2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）

2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，0，，，则　　

A．，0， B．， C．， D．，

2．命题“存在，的否定是　　

A．不存在， B．存在，

C．对任意的， D．对任意的，

3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　　

A． B． C． D．

4．平面向量与的夹角为，且，，则　　

A． B． C．19 D．

5．已知，，，则、、的大小关系为　　

A． B． C． D．

6．函数零点所在区间为　　

A． B． C． D．

7．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数、满足：，，成等差数列且，，成等比数列，则的最小值为　　

A． B．2 C．8 D．

8．函数的图象的大致形状是　　

A．

B．

C．

D．

9．设椭圆的上焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为　　

A． B．

C． D．

10．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件　　

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

11．圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为的球，则的最大值为　　

A． B． C． D．

12．已知锐角的角，，的对边分别为，，，且，三角形的面积，则的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．不等式的解集为　　．

14．已知数列中，，，则数列的通项公式是　　．

15．已知一组数1，2，，6，7的平均数为4，则这组数的方差为　　

16．已知函数，若存在实数，，，当时，，则的取值范围是　　．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期和对称中心坐标；

（Ⅱ）讨论在区间上的单调性．

18．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，求数列的前项和．

19．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量（单位：的数据，其频率分布直方图如图．

（Ⅰ）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过的概率；

（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：

流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．

该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？

20．如图，在四棱锥中，平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积．

21．已知，，，若动点满足，设线段的中点为

（1）求点的轨迹方程；

（2）设直线与点的轨迹交于不同的两点，，，，且满足，求直线的方程．

22．已知函数，

（1）若，，判断在上的单调性，并用定义证明；

（2）已知，，存在，，对任意，，都有成立，求的取值范围．

2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，0，，，则　　

A．，0， B．， C．， D．，

【解答】解：，0，，，

，．

故选：．

2．命题“存在，的否定是　　

A．不存在， B．存在，

C．对任意的， D．对任意的，

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在，的否定是：对任意的，．

故选：．

3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是，

故选：．

4．平面向量与的夹角为，且，，则　　

A． B． C．19 D．

【解答】解：平面向量与的夹角为，，，

，

，

．

故选：．

5．已知，，，则、、的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

．

故选：．

6．函数零点所在区间为　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数在定义域内是连续函数；

（2），（3）；

（2）（3），

根据零点存在性定理，

的零点在区间上，

故选：．

7．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数、满足：，，成等差数列且，，成等比数列，则的最小值为　　

A． B．2 C．8 D．

【解答】因为甲的中位数为81，故；

因为乙的平均数是86，可求得；

因为，，成等比数列，所以，

因为，，成等差数列，则，且、为正实数，所以

故选：．

8．函数的图象的大致形状是　　

A．

B．

C．

D．

【解答】解：的函数的定义域为，

为偶函数，

关于轴对称，

当时，，

当时，（1），

故选：．

9．设椭圆的上焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为　　

A． B．

C． D．

【解答】解：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，的焦点坐标排除；

的焦点坐标排除，

由排除，

故选：．

10．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件　　

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

【解答】解：2021年某省新高考将实行“”模式，

即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，

共有12种选课模式．某同学已选了物理，

记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，

则事件与事件不能同时发生，但能同时不发生，

故事件和是互斥事件，但不是对立事件，故正确．

故选：．

11．圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，该圆柱内有一个体积为的球，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，所以该圆柱的底面半径为解得，

圆柱的高为，该圆柱内有一个体积为的球，当球的最大圆的与圆柱的侧面相切时，该球的体积最大值．

故选：．

12．已知锐角的角，，的对边分别为，，，且，三角形的面积，则的取值范围为　　

A． B． C．， D．，

【解答】解：因为三角形为锐角三角形，所以过作于，在边上，如图：

因为：，所以，

在三角形中，，

在三角形中，，

，，

．

，．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．不等式的解集为　　．

【解答】解：由可得，

整理可得，，

解可得，．

故答案为：

14．已知数列中，，，则数列的通项公式是　　．

【解答】解：数列中，，，

所以，

当时，，

进一步整理得，，

，

，

所以，

则：（首项符合通项）．

故．

故答案为：

15．已知一组数1，2，，6，7的平均数为4，则这组数的方差为　　

【解答】解：数据1，2，，6，7的平均数为4，

则，

解得，

所以这组数的方差为

．

故答案为：．

16．已知函数，若存在实数，，，当时，，则的取值范围是　，　．

【解答】 解：分别画出与的图象，如图所示

所以，，得，得

则，

令，，，得，，

又，则的取值范围为，．

故答案为：，．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期和对称中心坐标；

（Ⅱ）讨论在区间上的单调性．

【解答】解：（Ⅰ）

．

，

由，得，．

的对称中心为，，；

（Ⅱ）由，．

解得，．

由，．

解得，．

取，可得在区间上的增区间为，，减区间为，．

18．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，求数列的前项和．

【解答】解：（1）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

所以，整理得，解得．

故．

（2）由于，

所以，

所以

，

．

19．某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量（单位：的数据，其频率分布直方图如图．

（Ⅰ）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过的概率；

（Ⅱ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：

流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．

该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？

【解答】解：（1）由题意知：

．

所以100位员工每人手机月平均使用流量不超过的概率为，

（2）若该企业选择套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，

每月使用流量的平均费用为，

若该企业选择套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用为，

所以该企业选择套餐更经济．

20．如图，在四棱锥中，平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积．

【解答】解：（1）证明：取的中点，连接，

则直角梯形中，，，

，即，

又平面，平面，

，

又，

平面；

（2）平面，

，

又，

平面，

，

，解得，

又，，

，

又，；

又平面，，是直角三角形；

四棱锥的侧面积为

．

21．已知，，，若动点满足，设线段的中点为

（1）求点的轨迹方程；

（2）设直线与点的轨迹交于不同的两点，，，，且满足，求直线的方程．

【解答】解：（1）因为，，，且

所以，

化简得，即①

设，由中点坐标公式得，即②

将②代入①得：

所以点的轨迹方程为

（2）由消去得，

整理得，

所以，

由已知得，

所以

即，即

所以

所以直线的方程为或

即或

22．已知函数，

（1）若，，判断在上的单调性，并用定义证明；

（2）已知，，存在，，对任意，，都有成立，求的取值范围．

【解答】解：（1），，

，且，

，在上为减函数，

证明：任取，，且，

，

，

，

，，

，即，

在上为减函数．

（2），

对任意，，存在，，

使得成立，

即存在，，使得，

当，为增函数或常函数，

，

此时，

则有恒成立

当时，（1）

，

当时，

，

，

．

，

综上所述，，．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/ac685e2e7175a417866fb84ae45c3b3567ecdd33.html