2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题
1.已知集合
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】A
【解析】根据并集的概念求解.
【详解】
∵
故选:A.
【点睛】
本题考查并集的概念,属于简单题.
2.设
A.0 B.1 C.2 D.-1
【答案】A
【解析】选取解析式
【详解】
由题意
故选:B.
【点睛】
本题考查分段函数,分段函数求值关键是要判断自变量的范围,根据不同范围选取不同的表达式计算.
3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
A.圆柱 B.三棱柱
C.球 D.四棱柱
【答案】A
【解析】由三视图可直接得出答案.
【详解】
由三视图可知该几何体是圆柱
故选:A
【点睛】
本题考查的是三视图,较简单.
4.函数
A.
【答案】A
【解析】根据余弦函数的性质,得到
【详解】
由题意,根据余弦函数的性质,可得
当
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质的应用,其中解答中熟记余弦函数的值域是解答的关键,着重考查了计算能力.
5.已知
A.
【答案】B
【解析】直接利用向量的平行的坐标运算,求出
【详解】
解:已知
则
故选:B.
【点睛】
本题考查平面向量共线的坐标运算,考查计算能力.
6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800,为了了解教师的教学情况,该校采用分层抽样的方法,从这三个年级中抽取45名学生实行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )
A.
C.
【答案】D
【解析】算出高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例即可.
【详解】
因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800,
所以高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例分别为
所以从这三个年级中抽取45名学生实行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
故选:D
【点睛】
本题考查的是分层抽样,较简单.
7.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )
A.
【答案】C
【解析】样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,计算得到答案.
【详解】
从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,
故所求概率为
故选:C.
【点睛】
本题考查了古典概率的计算,属于简单题.
8.已知点
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】D
【解析】由
【详解】
由
由图可得当直线
故选:D
【点睛】
本题考查的是线性规划,考查了数形结合的思想,属于基础题.
9.已知两点
A.
C.
【答案】B
【解析】依题意,
点睛:本题主要考查中点坐标公式,考查圆的标准方程.圆的一般方程为
10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为( )
A.
【答案】A
【解析】在
所以
【解题必备】当
(1)如图1,A,B之间不可达也不可视,计算方法:测量
(2)如图2,B,C与点A可视但不可达,计算方法:测量
(3)如图3,C,D与点A,B均可视不可达,计算方法:测量
在
图1 图2 图3
二、填空题
11.计算:
【答案】2
【解析】试题分析:
【考点】对数运算
12.已知1,x,9成等比数列,则实数x= .
【答案】±3
【解析】解:∵1,x,9成等比数列,∴x2=9,
解得x=±3.
故答案为:±3.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
13.经过点A(0,3),且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是 .
【答案】y=x+3
【解析】试题分析:设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m,把点A(0,3)代入解出m即可.
解:设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m,
把点A(0,3)代入可得:3=0+m,解得m=3.
∴要求的直线方程为:y=x+3.
故答案为y=x+3.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
14.某程序框图如图所示,若输入的
【答案】
【解析】若输入的
【详解】
若输入的
故答案为:
【点睛】
本题考查的是程序框图,较简单.
15.已知向量
【答案】4
【解析】根据向量的数量积的运算公式,列出方程,即求解.
【详解】
由题意,向量
则
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算及应用,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了计算能力.
三、解答题
16.已知
(1)求
(2)求
【答案】(1)
【解析】(1)根据同角三角函数基本关系求解即可;
(2)根据两角和的正弦公式计算求解.
【详解】
(1)
注:也可直接由
(2)
也可
【点睛】
本题主要考查了三角函数的同角基本关系,两角和正弦公式,特殊角的三角函数值,属于容易题.
17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了100位职员的早餐日平均费用(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图,图中标注
(1)试根据频率分布直方图求
(2) 已知该公司有1000名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元?
【答案】(1)
【解析】(1)由题意结合频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1即可求得
(2)由频率分布直方图计算出职员早餐日平均费用不少于8元的频率,用样本频率乘以总人数即可得解.
【详解】
(1)因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,
所以
该公司职员早餐日平均费用的众数为
(2)由频率分布直方图可知,
职员早餐日平均费用不少于8元的频率为
又因为该公司有1000名职员,
所以该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的性质与应用,考查了运算求解能力和数据处理能力,属于基础题.
18.如图,在三棱锥
(1)求证:
(2)求三棱锥
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)由题意结合平面几何的知识可得
(2)由
【详解】
(1)证明:
又
(2)
【点睛】
本题考查了线面平行的判定及线面角、线面垂直的相关问题,考查了棱锥体积的求解,属于基础题.
19.已知数列
(1)求
(2)设
【答案】(1)
【解析】(1)直接计算得到
(2)
【详解】
(1)
(2)
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式,和的最值,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
20.已知函数
(1)当
(2)若函数
(3)若不等式
【答案】(1)
【解析】(1)由题意结合函数零点的概念,解方程即可得解;
(2)由题意结合偶函数的性质可得
(3)由题意将条件转化为
【详解】
(1)当
令
所以当
(2)因为函数
所以
又
(3)因为
所以
由
令
设
由
由
所以
所以实数
【点睛】
本题考查了函数零点和奇偶性的应用,考查了换元法、二次函数性质的应用及恒成立问题的解决,属于中档题.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/a8aec8eda22d7375a417866fb84ae45c3a35c23b.html
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