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【2019-2020学年度】最新中考数学考点总动员系列专题12位置与坐标含解析
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聚焦考点☆温习理解
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
3、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
4、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)
5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
7、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
8、点到坐标轴及原点的距离
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
9、点的平移
点P(x,y)沿x轴向右(或向左)平移m个单位后对应点的坐标是(x±m,y);点P(x,y)沿y轴向上(或向下)平移n个单位后对应点的坐标是(x,y±n).
名师点睛☆典例分类
考点典例一、确定位置
【例1】(2017贵州六盘水第19题)已知,,若白棋飞挂后,黑棋尖顶,黑棋的坐标为( , ).
【答案】C(-1,1).
试题分析:根据,,建立平面直角坐标系如图所示:
所以C(-1,1).
考点:平面直角坐标系.
【点睛】此题考查利用点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力,解决此类问题需要先确定原点的位置,再求未知点的位置.
【举一反三】
1. (2017××市××区二模) 如图,将××市地铁部分线路图置于正方形网格中,若设定崇文门站的坐标为(0,-1),雍和宫站的坐标为(0,4),则西单站的坐标为( )
A. (0,5) B. (5,0) C. (0,-5) D. (-5,0)
【答案】D
考点:点的坐标
2.如图是某市区四个景点或单位(A为商店,C为工人文化宫,F为牌坊,G为市汽车站)的大致平面图.可将方格的边长看作是一个单位长度.
(1)请你建立适当的直角坐标系,分别写出这四个地点的坐标.
(2)在商店A处有游客甲和游客乙,甲按线路A→D→E→F步行到达牌坊;乙按A→B→C步行到达工人文化宫,若一个单位长度代表100米,你能比较一下两人哪个走的路程较多吗?说明理由.
【答案】(1)A(2,2),C(0,0),F(0,4),G(2.5,4);(2)乙走的路程较多.
【解析】
试题分析:(1)以C为坐标原点建立平面直角坐标系,然后分别写出各点的坐标即可;
(2)根据平面直角坐标系求出甲、乙二人所走的路程,然后比较即可得解.
试题解析:(1)建立平面直角坐标系如图所示,A(2,2),C(0,0),F(0,4),G(2.5,4);
(2)甲所走路程:3×100=300米,
乙所走路程:4×100=400米,
∵300<400,
∴乙走的路程较多.
考点:坐标确定位置.
考点典例二、平面直角坐标系
【例2】(2017广西贵港第6题)在平面直角坐标系中,点 不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
【答案】A
考点:点的坐标.
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).平面直角坐标系是初中数学的基础内容之一,确定点的位置的关键是理解各象限横坐标与纵坐标的符号特征,还有x轴、y轴上的点的坐标特征等.
【举一反三】
1. (2017山东省××市××县七年级下学期期中)已知点P(x+3,x﹣4)在x轴上,则x的值为( )
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】试题解析:∵P点坐标为(x+3,x-4),且点P在x轴上,
∴x-4=0,
解得x=4,
故选B.
考点:点的坐标;探究型.
2.(2017山东省××市××县二模)如果点P(2x+6,x﹣4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得 ,解得-3
考点:坐标系上点的特征.
考点典例三、图形的坐标变化与对称
【例3】(2017河池第14题)点与点关于原点对称,则点的坐标是 .
【答案】(﹣2,﹣1).
考点:关于原点对称的点的坐标.
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质,正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键.
【举一反三】
1.如图,△ABC与△DEF关于y轴对称,已知A(-4,6),B(-6,2),E(2,1),则点D的坐标为( )
A.(-4,6) B.(4,6) C.(-2,1) D.(6,2)
【答案】B.
考点:关于x轴、y轴对称的点的坐标.
2. (2017湖北武汉第6题)点关于轴对称的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题解析:根据关于y轴对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得:
点A(-3,2)关于y轴对称的坐标为(3,2).
故选B.
考点:关于x轴、y轴对称的点的坐标特征
考点典例四、点的平移
【例4】(2017贵州黔东南州第11题)在平面直角坐标系中有一点A(﹣2,1),将点A先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,则平移后点A的坐标为 .
【答案】(1,﹣1)
【解析】
试题解析:由题意可知:A的横坐标+3,纵坐标﹣2,即可求出平移后的坐标,
∴平移后A的坐标为(1,﹣1)
考点:坐标与图形变化﹣平移.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,点的坐标的平移规律,是解题的关键.
【举一反三】
1.(2017青海西宁第6题)在平面直角坐标系中,将点向右平移3个单位长度得到点,则点关于轴的对称点 的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
考点:1.关于x轴、y轴对称的点的坐标;2.坐标与图形变化﹣平移.
2. (2017郴州第9题)在平面直角坐标系中,把点向左平移一个单位得到点,则点的坐标为 .
【答案】(1,3).
【解析】
试题分析:由点A(2,3)向左平移1个单位长度,可得点A′的横坐标为2﹣1=1,纵坐标不变,即A′的坐标为(1,3).
考点:坐标的平移.
考点典例五、点的坐标规律
【例5】(2017浙江××市第16题)如图,正△ABO的边长为2,O为坐标原点,A在轴上,B在第二象限。△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚,经第一次翻滚后得△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________;翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________
【答案】(5,);.
【解析】
试题解析:如图,作B3E⊥x轴于E,
易知OE=5,B3E=,
∴B3(5,),
观察图象可知三次一个循环,一个循环点M的运动路径为:
,
∵2017÷3=672…1,
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为:
672•(.
考点:点的坐标.
【点睛】本题考查了坐标确定位置,点的坐标的规律变化,读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键.解规律探究性问题,一般都应先就有限个点进行分析,寻找规律,再推广到一般.
【举一反三】
1. (2017浙江省××市中考二模)如图,在坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,点B在y轴上,OA=1,先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,则B2017的坐标为( )
A. (1345,0) B. (1345.5,) C. (1345,) D. (1345.5,0)
【答案】B
【解析】连接AC,如图所示.
∵四边形OABC是菱形,
∴OA=AB=BC=OC.
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB.
∴AC=OA.
∵OA=1,
∴AC=1.
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形,如图所示.
由图可知:每翻转6次,图形向右平移4.
∵2017=336×6+1,
∴点B1向右平移1344(即336×4)到点B2017.
∵B1的坐标为(1.5, ),
∴B2017的坐标为(1.5+1344,),
故选B.
点睛:本题是规律题,能正确地寻找规律 “每翻转6次,图形向右平移4”是解题的关键.
2. (2017山东省××市××市模拟)如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,点A在y轴上,点O,B1,B2,B3…都在直线l上,则点B2017的坐标是_____.
【答案】(2017 ,2017)
∴B2的坐标为(2,2),B3的坐标为(3,3),B4的坐标为(4,4),
…
∴B2017的坐标是(2017,2017).
故答案为(2017,2017).
点睛:本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及数字变化类,得出坐标变化规律是解本题的关键.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2017辽宁大连第7题)在平面直角坐标系中,线段的两个端点坐标分别为,.平移线段,得到线段.已知点的坐标为,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位,然后可得B′点的坐标.
∵A(﹣1,﹣1)平移后得到点A′的坐标为(3,﹣1),
∴向右平移4个单位,∴B(1,2)的对应点坐标为(1+4,2),即(5,2).
故选B.
考点:坐标与图形变化﹣平移.
2. (2017陕西省××市高新一中模拟)如果点在平面直角坐标系的第四象限内,那么的取值范围是( ).
A. B. C. D. 无解
【答案】A
【解析】解:根据题意得: ,由①得:x>﹣3;由②得:x<4,则不等式组的解集为﹣3<x<4,故选A.
3. (2017××市和平北路学校期末模拟)点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4,则点P的坐标是( )
A. (﹣4,3) B. ( 4,﹣3) C. ( 3,﹣4) D. (﹣3,4).
【答案】A
【解析】试题解析:由点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4,得|y|=3,|x|=4.由P是第二象限的点,得x=-4,y=3.即点P的坐标是(-4,3),故选A.
4. (2017海南第6题)如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点A的坐标是(﹣2,3),先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2,则点A的对应点A2的坐标是( )
A.(-3,2) B.(2,-3) C.(1,-2) D.(-1,2)
【答案】B.
【解析】
试题分析:首先利用平移的性质得到△A1B1C1,进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2,即可得出答案.
如图所示:点A的对应点A2的坐标是:(2,﹣3).故选:B.
考点:平移的性质,轴对称的性质.
5. (凉山州)在平面直角坐标系中,点P(﹣3,2)关于直线对称点的坐标是( )
A.(﹣3,﹣2) B.(3,2) C.(2,﹣3) D.(3,﹣2)
【答案】C.
【解析】
试题分析:点P关于直线对称点为点Q,作AP∥x轴交于A,
∵是第一、三象限的角平分线,∴点A的坐标为(2,2),∵AP=AQ,∴点Q的坐标为(2,﹣3)
故选C.
考点:坐标与图形变化-对称.
6. (2017××市燕山区一模)2017 全英羽毛球公开赛混双决赛,中国组合鲁恺 / 黄雅琼,对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤,鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜.如图是羽毛球场地示意图,x 轴平行场地的中线,y 轴平行场地的球网线,设定鲁恺的坐标是(3,1),黄雅琼的坐标是(0,-1),则坐标原点为( )
A. O B. C. D.
【答案】B
【解析】∵黄雅琼的坐标是(0,-1),
∴原点的位置在黄雅琼正上方一个单位长度处,即点O1为原点;
故选B。
二、填空题:
7. (2017河北省××市一模)线段AB的长为5,点A在平面直角坐标系中的坐标为(3,﹣2),点B的坐标为(3,x),则点B的坐标为_____.
【答案】(3,3)或(3,﹣7)
8.(辽宁丹东)如图,直线OD与x轴所夹的锐角为30°,OA1的长为1,△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形,点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列,点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列,那么点Bn的坐标为 .
【答案】 (3×,×)[也可写成(×, ×)].
【解析】
试题分析:由题意得△OA1B1是等腰三角形,△OB1A2是30°的直角三角形,△A1B1A2是等边三角形,∵OA1的长为1,分别过B1,B2,B3作x轴的垂线,易得到B1,B2,B3的坐标:B1(,)B2(3,)B3(6,2),等等.发现横坐标和纵坐标都和2的整数指数幂有关,B1的坐标可写成(3×,×),B2的坐标可写成(3×,×),B3的坐标可写成(3×,×)于是Bn的坐标可写成(3×,×),也可变形写成(×, ×).
考点:1.点的坐标规律;2.等边三角形及30度角直角三角形边角关系.
9. (湖南常德)已知A点的坐标为(-1,3),将A点绕坐标原点顺时针90°,则点A的对应点的坐标为
【答案】(3,1)
【解析】
试题分析:根据题意可知此题是旋转变换题,可根据题意作出草图如下:
由图可知△BCO≌△EDO,故可知BC=OE,OC=DE
答案为:(3,1)
考点:坐标点的变换规律
10. (2017贵州黔东南州第16题)把多块大小不同的30°直角三角板如图所示,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0,1),∠ABO=30°;第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1;第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2;第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3;…按此规律继续下去,则点B2017的坐标为 .
【答案】(0,﹣)
【解析】
试题解析:由题意可得,
OB=OA•tan60°=1×=,
OB1=OB•tan60°=,
OB2=OB1•tan60°=()3,
…
∵2017÷4=506…1,
∴点B2017的坐标为(0,﹣),
考点:点的坐标.
11. (山东莱芜第16题)在平面直角坐标系中,以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位,得到△(点分别为点的对应点),然后以点为中心将△顺时针旋转,得到△(点分别是点的对应点),则点的坐标是 .
【答案】(11,7)
【解析】
试题分析:在平面直角坐标系中,以点A(4,3)、B(0,0)、C(8,0)为顶点的三角形向上平移3个单位,得到△,则(4,6)、(0,3)、(8,3)。以点为中心将△顺时针旋转90°,得到△(点分别是点、的对应点)则点较向上移动(4个单位)较向右移动3个单位,故为(11,7).
考点:平移与旋转变换
12. (2017湖北咸宁第15题) 如图,边长为的正六边形的中心与坐标原点重合,轴,将正六边形绕原点顺时针旋转次,每次旋转,当时,顶点的坐标为 .
【答案】(2,2)
试题分析:2017×60°÷360°=336…1,即与正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转1次时点A的坐标是一样的.当点A按顺时针旋转60°时,与原F点重合.连接OF,过点F作FH⊥x轴,垂足为H;由已知EF=4,∠FOE=60°(正六边形的性质),∴△OEF是等边三角形,∴OF=EF=4,
∴F(2,2 ),即旋转2017后点A的坐标是(2,2).
考点:坐标与图形变化﹣旋转;规律型:点的坐标.
13. (2017山东烟台第16题)如图,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长均为1.与是以原点为位似中心的位似图形,且相似比为,点都在格点上,则点的坐标是 .
【答案】(﹣2,)
考点:位似变换;坐标与图形性质.
14. (2017贵州六盘水第22题)如图,在边长为1的正方形网格中,的顶点均在格点上.
(1)画出关于原点成中心对称的,并直接写出各顶点的坐标.
(2)求点旋转到点的路径(结果保留).
【答案】(1) ;(2) .
试题分析:(1)利用中心对称画出图形并写出坐标;(2)利用弧线长计算公式计算点旋转到点的路径.
试题解析:
(1)图形如图所示,
(2)由图可知,OB=,
∴=.
考点:坐标与图形变化-旋转(中心对称);弧线长计算公式.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/ad1adf89bfd5b9f3f90f76c66137ee06eff94ed8.html
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