区间的名称

区间的满足的不等式

区间的记号

区间在数轴上的表示

闭区间

a≤x≤b

[a，b]

开区间

a＜x＜b

（a，b）

半开区间

a＜x≤b或a≤x＜b

（a，b]或[a，b）

函数名称

函数的记号

函数的图形

函数的性质

指数函数

 a):不论x为何值,y总为正数;

 b):当x=0时,y=1.

对数函数

 a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点

 b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增.

幂函数

a为任意实数

这里只画出部分函数图形的一部分。

 令a=m/n

 a):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;

 b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;

 c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义.

三角函数

(正弦函数)

 这里只写出了正弦函数

 a):正弦函数是以2π为周期的周期函数

 b):正弦函数是奇函数且

反三角函数

(反正弦函数)

这里只写出了反正弦函数

 a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值.

函数的名称

函数的表达式

函数的图形

函数的性质

双曲正弦

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；

b)：是奇函数；

c)：在定义域内是单调增

双曲余弦

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；

b)：是偶函数；

c)：其图像过点(0,1)；

双曲正切

a)：其定义域为:(-∞,+∞)；

b)：是奇函数；

c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域内单调增；

双曲函数的性质

三角函数的性质

shx与thx是奇函数，chx是偶函数

sinx与tanx是奇函数，cosx是偶函数

它们都不是周期函数

都是周期函数

     它包括三种情形：

a)：在x0无定义；

b)：在x→x0时无极限；

c)：在x→x0时有极限但不等于；

空间直角坐标系

空间点的直角坐标系

   为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。

   过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示）

                                     

  三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。

   取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。

   例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示）

                                     

  坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).

   这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。

   注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.

   例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点，

则x=y=z=0，等。

空间两点间的距离

   设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式：

                     

   例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.

   解答：由两点间距离公式得：

                     

         由于，所以△ABC是一等腰三角形

方向余弦与方向数

   解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。

方向角与方向余弦

   设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.

   关于方向角的问题

   若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。

   方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。

   设有空间两点，则其方向余弦可表示为：

                       

                       

                       

   从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式：

                       

   注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。

方向数

   方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即：

                       

   据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式：

          ，，

   其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。

   关于方向数的问题

   空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。

两直线的夹角

    设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段.则线段的夹角称为此两直线L1与L2的夹角.

   若知道L1与L2的方向余弦则有公式为：

                        

   其中：θ为两直线的夹角。

   若知道L1与L2的方向数则有公式为：

                        

两直线平行、垂直的条件

   两直线平行的充分必要条件为：

                        

   两直线垂直的充分必要条件为：

                        

平面与空间直线

平面及其方程

   我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。

   设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：

                        

   注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。

   例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.

   解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：

                         

         即              

   我们把形式为：

                         Ax+By+Cz+D=0.

   称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。

几种特殊位置平面的方程

   1、通过原点

       其平面方程的一般形式为：  

                         Ax+By+Cz=0.

   2、平行于坐标轴

       平行于x轴的平面方程的一般形式为：

                         By+Cz+D=0.

       平行于y轴的平面方程的一般形式为：

                         Ax+Cz+D=0.

       平行于z轴的平面方程的一般形式为：

                         Ax+By+D=0.

   3、通过坐标轴

       通过x轴的平面方程的一般形式为：

                         By+Cz=0.

       通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：

                         Ax+Cz=0，Ax+By=0.

   4、垂直于坐标轴

       垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：

                  Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.

直线及其方程

   任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。

   设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：

                         

   上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。

   直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：

                         

   这就是直线方程的一般式。

平面、直线间的平行垂直关系

   对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。

   总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。

曲面与空间曲线

曲面的方程

   我们知道，在平面解析几何中可把曲线看成是动点的轨迹.因此，在空间中曲面可看成是一个动点或一条动曲线(直线)按一定的条件或规律运动而产生的轨迹。

   设曲面上动点P的坐标为(x,y,z)，由这一条件或规律就能导出一个含有变量x,y,z的方程：

                                 

   如果此方程当且仅当P为曲面上的点时，才为P点的坐标所满足。那末我们就用这个方程表示曲面，并称这个方程为曲面的方程，把这个曲面称为方程的图形。

空间曲线的方程

   我们知道，空间直线可看成两平面的交线，因而它的方程可用此两相交平面的方程的联立方程组来表示，这就是直线方程的一般式。

   一般地，空间曲线也可以象空间直线那样看成是两个曲面的交线，因而空间曲线的方程就可由此两相交曲面方程的联立方程组来表示。

   设有两个相交曲面，它们的方程是，，那末联立方程组：

                                  

   便是它们的交线方程。

两类常见的曲面

   1、柱面

   设有动直线L沿一给定的曲线C移动，移动时始终与给定的直线M平行，这样由动直线L所形成的曲面称为柱面，动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。

   2、旋转面

   设有一条平面曲线C，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这样由C旋转所形成的曲面称为旋转面，曲线C称为旋转面的母线，直线L称为旋转面的轴。

   下面我们再列举出几种常见的二次曲面

多元函数的概念

  我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往是两个，或者更多。

  例：一个圆柱体的体积与两个独立变量r,h有关。`

  我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。

二元函数的定义

  设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。

    记作：z=f(x,y). 其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。

  关于二元函数的定义域的问题

  我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。

  如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：

                                          

  例题：求的定义域.

  解答：该函数的定义域为：x≥,y≥0.

二元函数的几何表示

   把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；

   当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，

   其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。

二元函数的极限及其连续性

   在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。

   在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，

   那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。

   这种极限通常称为二重极限。

   下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：

二重极限的定义

   如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足

                        

   的一切(x,y)都使不等式

                         成立，

   那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。

   正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：

二重极限的运算法则

   如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.

   那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；

       (2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；

       (3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0

  像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：

二元函数的连续性

  如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。

  如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。

  关于二元函数间断的问题

  二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。

  二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。

  例题：求下面函数的间断线

  解答：x=0与y=0都是函数的间断线。

偏导数

   在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。

   在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。

偏导数的定义

   设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数

z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)

                      △xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).

   如果△xz与△x之比当△x→0时的极限

                      存在，

   那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

                      记作：f'x(x0,y0)或

  关于对x的偏导数的问题

   函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数

   同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限

                      存在，

   那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.

                      记作f'y(x0,y0)或

偏导数的求法

   当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，

   我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，

   那末称函数f(x,y)在域D可导。

   此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，

   称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

   例题：求z=x2siny的偏导数

   解答：把y看作常量对x求导数，得

        把x看作常量对y求导数，得

   注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。

   例题：求的偏导数。

   解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。

        把y和z看成常量对x求导，得.

        把x和z看成常量对y求导，得.

        把x和y看成常量对z求导，得.

高阶偏导数

   如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，

   那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。

   二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.

   注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。

   例题：求函数的二阶偏导数.

   解答：，，

全微分

   我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。

   这里我们以二元函数为例。

全微分的定义

   函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和

                          f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

   若该表达式与函数的全增量△z之差，

                          当ρ→0时，是ρ()

   的高阶无穷小，

   那末该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。

                          记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

   注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)

   注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过程如下图所示：

                                 

   例题：求的全微分

   解答：由于，

        所以

关于全微分的问题

   如果偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末z=f(x,y)一定可微。

多元复合函数的求导法

   在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：

多元复合函数的求导公式

   链导公式：

   设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,

   那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：

                    

   例题：求函数的一阶偏导数

   解答：令

         由于

                    

         而

                    

         由链导公式可得：

                    

                    

         其中

   上述公式可以推广到多元，在此不详述。

   一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。

全导数

   由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.

   这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.

   此时的链导公式为:

                     

   例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求

   解答：由全导数的链导公式得：

                      

         将u=cosx，v=sinx代入上式，得：

                      

   关于全导数的问题

   全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。

多元函数的极值

   在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。

二元函数极值的定义

   如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：

                          f(x,y)≤f(x0,y0)

   成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：

                          f(x,y)≥f(x0,y0)

   成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).

   极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.

   二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.

   注意：此条件只是取得极值的必要条件。

   凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。

二元函数极值判定的方法

   设z=f(x,y)在(x0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果，那末函数f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件如下表所示：

   其中

   例题：求的极值。

   解答：设,则

               ，.

               .

       解方程组，得驻点(1,1),(0,0).

       对于驻点(1,1)有,故

               B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0

       因此，在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.

       对于驻点(0,0)有,故

               B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0

       因此，在点(0,0)不取得极值.

多元函数的最大、最小值问题

   我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：

       a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

       b)：求出驻点；

       c)：结合实际意义判定最大、最小值.

   例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。

  解答：a)：先建立函数关系,确定定义域

            求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方

                  

            最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:

                  ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

          b)：求驻点

                 

             解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知

                   z=-1

          c)：结合实际意义判定最大、最小值

             由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数

             仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).

   从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数

                   ，

   在约束条件

                   3x+4y-z=26

   下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。

微分方程的基本概念

   在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：

   某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子：

   例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程

   解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程：

           我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。

微分方程的概念

   我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。

   在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。

   从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.

   满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。

   通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同.

可分离变量的微分方程与齐次方程

   下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。

   并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。

可分离变量的微分方程

   这种方程的形式为：

   我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。

   其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有

           ，即

   这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。

   例题：求方程的通解。

   解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得

          

         两端分别积分，得

          

         令，得

              这就是该方程的通解。

齐次微分方程

   这种微分方程的形式为：

   它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：

   令，则，y的微分方程就化成了u的微分方程

           即：

   这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。

   例题：求方程的特解。

   解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得

           

         分离变量后，得

           

         两端分别积分，得

                或   其中

         代回u=y/x，得原方程的通解为

         将初始条件y(0)=1代入，得 C=1.

         所以满足初始条件的特解为

            

线性微分方程

线性微分方程

   这种微分方程的形式为：，其中，p,q与y,y'无关，但可以与x有关.它对y与y'而言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。

   当q=0时称为齐次线性微分方程；当q≠0时称为非齐次线性微分方程。

齐次线性微分方程的解法

   齐次线性微分方程的形式为：

   此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：，这就可以由我们前面所学的方法进行求解。

   例题：求的一般解。

   解答：由此方程可得，故

         因此该方程的一般解为：

非齐次线性微分方程的解法

   非齐次线性微分方程的形式为：

   这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程的一般解，然后把c看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定c，使它能满足非齐次微分方程。

   中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项：，所以中c作为x的函数代入微分方程就得到.

   所以只要，即就可使非齐次线性微分方程得到满足，即为所求的一般解。

   上面我们说学的这种解法被称为Lagrange常数变易法。

   例题：求解

   解答：相应齐次线性微分方程的一般解为：

         把c看成x的函数代入得：

         因此：c'=x(x+1)

         ∴

       　故：就是非齐次线性微分方程的一般解。

可降阶的高阶方程

   求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。

1.右端仅含x的方程：y"=f(x)

   对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程

             ，

   再次积分，即可求出方程得通解。

            

   例题：求方程y"=cosx的通解。

   解答：一次积分得：

            

         二次积分即得到方程得通解：

            

2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')

   我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：

         

   这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。

   例题：求方程的通解。

   解答：令y'=p.，代入方程，得

            

         分离变量后，得

            

         积分，得

             .即

         再积分，即得原方程的通解：

             .

3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')

   我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有

            

   代入原方程，得

            

   这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。

   例题：求方程的通解

   解答：令代入原方程得：

             

         它相当于两个方程：

             

         由第一个方程解得：y=C;

         第二个方程可用分离变量法解得

               p =C1y

         从而

              

         由此再分离变量，解得：

              

         这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）

线性微分方程解的结构

   我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。

   二阶线性方程的一般形式为

         

   其中y",y',y都是一次的，否则称为二阶非线性方程。

线性齐次方程解的结构

   二阶线性齐次方程的形式为：

         

   定理：如果函数均是方程的解，那末也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。

   线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。

   问题：我们所求得的解是不是方程的通解呢？

   一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。

   定义：设是定义在区间I的两个函数，如果，那末称此两函数在区间I线性相关，否则，即之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性独立或线性无关。

   为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。

   定理：如果是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。

线性非齐次方程解的结构

   二阶线性非齐次方程的形式为：

          

   对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？

   答案是肯定的。为此我们有下面的定理。

   定理：设y是二阶线性非齐次方程的任一特解，Y是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程的通解。

   我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下：

   定理：设有线性非齐次方程.如果分别是方程

            与方程

         的解，那末就是原方程的解。

二阶常系数齐次线性方程的解法

   前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。

二阶线性齐次方程的解法

   二阶线性齐次方程的一般形式为：，其中a1，a2为实常数。

   我们知道指数函数eax求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使eax满足方程上面的方程。我们可令：，代入上面的方程得：

                 

   因为eax≠0，所以：

                 

   这样，对于上面二次方程的每个根ρ，eax就是方程的一个解。方程就被称为方程的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：

   1.特征方程有两个不等的实根的情形

   设此两实根为。于是是齐次方程的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：

                     其中c1，c2为实常数。

   2.特征方程有重根的情形

   此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：.于是方程的通解为:

                 

   3.特征方程有共轭复根的情形

   设共轭复根为，那末是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式：，为此可以得到方程的通解：

                 

   由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：

       1.对照方程写出其特征方程：；

       2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2

       3.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。

   例题：求方程的通解.

   解答：此方程的特征方程为：

                   

         它有两个不相同的实根，因此所求的通解为：