多边形的概念

多边形及其内角和

知识点一：多边形的概念

⑴多边形定义：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做________．

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做____________.（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．）

多边形的表示：用表示它的各顶点的大写字母来表示，表示多边形必须按顺序书写，可按顺时针或逆时针的顺序.如五边形ABCDE.

⑵多边形的边、顶点、内角和外角．

多边形相邻两边组成的角叫做______________，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做________________．

⑶多边形的对角线

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做___________________．

画一个五边形ABCDE，并画出所有的对角线.

知识点二：凸多边形与凹多边形

在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的______，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画CD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是______多边形．

知识点三：正多边形

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做_____________．

探究多边形的对角线条数

合作探究，完成下表，将你的思路与同学交流、分享

知识点四：多边形的内角和公式推导

1、我们知道三角形的内角和为__________．

2、我们还知道，正方形的四个角都等于____°，那么它的内角和为_____°，同样长方形的内角和也是______°．

3、正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360度，那么一般的四边形的内角和为多少呢？

4、画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？

探究1：任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和．再画几个四边形，量一量、算一算．你能得出什么结论？ 能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？

结论： 。

探究2：从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：

（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线， 它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．

（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．

探究3：一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．

综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？

设多边形的边数为n，则

n边形的内角和等于______________．

想一想：要得到多边形的内角和必需通过“___________定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？

知识点五：多边形的外角和

探究4：如图8，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

多边形的外角和定理： .

理解与运用

例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．

自我检测：

（一）、判断题．

1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）

2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ）

3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（ ）

4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（ ）

5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ）

（二）、填空题．

1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．

2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．

3．内角和等于外角和的多边形是 边形．

4．内角和为1440°的多边形是 ．

5．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．

6．五边形的对角线有 条，它们内角和为 ．

7．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为 ．

8．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为 ．

9．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．

10．四边形的四个内角中，直角最多有 个，钝角最多有 个， 锐角最多有 个．

（三）解答题

1、一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？

2、在每个内角都相等的多边形中，若一个外角是它相邻内角的word/media/image4_1.png，则这个多边形是几边形？

3、若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。

4、一个多边形的每一个内角都等于其相等外角的，求多边形的边数．

5．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．

（1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数．

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