文档文库
手机版
投诉建议
热门搜索： 心得体会 演讲稿 思想汇报
首页 > 线性代数第3版习题全解(上海交通大学)

线性代数第3版习题全解(上海交通大学)

发布时间：2021-08-30   来源：文档文库   
小 中 大
字号：
手机查看
习题1.1 1. 计算下列行列式： (1 7415x； 2cosxsinxsinxxyxyx;yxzzy； 4x2cosx1010cosx3zy2cosx1； 12cosxyxyx(5 yxy。
解：
(1 7415=7×5−1×4=31；
(2 D1；
xyzyxzyz1yzy
x(3 Dxyzxyz1yxyz1xx1zzxyz0xy0zyyzx3y3z33xyz。 xz2cosx12cosx1012cosx014cos2x2cosx102cosx112cosx(4 10
14cos2x2cosx1xyxyx2cosxxyxy8cos3x4cosx。
(5 yxy=x(xyyyx(xyyx(xy(xy2(xy
y3x32x32y3
2. 用行列式方法求解下列线性方程组：
2x1x23x313xy1(1 ； (2 4x12x25x34。
5x2y8xx331解：

(1 Dx13111311,D110,D229, 528258D1D10,x2229 DD21311320527,
1(2 D412053,D141321120213D24453,D441311x1418，
3DD1D9,x221,x336。 DDD3．求下列各排列的逆序数：
(1 34215； (2 13…(2n−1(2n(2n−2…2。 解：
(1 t=2+2+1=5 (2 t[12(n1][(n1(n221]n(n1
4．写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。 解：aij44(1ta1p1a2p2a3p3a4p4(1ta11a23a3p3a4p4
P3P4是2，4的全排列，即24，42，故(1t(1324a11a23a32a44,(1t(1342a11a23a34a42 即a11a23a32a44，a11a23a34a42。 5．证明
00D0an1 2…an1 n1an1 nan1an2…an n1ann00……0a2 n1a1na2n(1n(n32a1na2 n1…an1 2an1。
按行列式定义即可证明（略）。
习题1.2 1. 试证明行列式性质4。

a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2ain证：Dk0 kai1kai2kainai1ai2ainan1an2annan1an2ann2. 计算下列行列式：
11104124(1 110112021011； (2 10520。 011101171110111011101110解：(1 1101001111111011=0101011010100012
01110111001100111110011100123； 0003412412021202120(2 12022440111052041105207200152200152011701170117072120212020117117001785179000150。 0094500153. 计算n阶行列式：
a11…1111…11a1…1120…0(1 D11a…1； (2 D103…0。
111…a100…n27204

n1an1an1an1a11a111100 a1解：(1 D111111a1111a1
1a1(n1a11a11110a101(na100a1a000(n1a(a1n。
111(2 把第2行的倍，第3行的倍，……，第n行的倍都加到第123n行上去，D可化成下列行列式
n11000i2in12001Dn!(1。
1030i2i100n习题1.3
1. 计算下列行列式：
1111a0111a(1 D；22011a1111ba2b2c2bbaababbbb;ba0a3baa0abba0aab; a0(4 D(a12(b12(c12(a22(b22(c22(a32(b32(c32。
d2(d12(d22(d32111111101111331解：(1 D2132(12； 0213210020002
aa (2ab0bbaababb003babbbb00ab0
b0ab00abaab0ab0bbb0ab0ab0 abab0033abaababaabbababab；
0a(3baa0abba0aa2abb2aba2ab02aba0abba0aa1b12aba101a0abba0aab a01aba0aabbaaba 2ab2abb00b0baa0baabab22ab2ab；
a2b2c2d2a2b2c2(4 Da22a1b22b1c22c1a24a4b24b4c24c4a2b2c2a26a9b26b9c26c92a1262b1262c1262d126
d22d1d24d4d26d96a96b96c92a14a42b14b42c14c40。
d22d14d46d9d22. 计算下列行列式：
123…n1110…0022…0(1 Dn000000…2nn0122…2222…20；(2 Dn223…2；
0…n11n222…n
000…0100…2001x11…11(3 Dnn10…00000…00n；(4 Dn111x2…1。
…1xn解：(1 从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得 n(n123n1n102010002202200n(n1Dn2000002n000000n11nn(n1(1(22(1n1(2n(1n(n1!；
2002n00
0n11n(2 第2列的(−1倍分别加到其他各列上去，得
12002000200210Dn0212(n2!； 01020n220n2(3 先按最后一行展开，得
Dnn(1n10000012000n(1n1(1(n1(n2(n1!
2n10(1n2n42n!；
(4 将Dn增加一行、一列，得到n+1阶行列式：

11101x11Dn011x201i1n111111x10110x21xn100xn100100xn11ai111x1000x20
000(1i1n1(a1a2aian。(设a1a2an0。
习题1.4 1. 用克莱姆法则解线性方程组：
x12x23x34x44,x2x3x43,(1 ；
x41,x13x27x23x3x43。x1a1x2a12x3…a1n1xn1,2n1x1a2x2a2x3…a2xn1,(2 其中ai≠aj，i≠j(i，j=1，2，…，n。
2n1x1anx2anx3…anxn1。12340111解：(1 D16,D11301073142343111168，
130137311434124403110131D2316,D3616，
1101131103310731
12340113DDDDD40,x118,x223,x336,x440；
1301DDDD07331a1a122a2a1n1n1a21a1,D11a2a122a2a1n1n1a2(2 D1a2D,
1ana2an1nn1ana2nan1n11a21an111a1a211D11a2an1220,,D1a2a2212n011a2an1nn1ana2n1故x11,x2x3xn0。
2. 问λ取何值时，下列方程组有唯一解？
x1x2x31,x1x2x3, xx212x3。112111111解：D1121(211(201121110(2(12
故当2且1时，方程组有唯一解。
3. λ，μ取何值时，下列方程组有非零解？
x1x2x30,x1x2x30, x12x2x30。1111解：D11111(1。
1210011当1，且0时，方程组有唯一解（零解）， 当1或0时，D=0，方程组有无穷多解。 4. 求下列行列式的值：
1110
01

2345491625(1 D； (2 Dn182764125a1681256625a1x1y11x1y21x1yn1x2yn1xnyn;4Dn1x2y11x2y21xny11xny2an(a1n…(annan1(a1n1…(ann1；
a1aa1b2a2b2anb2……anaa1bna2bnanbn;

a1b1a2b1anb13Dn1a112a2nn12nan,a1a2an0；
5Dn2n123a126Dnaa1aaa01101n12n2； (7 Dn121…n2n1…n3n22334……nn1；
nn1n2…2n1(8 Dnn2n3n4…n1n2n3…0110。
222D3解：(1 22433233344424344511332331442431552 535222345532254232345(32(42(52(43(53(541440
11a11an(2 Dn1a(1n(n12a
an1(a1n1an(a1n(ann1(ann
a(1(1a(ijjin1n(n12n(n12(12n[12(n1]1
1x1y11x1y21x1yn(3Dnx2x1y1x2x1y2xnx1y1xnx1y2x2x1ynxnx1yn。
若将其按第一行展开，当n2时，所有代数余子式全为0。因此，当n2时，Dn0；当n1时，Dn1x1y1；n2时，Dn1x1y11x1y2x2x1y1x2x1y2
x2x1y2y1。
a1b1b2b1bnb1bnb1bnb1(4Dna2b1b2b1anb1b2b1 。
若将其按第一列展开，当n2时，所有代数余子式全为0。因此，当n2时，n2时，Dn当n1时，Dna1b1；Dn0；a1b10a20a1b200a3ana2b1a2b2 a1a2b1b2。000nani1n1a100a20an00a3an123nana100(5Dn0an
iaianana1a2n1ian1nana1a2i1ainian1。 i1ai1a1111111a00aaaa11 1a(6Dn00a1a101aaa1a101a00
aaaa11100100
1a11nn11aa101a100n111a0nn111aa211a1n2010a01aa21nn11ann1a1an。
(7 第2列的(−1倍加到第3列，同时把第1列的(−1倍加到第2列，其余各列不变，得
Dn111211n11nn12n10
(8 将第k行的(−1倍加到第k+1行上去(k=n−1，n−2，n−3，…，3，2，得
0110Dn21n2111n1111012n3n2n11010120000002001220020000n3n211111111212020000n4n3n23n2n1n020002000n
11(1n3n2n13n2n1n00020022002n3n2n1000000200200
00n1n10000(1n1(n12n2。
2002n2(1(1(n11(n100005. 用递推法计算行列式

cos1Dn000cos100012cos10012cos100012cos00012cos000002cos100000012cos000。
解：Dn2cosDn1
2cos0012cosDn1Dn2，
上式为关于Dn的差分方程，其特征方程为r22cosr10，特征根为rcosisin，故DnC1cosnC2sinn。又D22cos21cos2，得C20,C11，从而Dncosn。
复习题1 x112x1. 设D12x111x1，D的展开式中，x4的系数等于______，x3的系数等于x32x_____。
解：将D按第一列展开，得四项求和
2xDx21x11x112x12112x21xx
2x31x312xx23x31xx只有第一项能出现x4，其系数是2。第一项含x3，系数−2；第二、三项不含x3；第四项含x3，其系数2。故D中x3的系数为−2+2=0。 2. 计算n阶行列式

x1bDnbbbax2bbbaaaaabaaa。 axnx3bbxn1x1b解：Dnax2bbbaax3bbaax3bbaax3bbaaaaaaxn1baaaaaaaaxnax1bbbbax2bbbaax3bbaaaxn1b0000xna

bbbx1bbbbx1babbb0a000n1i1ax2bbbax2bbbxn1abaaaa111xnaDn1
xn11bababx3b001ababab111xnaDn1
x1babx2b000xn1b101n1i1axibxnaDn1，同理可得DnbxiaxnbDn1。
axibbxiai1i1nn当ab时，从上述两式可以解得Dnab；

n1n当ab时，只须对上式令ba即可得Dn1axia。
i1xiai13. 计算n1阶行列式(ai,bi均不等于零，i1,2,,n
22a1Dn1a2nna1b1a2b2an1bn1b1a1b2a2n1n1n1a1a2n2n2b12b1nnb2an1bn1a122b2。
nan11nDn1a1na2解：nan1nn1bn11b1b2bn1a2b1b22a1nna2（范德蒙行列式）
n1bn1an1an1bn1an1 ai1nni1jinbibj。 aaji4. 设Da11an1,11a12an1,21a1n，求证：DD1D2Dn，其中Dk
an1,n1,xn1,1后所得的新行列式。
k1,2,,n为将D中第k列元素换成x1,x2,证明：将D增加一行和一列得到下列n1阶行列式，此行列式显然为0。 1111a11a12a1nx1
an1,1an1,2an1,nxn11111将此行列式按第一行展开，得1k1n1k1A1k0， Dkk1,2,,n，
显然Ak11nkDk,1k1A1k1nn11n11A1,n1D，故DDk。
k1
135. 已知四阶行列式D1113解：D11235134622351346244，试求A41+A42与A43+A44的值。其中A4j是72D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4。
41234358403583336。 70333112201120,ij由于ai1Aj1ai2Aj2ai3Aj3ai4Aj4，分别取i=j=4，得
D,ija41A41a42A42a43A43a44A446
再取i=2，j=4，得a21A41a22A42a23A43a24A440。
A41A422A432A446将a41,a42,a43,a44,a21,a22,a23,a24代入，得。
3A3A4A4A042434441解得A41A4212,A43A449。 6. 计算n阶行列式
1x11x21xn1x1221x221xnDn1x1nn1x2n1xn。
解：将Dn增加一行、一列得到下列n1阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以
11111x1n111x122x21x1nnx2
01x11x122Dn01x21x21x1n1x21x2201xn1xnn1xn1xn1x122x22xnnxn111x122x21x1n201x11x1nnx2
1x11x21xnnx20x22xnnxn0xn2xnnxn
111xxx21221xx2xii1n1n2n1x11x21xn1x11x21xnnx1n1n1x2
2nxijnnn1xn2xii1n1jinxxx1xx
iiji11jinnn2xixi1xixj。
i1i11jin7. 设a,b,c,d是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解：
ax1bx2cx3dx40bxaxdxcx01234。
cxdxaxbx01234dx1cx2bx3ax40证明：方程组的系数行列式
abbaDcddccddc，
abba显然，D满足D2DDTa2b2c2d20， 根据克莱姆法则，此方程组只有零解。
xyyyzxyyy。 8. 计算行列式Dnzzxzxzx解：Dn00yxyzx0zy0xy0n1zxy00xyxyDn1y1n1zxn1
xyDn1yxz。
n1对调y,z，即得Dn的转置行列式，从而DnxzDn1zxy，当yz
时，联立得
yxzzxy；
yz当yz时，对上式取极限zy得
nnxy故
n1xn1y，
yxznzxyn,yzyzDn。 n1xyxn1y,yzana1c1cnb1d1bn9. 计算行列式D2n。
dnan1a1解：D2nanbn1b1d10c1cn100an1
dnbn cn12n1a1c1cn1b1d1dn10
andnD2n2cnbn12n11D2n2andnbncnD2n2n
andnbncnan1dn1bn1cn1a2d2b2c2D2aidibici。
i1
10. 设Daijnn。
(1 如果aiiaiji1,2,ji,n,证明：D0； ,n,证明：D0。
(2 如果aiiaiji1,2,ji证明：(1 假设D0，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组
a11x1axn11a1nxn0
annxn0有非零解(x1,x2,,xnT 。
设r是该解中满足xrmaxxi的正整数，则
iaj1nrjxj0，arjxjarrxr,arjxjarrxr，
j1jrj1jrnnarrarjj1jrnxjxrarj，
j1jrn与题设矛盾，故D0；
(2显然，aii0，从而aiiaiiaij，由(1知，D0。
ji
习题2.1 1. 一个n阶方阵A，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问A是什么类型的矩阵？ 答：A是对角矩阵。
23aababc123,Bx1y2z3。若AB，试求a,b,c,x, 2. 设A1445656y,z的值。
解：根据矩阵相等的定义，有
a1,ab2,abc3,x11,y22, z33,解得
a1,bc1,x2,y4,z6。

x2x43,3. 设有线性方程组x1x34,试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。
2xx0,12010101013解：系数矩阵、增广矩阵分别为A1010,A10104。
210021000习题2.2 0135411. 设A3232,B14201038131612解：AB51010,BA1227431111299202，试求AB,BA,ATBT。 20388323121238TT2992T。 ,ABBA388382288212432222. 设A,B，试求(A+B，A+2AB+B，|5A|，|AB|以及A*。
342155555050解：(AB
5555505027108522154535A22ABB22
1522201310765555A52A50，或5A5108550,AB4，或
1520201342ABAB(2(24,A。
313. 若矩阵A,B,C，满足条件ACCB，试证明：A,B必为方阵；问C如何？ 证明：根据矩阵相乘的条件，可设Aaijmk,Bbijnl,Ccijkn， 由ACCB，得mk,nl，即A,B为方阵，而C不一定为方阵。

4. 设a1a2b1ban,2，如果A，试求矩阵A的所有元素之和。
bnb1a1b1a2babaan2122bna1bna2b1anb2an， bnanb1b2A解：a1bna2nn A的所有元素之和为aibj。
i1j1115. 如果ABBA，则A与B可交换。试求所有与可交换的矩阵。
01ab11ab1111ab解：设A与可交换，即，
cd01cd0101cdaabacbd，得ad,c0， ccdcd11ab故与可交换的矩阵为，其中a,b为任意实数。
010a16. 设A01000nA，试求（n为非负整数）。 11010000解：记A0101000EB，
00100100000 则B2000,B3B4000BnO，
从而AnEBn1nnn12EnBB01200nn122n。
17. 试证明：对任意矩阵Amn，AAT恒为对称矩阵。

证明：因为AATATATAAT，所以AAT为对称矩阵。
TT8. 设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，试证明： (1A2为对称矩阵；
(2ABBA为对称矩阵；
(3AB为反对称矩阵，当且仅当ABBA。 证明：由题意知，ATA，BTB。
(1 因为A2ATA2，所以A2为对称矩阵；
T2(2 因为ABBAABBABTATATBTABBA，所以AB
BA为对称矩阵；
TTTT(3 AB为反对称矩阵ABABBTATABBAABAB
BA，得证。
习题2.3 a111. 设Aa21a31a12a22a32a13a23a33a14a24，假设矩阵B是由A分别经过下列初等变换得到a34的，试求矩阵B。
(1先交换矩阵A的第一、三行，然后将第二列的2倍加于第三列； (2用3乘矩阵A的第一列，而后将第一行的1倍加于第二行。
a31解：(1 Ba21a11a32a22a12a332a32a232a22a132a12a12a22a12a32a34a24； a14a13a23a13a33a24a14。 a34a143a11 (2 B3a213a113a312. 试求一个三阶方阵P，使得PA等于对A经过下面的初等变换所得到的矩阵：先交换A的第一、第三行，再用3乘矩阵A的第二行，最后将第一行加于第二行。
解：根据定理1.1，所求三阶方阵P等于将三阶单位矩阵做题中初等行变换后的矩阵，即

001P031。
1003. 试求一个方阵Q，使得Am4Q等于对Am4经过下面的初等变换所得到的矩阵：首先用2乘矩阵A的第三列，然后将第一列的1倍加于第二列，最后交换矩阵的第一、第三列。
解：根据定理1.1，所求三阶方阵Q等于将三阶单位矩阵做题中初等列变换后的矩阵，即
011Q010。
2004. 将下列矩阵行初等变换成简化阶梯矩阵：
234220151233 (1 1211；(2 214541321351512。 33201512111211r1r2(2r1r220150433解：(1 1211r1r3
13211321011212111211(4r2r3r2r301120112 (1r304330015120610002r2r1(1r3r201030103r3r1。
0015001523421233(2 214543515133122r1r223422145433351521(2r1r2 2r1r33((3r1r433323321212011043011043(5rr(1r223 0551101(1r2r40011014(1r301104300000
10002332111043(10r3r20(3r3r1001101400000100001002100033440104143(2r2r1 1101400001752420104143。
110140005. 设A36121100342010，试求矩阵A的简化阶梯矩阵R。如果令B表541001示A36的前三列组成的三阶方阵，C表示R的后三列组成的三阶方阵，试计算BC和CB。 解：A36121100100210021310021310 01465010011671100210100210131 02013610103， 2200116710011671210121100113BC3423010，
254121671001210121100131CB3342010。
221671541001习题2.4 OEn1OEnkk1. 设A为n阶方阵，证明：Ak1,2,0OOOO，mn。
,n1，Am

0110证明：A2000001101000000001000000001100 100OEn2OEn33 ，类似可证A,OOOOOE1m,An1,AOmn。
OOOOEn1k2. 设A，证明：A1OEk0110证明：A201000110100100Enkk1,2,O000110000001,n1，AnEn。
11 10000O E2En2O3，类似可证AOE3En3,O,An1OEn1E1n,AEn。 O习题2.5
1. 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
213 1A012;1031110142B;0431212423C; 31011230112。 4D0011100121310021解：(1 A,E012010011030010123232100010
1012
2001001252101220101001112000052652512653512254 513100520105100153155331341，故A1234。 5551121255111100103110(2 B,E014010014010
04300100130411313100110011313131334340100， 0100131313130013041410010131313131故B1034。
13041121100121100(3 C,E242010000210，故C不可逆。
31000105330111230112(4 D,E00111001112310112000110012410100001010000100001000 0103511112010110003611001000 0101000010
1000010000101811303011001001091131001199121003311010990091100089103 2139311310001199121003311010991100999000130231389113136013，故1D1911691131983。 112. 解下列矩阵方程：
4111 (1A；
(2 720120153121B12； 1321211120(3 C01100011010100。 1117413 4414111解：(1 17201044001487441021，故A21。 301737341(2 解法一：
20153B121121321221120153112112 01121322132
132530111531231。 11641251201100121010r1r2201100 解法二：121010132001132001121010121010r2r3(2r1r2043120011011 r1r3011011043120012101121010(1r3(4r2r3011011011011
0011640011641201741001322r2r1(1r3r2010153010153 r3r10011640011641325301所以B1531231。
16412512015312112r1r2(2r1r220153 解法三：12112r1r313212132121211212112r2r3(4r2r30433101120 01120043311211212112(1r3(1r3r20112001120 r3r1001510015112063100012r2r10103101031 001510015101所以B31。
51
100(3 1001121001001101101011101001001011。 00112111，故C0011001001110101001001111011011213. 设A342，并且ABAB，试求矩阵B。
122解：由ABAB，得ABBA,AEBA，
021121121122332342021121AE,A 1211220310241211221002112102031024001002000012011201320121
512001100001206010103， 350013251220011故AE可逆，且BAEA103。
3254. 设A为三阶方阵，且A11，求(A1(4A。 231(4A[(A1(4A]12E4AE20E13解：(A1(4A 250。134A324325. 证明：可逆矩阵的性质(1，(2，(3。

证明：设A可逆，即有A1，使AA1A1AE。
(1 按照可逆的定义，A1也可逆，且A1A。
1A(3 因为AAAA(2 因为AT1T1AAEE，所以AT也可逆，且ATA1。
1T1T11E，所以A也可逆，且A11A1。
6. 设A为n阶方阵，其伴随矩阵为A*：
(1 证明：如果|A|≠0，则A*可 逆，并求(A*−1； (2 证明：如果|A|≠0，则|A*|=|A|n−1；
(3 在|A|≠0的情况下，导出矩阵(A**和A之间的关系。 解：(1 因为AAAE，所以，当A0时，nAA即A*可逆，且(A1。 AE，AAn1(2 因为AAAE，所以AAA。当A0时，AA(3 因为A(AAE 由(2知 A(AAn1。
E，
由(1知 当A0时，(A1存在，且(A17. 设A2A，证明：AE可逆。
An2，所以(AAE。
A证明：由A2A，得A2A2E2E,AEA2E2E，
2EA AEE，根据可逆定义，AE可逆。
2E8. 设方阵A满足A33A10EO，证明：A和A4E都可逆，并求其逆矩阵。
A23E证明：由A3A10EO，得AA3E10E,AE，
1032A23E即A可逆，且A。
101同理可得，A34A24A216A13A52E42E，
A24A13EA4EA4A13E42E,A4EE，
422即A4E可逆，且A4E1A24A13E。
42
复习题2 1. 设A,B均为mn矩阵，证明：AB的充分必要条件是对任意n维列向量，有AB。
证明：必要性显然，下证充分性。
a1b1ab22 设A,B，其中aiai1,ai2,ambm0向量，由题意知，对向量1j,j1,2,0,ain,bibi1,bi2,,bin为n维行,n，AB，即aibi，亦即aijbij，从而AB。
2. 证明：ATA的充分必要条件为对任何实的列向量x，有xTAx0。 证明：因为xTAx为实数，所以xTAxxTAx，即xTATxTxTATxxTAx。
TT必要性：若ATA，则xTAxxTAx，从而xTAx0。 充分性：若xTAx0，则xTATAx0。 记BATAbij,xx1,x2,,xn，取某一个分量xi1，其余分量为零，T由xTBx0得，bii0，再取某两个分量xi1,xj1,ij，其余分量为零，由xTBx0又得，bij0,ij，从而矩阵BO，即ATA。
3. 设Amn为实矩阵，证明：AmnO的充分必要条件是ATAO。 证明：必要性显然，下证充分性。
记Aaij，则BATA对角线上的元素为
a,a2i1i1i1nn2i2,2， ,aini1n由题意，

aa2i1i1i1nn2i22ain0， i1n从而aij0，即AmnO。 4. 证明：
(1对任意方阵A,B,AB主对角线上的元素的和等于BA主对角线上元素的和； (2对任意方阵A,B,ABBAE永远不可能成立。
证明：(1 记Aaij,Bbij，则AB、BA对角线上的元素分别为
ab,a1ii1i1i1nn2ii2b,,anibin和b1iai1,b2iai2,i1i1i1nnn,bniain。
i1n显然，两者的和相等，都等于aijbji。
i1j1nn (2 由(1可知，对任意方阵A,B，AB主对角线上元素的和等于BA主对角线上元素的和，从而ABBA主对角线上的元素为0，因此ABBAE不可能成立。 5. 若方阵A,B的乘积AB可逆，试证明：A和B都可逆。
证明：若A不可逆，即A不能表示成一些初等方阵的乘积，从而AB也不能表示成一些初等方阵的乘积，即AB不可逆，矛盾，因此A可逆。同理，B也可逆。 6. 设A满足A2A2EO，证明： (1A和AE都可逆；
(2AE和A2E不能同时可逆。
AE证明：(1 由A2A2EO，得AAE2E,AE，
2 由可逆定义，A和AE都可逆。
(2 由A2A2EO，得AEA2E0。
AEOAE若AE和A2E同时可逆，则，矛盾，从而，AE,A2EOA2E和A2E不能同时可逆。
7. 设A可逆，证明：A为上（下）三角矩阵充分必要条件为A1为上（下）三角矩阵，并且A与A1对角线上对应元素互为倒数。

证明：因为A1A，所以充分性与必要性等价。下证必要性。
1a11设Aa12a22a13a23an1,n1a1nb12b11a2nb22b21,A1an1,nbn1,1bn1,2bannbn2n1b13b23bn1,3bn3b1nb2n。 bn1,nbnn由A可逆，得aii0。因为AA1E，由第n行得bn1由第n1行得bn1,1bn,n10,bnn1ann，,
类似地，可得bij0,j1,2,bn1,n20,bn1,n11an1,n1，i1,bii1aii,i1,2,素互为倒数。
,n，即A1也为上三角矩阵，且A1与A对角线上对应元0111211238. 解矩阵方程100X001232。
001013121解：记方程为AXBC，则
0111001000100101100010010101A101，A,E； 001001001001001121100105102001010013001B,E 013001001010100152152010031，B1031； 001010010231故XA1CB1020。
1009. 设A,B都可逆，证明下列矩阵都可逆，并求其逆矩阵。
OAAO (1； (2。
BOCB
AC3OAC1C2证明：(1 令，即EBOC3C4BC1AC3EAC4，得EAC4BC1O，
BC2BCE2由于A,B都可逆，从而C3A1,C2B1,C1C4O，故
OOA1BOA1B1。 OAOC1(2 令CCB3C2AC2AC1，即EE，得
C4CC1BC3CC2BC4AC1E1111AC2CC1BC3O，从而C1A,C2O,C3BCA,C4B，故 CCBCE24A1AO11CBBCA1O。 1B10. 设方阵A可逆，并且每行元素之和都等于常数，证明：
(10； (2A1的每行元素之和都等于常数1。 证明：(1设AP2(1,1P3(1,1Pn(1,1B，根据题意，B的第1列元素均为。若0，则B不可逆，而A及Pi(1,1均可逆，矛盾，故0。
111111 (2显然，A，又A可逆，而0，得A1，即A1的每111行元素之和都等于常数1。
习题3.1 20211. 设a11,a21,a34，求a2a1a23a3。
2003
22021191解：a2a1a23a3a121134。
20203292. 设向量a12,5,1,3,a210,1,5,10,a34,1,1,1满足：
3a1a2a2a5a3a0，
求向量a。
解：由3a1a2a2a5a3a0，得a3. 讨论下列向量组的线性相关性：
115a1a2a31,2,3,4。 23613(1 a11,3,0,a2,,0；
22TT103(2 a11,a21,a30；
0105272113(3 a1,a2,a3。
9211134解：(1 因a1与a2成比例，故a1,a2线性相关；
103(2 因a1,a2,a311030，故a1,a2,a3线性无关；令
01052(3 a1,a2,a391270131301130550211025250341341001301， 14Ra1,a2,a33m，故a1,a2,a3线性无关。 4. 设向量a1,a2,a3线性无关，试证明：向量组
b1a1a2a3,b2a1a23a3,b3a12a23a3
线性无关。
证明：令k1b1k2b2k3b30，即k1k2k3a1k1k22k3a2k13k23k3

a30，由a1,a2,a3线性无关，得
k1k2k30k1k22k30， k3k3k0231其系数行列式
11111260，
133即上述线性方程组仅有零解，从而b1,b2,b3线性无关。 5. 若向量组a1,a2,中b1a2a3,ann1线性无关，求证：向量组b1,b2,an,b2a1a3an,,bna1a2,bn线性无关，其an1。
证明：令k1b1k2b2knbn0，即k2k3kna1k1k3kna2
k1k2kn1an0，由a1,a2,k2k3kk13k1k2,an线性无关，得
kn0kn0kn10，
其系数行列式
0111011101n1n10，
即上述线性方程组仅有零解，从而b1,b2,,bn线性无关。
6. 若向量组b,a1,a2线性相关，而向量组b,a2,a3线性无关，试证明：a1必可由向量组b,a2,a3线性表示。
证明：因为b,a1,a2线性相关，所以b,a1,a2,a3也线性相关。又b,a2,a3线性无关，从而a1可由b,a2,a3线性表示。

11117. 已知a12,a21,a31,a41，试问向量组a1,a2,a3,a4是否线性相1111关？a1能否由向量组a2,a3,a4线性表示？
解：因为向量组所包含的向量个数大于向量维数，所以向量组线性相关。
k21k2k3k411令a1k2a2k3a3k4a4，即k2k3k42，解得k3，故a1能由向量2kkk12341k4211组a2,a3,a4线性表示，a1a2a3a4。
228. 证明：若b可由a1,a2,线性无关。
,ar线性表示，且表示法唯一，则向量组a1,a2,,ar必证明：考虑方程组bk1a1k2a2krar，由题意知，方程组有唯一解，即
,ar线性无关。
Ra1,a2,,arRa1,a2,,ar,br，从而a1,a2,
1. 用初等变换求下列矩阵的秩：
110221211A； 134032132213132A； 705180111202220。 3A011111101111021102解：(1 A21210325,RA3。
13400027
3213213441(2 A21313071195,RA2。
705180000001112000030222000402,RA4。 (3 A011110111111011110112. 试用矩阵判别定理判定下列向量组的线性相关性：
1a11,2,1,32a15,6,7,7TT,a22,3,10,1,a32,4,2,6；
TTTTT,a22,1,0,0,a30,1,0,0,a40,1,1,0；
T3a16,4,1,1,2,a21,0,2,3,4,a31,4,9,16,22,a47,1,0,1,3TTT12212340解：(1 11020316056(2 772100270020,Ra1,a2,a323m，线性相关。 00006111111110,Ra1,a2,a3,a44m，线性无关。 015200007000419000,Ra1,a2,a3,a434m，线性0000174061404112(3 12905113161002422300相关。
3. 设a1,a2,,an是n维向量，已知基本单位向量1,2,,an线性无关。 而1,2,,n线性表示，,n可由a1,a2,,an线性表示，证明：向量组a1,a2,证明：因为a1,a2,,an可由1,2,,an与1,2,,n也可由a1,a2,,an线性无关。
,an线性表示，即a1,a2,4. 设a1,a2,,n等价，从而a1,a2,,an是n维向量，证明：向量组a1,a2,,an线性无关的充分必要条件是任意n维向量均可由向量组a1,a2,,an线性表示。

证明：必要性：若a1,a2,,an线性无关，则a1,a2,,an线性表示。
,an可作为n维向量空间的基，从而任意n维向量均可由a1,a2, 充分性：因为任意n维向量均可由a1,a2,,an线性表示，所以基本单位向量1,2,,n可由a1,a2,,an线性表示，由题3知，a1,a2,,an线性无关。
5. 设a1,a2,,an是n维列向量，且a1,a2,,an线性无关，求证：对任意c0，knanc,0,,0。
T总存在一组不全为零的数k1,k2,证明：因为a1,a2,knanc,0,T使得k1a1k2a2,kn，,an线性无关，所以关于k1,k2,,kn的方程组k1a1k2a2
,0有唯一解。又c0，方程组的唯一解不是零解，即方程组有唯一非零解，从而存在不全为零的k1,k2,6. 已知向量组a1,a2,使k1a1k2a2,kn，knanc,0,,0。
T,ann2线性无关，设
,bn1an1an,bnana1，
b1a1a2,b2a2a3,讨论向量组b1,b2,证明：设k1b1k2b2,bn线性相关性。
knbn0，即k1kna1k1k2a2k2k3a3,an线性无关，得
110001100010110n1011。
1
kn1knan0，因为a1,a2,k1kn0kk012k2k30，系数行列式Dkn1kn0当n为奇数时，D20，方程组仅有零解，b1,b2,当n为偶数时，D0，方程组有非零解，b1,b2,7. 求下列向量组的秩及其一个最大线性无关组：
TTT,bn线性无关。
,bn线性相关。
T1a15,6,7,7,a22,1,0,0,a30,1,0,0,a40,1,1,0
T2a16,4,1,1,2,a21,0,2,3,4,a31,4,9,16,22,a47,1,0,1,3TTT
56解：(1a1,a2,a3,a477大无关组为a1,a2,a3,a4。
2100006111111110,Ra1,a2,a3,a44，最015200007000174061404112(2a1,a2,a3,a412905113161002422300419000,Ra1,a2,a3,a43，0000最大无关组为a2,a3,a4。
8. 设矩阵Amn,Bmn满足BAE，求证：矩阵A的列向量组线性无关。 证明：由RABminRA,RB知，RAn。 若记Aa1,a2,线性无关。
9. 设V1xx1,x2,则Ra1,a2,,an，从而A的列向量组a1,a2,,ann，,an,xn,x1x2xn0,V2yy1,y2,,yn,y1y2
yn1，试问V1和V2是否为向量空间。
解：设(x1,x2,,xnV1,(y1,y2,,ynV1，则x1x2xn0,y1y2
yn0。因为(x1y1,,xnyn,k(kx1,,kxn，且(x1y1 (xnyn0,kx1故V1是向量空间，类似可kxn0,即V1,kV1，证V2不是向量空间。 10.
设3的一个基为
a11,1,0,a22,1,3,a33,1,2，
TTT试求向量b5,0,7在这个基下的坐标。
x12x23x35x12解：令bx1a1x2a2x3a3，即x1x2x30，解得坐标为x23。
x13x22x373T

1. 判定下列方程组是否有解？
2x1x23x33,4xxx3,123 1
3xx5x0,312x13x213x36;x12x23x34x45,2x4xx43,12 2xx3x2x8,3412x12x29x35x421。3121341130解：(1 BA,b315001313600100001012， 10 RARB3n，方程组有唯一解x11,x22,x31。
12(2 BA,b11123450401313280295210300021000 1301060010313 RARB4n，方程组有唯一解x1,x20,x3,x40。
262. 讨论取何值时，下列方程组分别有解与无解？
x1x2x31,1x1x2x3, 2x1x2x3;x22x3,3x1x32, 2x11x2x23x33。31x1112解：(1 系数行列式1121，故2，1时有唯一解， 11
111。 x1,x,x2223221111124121201122时，增广矩阵，RARB，112400012方程组无解。
11111111111100001时，增广矩阵，RARB13，方程11110000111组有无穷多组解xk11k200，k1,k2为任意实数。
0103121121，0，1时有唯一解. (2 系数行列式31331203120011001100时，增广矩阵，RARB，方程30330003组无解。
24121101101201291时, 增广矩阵，RARB，方程组61430002无解。
3. 设线性方程组
a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2
am1x1am2x2amnxnbm的系数矩阵A的秩rA与矩阵B的秩rB相等，其中
a11a12a21a22Bam1am2bb21a1na2namnbnb1b2， bm0
求证：此方程组有解。 证明：设Aa1,a2,,an,bb1,b2,AT,bn，则BTbb。 0假设方程组无解，即b不能由向量组a1,a2,,an表示，则B的列向量组秩至少为rA1，从而B的秩也至少为rA1，这与题设矛盾，故方程组有解。

1. 设a1,a2,a3为齐次线性方程组Ax0的基础解系，问向量组
a1a2,a2a3,a3a1
是否也是方程组Ax0的基础解系？
解：a1a2,a2a3,a3a1显然是方程组Ax0的解。
设k1a1a2k2a2a3k3a3a10，即k1k3a1k1k2a2k2
k3a30，由a1,a2,a3线性无关得，
101k1k30k1k20，系数行列式11020， kk001123方程组仅有零解，即a1a2,a2a3,a3a1线性无关，从而a1a2,a2a3,a3a1也是方程组Ax0的基础解系。
2. 求下列齐次线性方程组的通解：
3x40x1x2(1x1x22x3x40； 4x2x6x3x02341x1x22x33x40x2x9x7x01234(2。
3xx8xx03412x1x25x3x40
510054110377解：(1系数矩阵1121010，通解为xk。
34426334001411(2系数矩阵31112339701810151032712000001317k2。2，通解为 xk122000103. 求下列非齐次线性方程组的通解：
x12x2x3x41(1x12x2x3x41； x2xx5x52341x12x23x34x44x2x3x43(2。
3x41x13x27x23x3x431211112100解：(1 增广矩阵1211100011，同解方程组为
1215500000210210100100x12x2x3，，通解为。 ,,xkk1212010010x41001001123441011130(2 增广矩阵1303100731300813。 xk26104. 已知线性方程组
0100008013，通解为
126000
x1x2x3x4x5a,3x2xxx3x0,12345
x22x32x45x5b,5x14x23x33x4x52。(1 确定a,b之值,使该方程组有解； (2 当方程组有解时，求出方程组的通解。
13解：(1 增广矩阵051214112311132631a1000b2001152a12263a， 0000b3a000022a显然，当a1,b3时，RARB2，方程组有解。
xx3x45x52(2 同解方程组为1，故方程组的通解为
x22x32x46x5311522263xk11k20k300。
01000010复习题3 1. 设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关。 (1 向量a1能由a2,a3线性表示吗？证明你的结论； (2 向量a4能由a1,a2,a3线性表示吗？证明你的结论。 解：(1a1能由a2,a3线性表示。
因为a2,a3,a4线性无关，所以a2,a3也线性无关。又a1,a2,a3线性相关，从而a1能由a2,a3线性表示。
(2a4不能由a1,a2,a3线性表示。
因为若a4能由a1,a2,a3线性表示，由(1知，a1能由a2,a3线性表示，则a4能
由a2,a3线性表示，从而a2,a3,a4线性相关，矛盾，故得证。 2. 设向量组
1203471101,2,3,。
011b23a4(1 当a,b取何值时，不能由1,2,3线性表示？
(2 当a,b取何值时，可由1,2,3线性表示？并写出此表示式。
14解：考虑方程组x11x22x33，即0214 其增广矩阵02203x17110， x211bx33a420312031203711001120112。 11b011b00a103a401a2000b2(1当b2时，RARB，方程组无解，即不能由1,2,3线性表示。 (2当b2时，RARB，方程组有解，即可由1,2,3线性表示。 若a1，方程组的解为x11,x22,x30，表达式为12203。 若a1，方程组的解为x12k1,x2k2,x3k，表达式为
2k11k22k3，k是不为零的任意常数。
3. 设有向量组
a21112,1,1,23b，
1054c试问当a,b,c满足什么条件时：
(1 可由1,2,3线性表示，且表示方法唯一? (2 不能由1,2,3线性表示？
(3 可由1,2,3线性表示，但表示方法不唯一？并写出一般表达式。

a21x11解：考虑方程组x11x22x33，即211x2b，
1054xc3a21151a4。
4 其系数行列式210(1根据克莱姆法则，a4时，方程组有唯一解，即可由1,2,3线性表示，且表示方法唯一。RARB，方程组有解，即可由1,2,3线性表示
1421142112b ，若(2当a4时，增广矩阵211b0011054c0001c3b3bc1，则RARB，方程组无解，即不能由1,2,3线性表示。
(3 当a4,3bc1时，RARB23，方程组有无穷多组解，即可由1,2,3线性表示，但表示方法不唯一，表达式为k12kb12
2b13,k为任意实数。
x1x2kx342x1kx2x3k， xx2x43124. k取何值时，线性方程组
分别有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求出其全部解。
11k解：系数行列式1k1k14k，故k4，k1时有唯一解。
11211141114k1时，增广矩阵11110238，RARB，11240005方程组无解。
11441030k4时，增广矩阵141160114，RARB23，11240000
x130方程组有无穷多组解，通解为x2k14,k为任意实数。
x103设有线性方程组
x1x2x33x1x2x32， xxx23125. 问取何值时，方程组分别有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求出其通解。
112解：系数行列式1121，故2，1时有唯一解。
1121151122121201102时，增广矩阵，RARB，11220001方程组无解。
11121112111200001时，增广矩阵，RARB13，11120000x1112方程组有无穷多组解，通解为x2k11k200，k1,k2为任意实数。
x01036. 设有线性方程组
x13x22x3x41x2ax3ax41， x2x3x3241问a取何值时，方程组有解？在有解时，求出其通解。
132111023a13a4aa1， 解：增广矩阵01aa1011203300a22a1a2时，RARB无解。
a2时，RARB34，方程组有无穷多组解，此时，增广矩阵为
7a107a10a21003x13a222a010022a，通解为x2k0a2,k为任意实数。 x31a211x14a20011a207. 已知有线性方程组
x1x2x30ax1bx2cx30。 222axbxcx3021(1a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？
(2a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解？并用基础解系表示全部解。
11bb21ccbcaba，故ab,bc,ca时，c2解：(1 系数行列式aa2方程组仅有零解。
11(2 增广矩阵为0ba00ca， cacb1101abc时，xk11；bca时，xk21；cab时，xk30；01111abc时，xk41k50，ki为任意实数。
018. 已知线性方程组
a11x1a12x2a21x1a22x2an1x1an2x2的一个基础解系为
a1,2nx2n0a2,2nx2n0an,2nx2n0

b11b12,b1,2nb21b22,b2,2nbn1bn2,， bn,2n试写出线性方程组
b11x1b12x2b21x1b22x2bn1x1bn2x2的通解，并说明理由。 解：记Aaijn2nb1,2nx2n0b2,2nx2n0bn,2nx2n0
a1b1x1abx22,Bbij,x2，则两个方程组可分别记为n2nabnnxna1b1a1ab22x0,x0，且RBn，2nRAn,RAn，又由题意知，a2 abnnanbT1Tb2b1b2TTbn0，即a1bnTa2Tan0，亦即aiT为后方程的基础解系，从而通解为
a11a12Tknank1a1,2nan1an2，k,kn1an,2nTyk1a1,kn为任意实数。
9. 设a1,a2,,as表示线性方程组Ax0的一个基础解系。若 b1t1a1t2a2,b2t1a2t2a3,,bst1ast2a1，
,bs也是线性方程组其中t1,t2为实常数，试问t1,t2满足什么条件时，b1,b2,Ax0的一个基础解系。
解：b1,b2,,bs显然是线性方程组Ax0的解，且Ax0的基础解系应包含,bs线性无关即可。
s个解向量，因此只须证明b1,b2,
令k1b1k2b2ksbs0，即kst2k1t1a1k1t2k2t1a2k2t2k3t1a3
,as线性无关，得
ks1t2kst1as0，因为a1,a2,kst2k1t10ktkt01221k2t2k3t10， ks1t2kst10其系数行列式
t1t2D000t1t2000t10000t2t20s1s0t1s1t2。 t1当s为奇数，t1t2或s为偶数，t1t2时，D0，方程组仅有零解，b1，b2,,bs线性无关，即b1,b2,。 ,bs也是Ax0的一个基础解系。习题4.1 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
431;121232132;112a000a03a0; 00a001 4010;1003321525;130406002832020077。 03解：(1 特征方程为AE43150，特征值为1,5。12331111时，AE，特征向量为x1。
1100113133 5时，AE，特征向量为x2。
13001

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a9690aed6e175f0e7cd184254b35eefdc9d315b1.html

《线性代数第3版习题全解(上海交通大学).doc》
将本文的Word文档下载到电脑，方便收藏和打印
推荐度：
点击下载文档

文档为doc格式
相
关
案
例

相关推荐

推荐内容

辅警谈心谈话一问一答记录范文精选 (完整版)常用的消毒灭菌方法 2019年考研政治核心考点复习背诵笔记(划重点版) 超萌男生网名大全 安全培训二级考题及答案#(精选.) 关于晚上思念一个人睡不着的句子 五年级环保作文4篇 幼儿园故事大全53个 大学生抗击疫情心得体会大学生抗击疫情活动 电台主持人台词「精选」
网站内容来自网络，如有侵权请联系我们，立即删除！ Copyright © 范文写作网京ICP备16605803号