恒的是（）

A. 沿斜面匀速下滑的物体

B. 在粗糙的水平面上做加速运动的物体

C. 沿一定的椭圆轨道运动的人造地球卫星

D. 在平衡力作用下使一物体匀速竖直上升

2. 从高处以竖直向上抛出一个质量为的小球，若取抛出处物体的重力势能为零，不计空气阻力，则物体落地时的机械能为（）

A. B.

C. D.

3. 用水平恒力F作用于质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离，恒力做功为，再用该水平恒力F作用于质量为（）的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离，恒力做功为，则两次恒力做功的关系是（）

A. B.

C. D. 无法判断

4. 如图1所示，质量相同的两物体处于同一高度，A沿固定在地面上的光滑斜面下滑，B自由下落，最后到达同一水平地面上，则（）

A. 重力对两物体做的功不同

B. 重力的平均功率相同

C. 到达地面瞬间重力的功率

D. 到达地面时两物体的动能相同，速度相同

图1

5. 两个初动能相同而质量不同的物体，在同一水平面上滑动，直到停止，假定两物体与水平面间的动摩擦因数相同，则（）

A. 两物体滑动的距离相等

B. 质量大的物体滑动的距离大

C. 两物体克服摩擦力所做的功相等

D. 两物体质量关系未知，滑动距离无法确定

6. 某运动员臂长为，他将质量为的铅球推出，铅球出手时速度大小为，方向与水平方向成角，则该运动员对铅球做的功为（）

A. B.

C. D.

7. 一木块在水平面上滑行时，它具有动能，滑行一段后木块停止运动，这段运动过程中，

力对木块做了功，将木块的能转化为能。

8. 如图2所示的光滑凹形斜面，用力F沿斜面向下拉小物块，小物块沿斜面下滑一段距离，若已知在这一过程中，拉力F所做功的大小（绝对值）为W1，斜面对小物块作用力做功的大小为W2，重力做功的大小W3，空气阻力做功的大小为W4，当用这些量表示时，小物块的能量的增量等于；物块重力势能的增量等于；物块机械能的增量等于。