第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试
2012年4月8日 上午9：00至11：00 得分
一、 选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在后面的圆括号内。
1. 实数满足：
；
；
，则
的大小关系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2.下列等式中不恒成立的是（ ）
(A) (B)
（C） （D）
3.一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（ ）
（A）4.2或4.4 （B）4.4或4.6 （C）4.2或4.6 （D）4.2或4.4或4.6
4.化简：（ ）
（A）1 （B） （C）
（D）2
5.Put 8 identical balls into 3 different boxes, each box has at least 2 balls. How many different ways to put the balls?( )
(A)6 (B)12 (C)18 (D)36
(英汉词典：identical完全相同)
6.如图1，在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，-2），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
7.如图2，设点A、B是反比例函数
图象上的两点，AC、BD都垂直于y轴，垂足分别是C、D。连接OA、OB，若OA交BD于点E，且
的面积是2011，则梯形AEDC的面积是（ ）
（A）2009 （B）2010 （C）2011 （D）2012
8.如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上的动点，PE
BD于F，则PE+PF的值是（ ）
（A）4.6 （B）4.8 （C）5 （D）7
9.设是实数，且
，则
的值是（ ）
（A）3 （B）-3 （C） （D）无法确定的
10.循环节长度是4的纯循环小数化成最简分数后，分母是三位数，这样的循环小数有（ ）
（A）798个 （B）898个 （C）900个 （D）998个
二、填空题（每小题4分，共40分）
11.若，计算：
12.若以x为未知数的方程的根是负数，则实数
的取值范围是
13.若是以x为未知数的方程
的根，则m-n的值是
14.正整数满足等式
，那么
，
15.已知，则
的值是
16.已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数
的图象上，直线AB与x轴交于C，如果点D在y轴上，且DA=DC，则点D的坐标是
17.如图4，等腰直角中，
，底边BC的长为10，点D在BC上，从D作BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则DE＋DF的值是
18.如图5，在边长为6的菱形ABCD中，DE
AB于点E，并且点E是AB的中点，点F在线段AC上运动，则EF+FB的最小值是 ，最大值是
19.若实数满足
，则
的值是
20.Suppose is a 6-digit number,
are three different 1-digit numbers, and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is
(英汉词典：multiple倍数)
三、解答题
每题都要写出推算过程
21.（本题满分10分）
如图6，直线
交坐标轴于A、B两点，交双曲线
于点D，从点D分别作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接BC、OD。
（1） 求证：AD平分。
（2） 对任意的实数，求证：AD·BD为定值。
（3） 是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由。
22.（本题满分15分）
如图7，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去。
（1） 若汽车的行驶速度是30m/s，在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？
（2） 某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5s再次鸣笛，若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4s，求汽车的行驶速度。
（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）
23.生产某产品要经过三道工序，同一个人在完成这三道工序时所用的时间相同，甲、乙二人同时开始生产，一段时间后，甲恰好完成第k个产品的生产，此时，乙正好在进行某个产品的第一道工序的操作，若甲、乙的生产效率比是6:5，问此时乙至少生产了多少产品？
2012年参考答案
一、 选择题
二、 填空题
三、 解答题
21.（1）因为A、B是直线和坐标轴的交点，所
由及
得A（-b,0）,B(0,b)
所以
又DC⊥x轴，DE⊥y轴
所以∠CDE=
因此
即AD平分
（2）由（1）知和
都是等腰直角三角形，所以
，
即为定值。
（3）若存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形，则
AO=AC，OB=CD
由（1）知AO=BO，AC=CD。
并且B（0，b）
所以得D（-2b,-b）
因为（正数舍去）
即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。
22.（1）如图1，设经过ts后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5.
所以，经过5s后司机听到回声。
（2）设汽车的行驶速度是，声音传播的速度是
，汽车两次鸣笛的时间间隔是
；汽车第一次鸣笛
时间后，司机第一次听到回声；汽车第二次鸣笛
时间后，司机第二次听到回声；汽车第一次鸣笛时距离山壁为
.
如图2，如果司机先听到第一次鸣笛的回声，则有
两式相减，得
即
司机两次听到回声的时间间隔是
代入数据，得
解得
如图3，如果司机先听到第二次鸣笛的回声，同理，得
司机两次听到回声的时间间隔是
代入数据，得
解得
这样的速度不切合实际。
所以，汽车的行驶速度是20m/s
23.设甲生产一个产品所用的时间为t，则乙生产一个产品所用的时间为。
用[a]表示不大于a的最大整数，{a}=a-[a],如[3.14]=3,{3.14}=0.14
甲生产k个产品所用的时间为kt，此时乙生产了个产品
由题知，乙正在进行某个产品的第一道工序的操作，所以
而可能取值是
（见下表）
从表中可以看出，满足的最小的k的值是5，
因此，乙至少已经生产了=4个产品。
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a9e3253bb307e87100f69644.html
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