专题19 概率、随机变量及其分布列
1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( )
A. B.
C.
D.
解析：所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P＝＝
.
答案：C
2．某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得，所有的基本事件总数为44＝256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为C·C
·C
·A
＝144，故所求概率P＝
＝
，故选A.
答案：A
3．在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即<x≤1，所以所求概率P＝
＝
，故选D.
答案：D
4．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝
＝1－
.
答案：B
5.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：依题意，平均数＝
＝22，故优秀工人只有2人，从中任取2人共有15种情况，其中至少有1名优秀工人的情况有9种，故至少有1名优秀工人的概率P＝
＝
，故选C.
答案：C
6．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定义映射f：M→N，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))构成△ABC且AB＝BC的概率为( )
A. B.
C. D.
7．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
答案：B
8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：P(A)＝＝
，P(AB)＝
＝
，P(B|A)＝
＝
.
答案：B
9．一个电路有两个电子元件串联而成，只有这两个元件同时正常工作，这个电路才能正常工作，已知元件甲能正常工作的概率是0.9，元件乙能正常工作的概率是0.95，则这个电路能正常工作的概率是( )
A．0.09 B．0.095
C．0.855 D．0.85
10．从装有6个黑球、4个白球(除颜色外均相同)的袋中随机抽取3个球，所得的白球个数记作随机变量X.则P(X＝2)＋P(X＝3)＝( )
A. B.
C. D.
解析：由题知，P(X＝2)＝＝
，P(X＝3)＝
＝
，所以P(X＝2)＋P(X＝3)＝
＋
＝
.
答案：C
11.如图，△ABC和△DEF是同一圆的内接正三角形，且BC∥EF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M表示事件“豆子落在△ABC内”，N表示事件“豆子落在△DEF内”，则P(N|M)＝( )
A. B.
C. D.
解析：如图作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC包含9个小三角形，满足事件MN的有6个小三角形，故P(N|M)＝＝
.
答案：D
12．包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为________．
解析：4个人的全排列种数为A，甲与乙、丙都相邻的排法有A
A
种，则所求概率为
＝
.
答案：
13．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC面积大于的概率为________．
解析：如图，△ABC面积为S，DE∥BC，并且＝
，当点P在△ADE内部时，△PBC的面积超过
，所以其概率P＝
＝
2＝
.
答案：
14．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的
长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为________．
解析：设AC＝x，则BC＝12－x(0<x<12)，又矩形面积S＝x(12－x)>20，∴x2－12x＋20<0，解得2<x<10，∴所求概率为＝
.
答案：
15．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
解析：随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝
，P(X＝2)＝
，P(X＝4)＝
，因此E(X)＝
.
答案：
16．设随机变量ξ的概率分布列如下表所示：
其中a，b，c成等差数列，若随机变量ξ的均值为，则ξ的方差为________．
17．设在4次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率为，那么事件A在一次试验中发生的概率为________．
解析：设事件A在一次试验中发生的概率为p，则有1－C (1－p)4＝
，所以(1－p)4＝
，解得p＝
.
答案：
18．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．
解析：(1)甲＝
(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，
乙＝
(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
s＝
[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
s＝
[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．
所以乙同学做解答题相对稳定些．
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P1＝，P2＝
，
两人失分均超过15分的概率为P1P2＝，
X的所有可能取值为0,1,2.依题意，X～B，
P(X＝k)＝Ck
2－k，k＝0,1,2，
则X的分布列为
X的均值E(X)＝2×＝
.
19．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：
(1)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？
(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝，试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．
附：K2＝.
解析：(1)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝≈4.575.
因为4.575>3.841，
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．
20．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．
解析：(1)由题意可知，样本容量n＝＝50，y＝
＝0.004，
x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.
抽取2株的所有情况有21种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．
其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．
∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－＝
.
21．对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：
(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？
(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取2人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．
参考值表：
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/a5da2d810408763231126edb6f1aff00bed570ed.html
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